第3章 均值方差分析与资本资产定价模型

1、2022-3-71第3章 均值方差分析与资本资产定价模型22022-3-73.1 两种证券投资组合的均值两种证券投资组合的均值-方差方差3.1.1 投资组合投资组合设有两种风险资产证券，设有两种风险资产证券， 记为记为A和和B， AAw=购买（或卖空）证券 金额投资于两种证券自有金额1ABww+=满足32022-3-73.1 两种证券投资组合的均值两种证券投资组合的均值-方差方差注：权重为正数，意味着投资者买入该资产。注：权重为正数，意味着投资者买入该资产。如果是卖空，投资于资产的权重是负数。如果是卖空，投资于资产的权重是负数。 例如：假设你借例如：假设你借100股某公司的股票，市场价格为股某

2、公司的股票，市场价格为10元，元，那么将股票卖出，可获得那么将股票卖出，可获得1000元现金。一段时间元现金。一段时间之后，该股票的价格之后，该股票的价格5元，你在市场上购买元，你在市场上购买100股，股，支付现金支付现金500，两者之间的差额为，两者之间的差额为500元，你可以获利。元，你可以获利。42022-3-7举例说明举例说明 1.如果你有资金如果你有资金1000元，投资于证券的金额元，投资于证券的金额为为400元，投资于证券的金额为元，投资于证券的金额为600元，元， 4006000.4,0.610001000ABww=则有则有1ABw满足w +=52022-3-7举例说明举例说明2

3、.假设你有资金假设你有资金1000元，卖空证券获现金元，卖空证券获现金600元，共有元，共有1600元，投资于证券，于是元，投资于证券，于是16001.61000Aw=对于资产对于资产 6000.61000Bw-= -1ABww+=则有则有62022-3-7投资组合的期望收益与方差投资组合的期望收益与方差 设证券设证券A的收益率为的收益率为RA，证券，证券B的收益率的收益率RB是随机变量，是随机变量， 假设我们已知假设我们已知RA和和RB的概率分布，的概率分布， 称称(ABE RE RA)和)分别为证券 和证券B的期望收益。72022-3-7投资组合的期望收益与方差投资组合的期望收益与方差()

4、,TABww设w是一投资组合，=AABBRw Rw R投资组合的收益率为w=+则期望收益()()()AABBE Rw E Rw E Rw=+82022-3-7投资组合的期望收益与方差投资组合的期望收益与方差( )2BBRRs证券B收益率的方差记为，( )2AAARRs证券 收益率的方差记为，w则投资组合 的方差()()()22222()2cov,(3.1.2)wAABBABABRwRwRw wRRsss=+92022-3-73.1.2 联合线联合线假设假设0.10,0.50.040.10AABBE RRE RR，由式（由式（3.1.1）0.1010.04(3.1.3)wAAERww（1）如果我

5、们假设）如果我们假设 AR和和BR的相关系数为零，的相关系数为零， ,0ABCOV RR由式（由式（3.1.2）1222220.0510.10(3.1.4)wAARww102022-3-73.1.2 联合线联合线设自有资金设自有资金1000元，元， 卖空证券收入为卖空证券收入为500元，元， 将这两种资金将这两种资金(共共1500元元)投资于证券投资于证券， 计算得计算得1.50,0.50ABww 代入式（代入式（3.1.3）和式（）和式（3.1.4）得）得1222221.50 0.100.5 0.050.500.100.09AwE RR 112022-3-73.1.2

6、联合线联合线表表3.1 不同投资组合的期望收益和收益方差不同投资组合的期望收益和收益方差AwwE RwR1.500.1300.0900.750.0850.0450.500.0700.0560.250.0550.076-0.50.0100.152利用上述表格中的数据在利用上述表格中的数据在 ,wwRE R的坐标系之下画出一条曲线的坐标系之下画出一条曲线称为证券称为证券A和证券和证券B的联合线。的联合线。122022-3-73.1.2 联合线联合线024681012141618()PR24681012141.00AAw 0.75Aw 0.50Aw 0.25Aw 0Aw 0.5Aw ()AR()BR

