第5章 数字控制器的连续设计方法(改)

1、离散化设计方法（也称为离散化设计方法（也称为直接设计方法直接设计方法）：）：将被控将被控对象和保持器组成的连续部分离散化，直接应用离对象和保持器组成的连续部分离散化，直接应用离散控制理论的方法进行分析和综合，设计出满足控散控制理论的方法进行分析和综合，设计出满足控制指标的离散控制器，由计算机实现。制指标的离散控制器，由计算机实现。连续化设计方法连续化设计方法( (也称也称模拟化设计方法模拟化设计方法) )：忽略控制忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器，在回路中所有的零阶保持器和采样器，在s s域中按连域中按连续系统进行初步设计，求出连续控制器，再通过续系统进行初步设计，求出连续控制器，再通过

2、某某种近似种近似，将连续控制器变换为离散控制器，由计算，将连续控制器变换为离散控制器，由计算机去实现。机去实现。 将将D(s)离散成离散成D(z)的方法有多种，离散化的方法有多种，离散化的实质是求得一个等效的控制器脉冲传递函数，的实质是求得一个等效的控制器脉冲传递函数，使之与连续域的控制器传递函数在很多方面是使之与连续域的控制器传递函数在很多方面是相似的相似的 比如在脉冲响应特性、阶跃响应特性、频率特性、比如在脉冲响应特性、阶跃响应特性、频率特性、稳态增益和零、极点分布等方面稳态增益和零、极点分布等方面 一阶一阶差分变换法差分变换法（后向差分）（后向差分）（1）离散化公式）离散化公式11( )

3、( )szsTD zD sTs为采样周期为采样周期 后向差分的近似式是后向差分的近似式是： ( )( )(1)st kTsde te ke kdtT等式左边取拉氏变换为：等式左边取拉氏变换为： ( )sE s等式右边取等式右边取Z Z变换为：变换为： 11( )(1)1( )ssE zE zzzE zTT 这样可以得到变换关系：这样可以得到变换关系：11szsT结论：结论：11( )( )szsTD zD sjs平面0z平面0ImRe01-1后向差分法的映射关系S平面的虚轴映射为Z平面半径为1/2的圆 22211Re( )Im ( )22zzS左半平面的映射 2211SszTT 特点：特点：0

4、2 2、后向差分变换在、后向差分变换在从从0 时，唯一映射到半径为时，唯一映射到半径为1/21/2的圆上，因此没的圆上，因此没有出现频率混叠现象，但是频率被严重压缩了，不能保证频率特性不变，变有出现频率混叠现象，但是频率被严重压缩了，不能保证频率特性不变，变换精度低，工程应用上受限制。换精度低，工程应用上受限制。优点优点是简单易做。是简单易做。图5-10 后向差分法的映射关系 1 1、 ( (即表示即表示S S平面左半平面平面左半平面) )，|z|1,|z|1,说明映射到说明映射到Z Z平面的单位圆内，平面的单位圆内，因此因此D(s)D(s)是稳定的，经后向差分变换后，是稳定的，经后向差分变换

5、后，D(z)D(z)也是稳定的。也是稳定的。前向差分的近似式是：前向差分的近似式是：( )(