7、()AE R()BE R图图3.1 证券证券A和和B的联合线的联合线卖空B投资于A同时投资于A和B 卖空A投资于BB132022-3-73.1.2 联合线联合线假设相关系数不为零，假设相关系数不为零，（2） 假设假设RA和和RB完全正相关完全正相关,在（在（RB，RA）坐标系内，）坐标系内，是一条斜率为正的一条直线，即是一条斜率为正的一条直线，即01103.1.5BARaa Ra（）如果如果2BARR是（）的 倍，12a 即。0102BAAE Raa E RaE R（）（）（）142022-3-73.1.2 联合线联合线0.10,0.04ABE RE R将代入，00.16a 得。10%20%3

8、0%40%ARBR10%20%30%010%20%图图3.2 证券证券A和证券和证券B收益率完全正相关时的示意图收益率完全正相关时的示意图152022-3-73.1.2 联合线联合线当当RA和和RB完全正相关时，相关系数完全正相关时，相关系数1AB ，由式由式(3.1.2)， 1 0.0510.1 0.1 0.05wAAABAAARwRwRwww()()()()(1) ()wAABBAAABE RwERw E Rw E RwE R162022-3-73.1.2 联合线联合线表表3.2 不同不同wA值的期望收益率和收益率方差值的期望收益率和收益率方差AwwE RwR3.000.2200.0500

9、2.000.1600.00001.500.1300.02500.750.0850.06250.500.0700.07500.250.0550.0875-0.50.0100.1250172022-3-71612142.00Aw 1.50Aw 1AB ()wE R()wR正相关时的联合线正相关时的联合线182022-3-73.1.2 联合线联合线（3） 假设假设RA和和RB完全负相关完全负相关,在（在（RB，RA）坐标系内，）坐标系内，是一条斜率为负的一条直线，即是一条斜率为负的一条直线，即0110BARaa Ra0.050.04ABRR由和（），00.042.00 0.10a得得解得解得00.2

10、4a 192022-3-73.1.2 联合线联合线于是得此直线的方程为于是得此直线的方程为 0.2423.1.7BARR（）30%20%10%10%20%30%40%ARBR图图3.3 证券证券A和证券和证券B收益率完全负相关情况下的示意图收益率完全负相关情况下的示意图202022-3-73.1.2 联合线联合线当当RA和和RB完全负相关时，完全负相关时， 相关系数为相关系数为-1， 此时此时( )( ) () ( )1wAAABRwRwRsss=-Aw( )wE R( )wRs 3.000.2200.35002.000.1600.20001.500.1300.12500.6670.0800.

11、00000.2500.0550.0850-0.500.0100.1750表表3.3 不同不同wA值的收益率期望和方差值的收益率期望和方差212022-3-762481012141602468101214()wE R()wRs181ABr= -完全负相关的情况完全负相关的情况222022-3-762481012141602468101214()wE R()wRs181ABr=0ABr=1ABr= -图图3.4 3种不同情况下的联合线种不同情况下的联合线232022-3-73.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析设有两种证券设有两种证券A和和B， 证券证券A的期望收益记为的期

12、望收益记为 ,Am证券证券B的期望收益记为的期望收益记为 ,Bm设设ABmm。设投资于证券设投资于证券A的资金权重为的资金权重为 Aw ，投资于证券投资于证券B的权重记为的权重记为 Bw满足满足13.1.9ABww+=（）投资组合投资组合 (),TABwww=的期望收益记为的期望收益记为 wm，则有则有3.1.10AABBwwwmmm+=（）投资组合的收益率投资组合的收益率 wAABBRw Rw R=+的方差的方差 2222223.1.11wAAABABBBww wwssss=+（）242022-3-73.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析,wBwAABABBAwwmm

13、mmmmmm-=-由式由式(3.1.9)和式和式(3.1.10)解得解得代入式代入式(3.1.10)，得，得() ()()2222222wAwBwBwAwAABBABABABmmmmmmmmssssmmmmmm骣骣-鼢珑鼢=-珑鼢珑鼢珑-桫桫-整理后，可得整理后，可得()()()()()222222222223.1.12AwBABwAABABwAwAABsmmsmms ssmmssmm轾-+-犏臌=-（）252022-3-73.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析若若RA和和RB不完全相关，不完全相关， 则则2220,ABABs ss-于是式于是式(3.1.12) 的右端

14、作为的右端作为 wm的二次函数恒大于零，的二次函数恒大于零， 可以写成可以写成 ()2wabcm-+的形式。的形式。 代入式（代入式（3.1.12），得），得()22 0(3.1.13)wwabcacsm-=，易见方程易见方程(3.1.13)在在 (),wwsm平面上的图形是双曲线，平面上的图形是双曲线， 由于由于 0,wm它只有开口向右的一支。它只有开口向右的一支。 262022-3-73.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析（1）若）若RA和和RB完全正相关，完全正相关， ()()()222(3.1.14)AwBBwAwABsmmsmmsmm轾-臌=-可见方程可见方程

15、(3.1.14)的图形是从的图形是从 ()0,ABBAABs ms mss骣-桫出发的两条射线，出发的两条射线， 其中的一条是其中的一条是 ()(),0(3.1.15)AwBBwAwwABsmmsmmssmm-=-272022-3-73.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析另一条是另一条是()()0(3.1.16)AwBBwAwwABsmmsmmssmm-+-=-（2）如果）如果RA和和RB完全负相关，完全负相关， 此时此时 ABABss s= -()()()()2222(3.1.17)AwBBwAwAABBABsmmsmmss ws wmm轾-+-臌=-=-也是两条射线

16、，也是两条射线， 这两条射线从这两条射线从 ()0,ABBAABs ms mss骣+桫出发指向右方，出发指向右方， 282022-3-73.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析其中一条通过点其中一条通过点 (),AAsm其方程为其方程为 ()()0(3.1.18)AwBBwAwwABsmmsmmssmm-+-=-另一条通过点另一条通过点 (),BBsm其方程为其方程为 ()()0(3.1.19)BwAAwBwwBAsmmsmmssmm-+-=-292022-3-73.1.1 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析（3）如果）如果RA和和RB无关，无关， 此时此

17、时方程方程(3.1.12)变为变为 0ABs=()()()2222222()()(3.1.20)BwAAwBwAABBABwsmmsmmsss wmm-+-=-=-方程方程(3.1.20)是一条经过是一条经过 (),AAsm和和(),BBsm的双曲线的双曲线 ，其顶点为其顶点为 ()()()22222222,ABBAABABABm sm ss sssss骣+桫。对应于此顶点的投资组合，方差最小，对应于此顶点的投资组合，方差最小， 其方差其方差 ()222222min,ABABABs sssss所以所以()dwE R与与()swE R之差的符号取决于之差的符号取决于A的符号。的符号。 （1）如果

18、全局最小方差的资产组合的收益率为正，则）如果全局最小方差的资产组合的收益率为正，则 0A 0,Adw在相应的双曲线的上半叶上。在相应的双曲线的上半叶上。 （2）如果）如果 0,A则相反，在允许卖空的情况下，这种情况也可能出现。则相反，在允许卖空的情况下，这种情况也可能出现。 532022-3-73.2.5两基金分离定理两基金分离定理注注1 对于任意两个不同期望收益水平的最小方差资产组合对于任意两个不同期望收益水平的最小方差资产组合 uw和和vw他们与他们与 sw和和dw有相同的分离作用，有相同的分离作用， 即即mw可表示为可表示为 uw和和vw的组合。的组合。 542022-3-7注注1证明：

19、证明：由两基金分离定理，由两基金分离定理， uw和和vw可由可由sw和和dw表示如下表示如下(1)3.2.18 )uusudaaa=+-www（(1)(3.2.18 )vvsvdbaa=+-www由式（由式（3.2.18a）和式（）和式（3.2.18b），）， 将将sw和和dw解出，得解出，得 11(3.2.19)vusuvvuvmaaaaaa-=-www(3.2.20)vuduvvuvuaaaaaa=-www552022-3-7注注1证明：证明：由由(1)sdwww ，mmmaa=+-将（将（3.2.19）和（）和（3.2.10）代入，得）代入，得3.2.21vuuvvuvuwww（）显然显

20、然 1uvuuvv这说明 w可用可用 uw和vw的组合来表示。的组合来表示。 562022-3-73.2.5两基金分离定理两基金分离定理注注2 对任意的投资组合对任意的投资组合w,有有 1(,)(3.2.22 )wsCov RRaC=设设uw和和vw是两个最小方差组合，是两个最小方差组合， (1),uusudaa=+-www(1)vvsvdaa=+-www则则22()(1)(,)(3.2.22 )uvuvuvvBCov RRbCAaaa aa+-=+ww572022-3-7注注2证明：证明：11(,)stTsCov RRCC ww1www，这证明了第一个结论。这证明了第一个结论。 将式（将式（

21、3.2.16）( )dBEARw代入式（代入式（3.2.9b），得），得 2221dDBA CCAw。由前段证明可知由前段证明可知 21,(,)1/ssdCov RRCCwww582022-3-7注注2证明：证明：222(,)(1),(1)111 (1)(1)(1)1 ()(1)uvsdsduuvvuvuvuvvuvuvvCov RRCovRRRRBCCCABCA wwwwww592022-3-73.2.5两基金分离定理两基金分离定理若若uw是一个最小方差资产组合，是一个最小方差资产组合， 其方差不是全局最小值，其方差不是全局最小值， 则存在最小方差资产组合则存在最小方差资产组合 vw ，使使

22、(,)0uvCov RR=ww。称称uw和和vw为零为零 b相关（即协方差为零）的有效投资组合。相关（即协方差为零）的有效投资组合。2022-3-7603.3 具有无风险资产的均值-方差分析612022-3-73.3.1 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有效投资组合假定市场存在假定市场存在n n种风险资产种风险资产 nXXX,.,21及无风险资产及无风险资产 0X ，无风险资产的收益率是一常数，无风险资产的收益率是一常数，设为设为 fR ，以以w w表示风险资产组合的权系数表示风险资产组合的权系数， 01Twl w是投资于无风险资产的权系数，是投资于无风险资产的权系数，

23、 表示投资于表示投资于n+1n+1种资产的投资组合的期望收益，种资产的投资组合的期望收益， 则则( )(1)TTfElRRww即即( ( )TffER lRRw622022-3-73.3.1 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有效投资组合 当投资者在市场上可以获得无风险资产时，当投资者在市场上可以获得无风险资产时，资产组合问题在两方面发生了变化。资产组合问题在两方面发生了变化。（1）与只有风险资产的预算约束不同的是，若投资者）与只有风险资产的预算约束不同的是，若投资者 在无风险资产的投资权重为在无风险资产的投资权重为 正时，表示储蓄；若权正时，表示储蓄；若权 重为负，则表

24、示为购买风险资产而筹集资金，即借贷。重为负，则表示为购买风险资产而筹集资金，即借贷。（2）与只有风险资产的预算约束不同的是，平均收益率）与只有风险资产的预算约束不同的是，平均收益率 的限制必须表达成超额收益率形式。的限制必须表达成超额收益率形式。632022-3-73.3.1 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有效投资组合最小方差资产组合问题可表示为如下的优化问题最小方差资产组合问题可表示为如下的优化问题 2min1(3.3.1 )22Taww s.t. (3.3.1 )TffER lRbRw利用利用拉格朗日拉格朗日乘数法，求解此二次规划问题，令乘数法，求解此二次规划问题

25、，令1( ( ) (3.3.2)2TffLRER l wwRw642022-3-73.3.1 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有效投资组合最优解的一阶条件为最优解的一阶条件为 12,( )0(3.3.3)TfnLLLLER lwww wRw解得最优解解得最优解 1( ( )(3.3.4)fER l wR01()(3.3.5)TflACR w1 w652022-3-73.3.1 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有效投资组合为此将为此将(3.3.4)代入代入(3.3.1b)得得 12( ( )( ( )2TfffffRER lER lBR AR CRR因为因为 20,BCA所以所以 220,ffBR AR C令令 CRARBHff22则则2(3.3.6)2ffffRRBARCRH662022-3-73.3.2 具有无风险资产的均值方差分析具有无风险资产的均值方差分析 222( ( )( ( )()() 2TTTffffffER lER lRRBARCR wwwRwRfR(3.3.7)()RfffRHRH当当672022-3-7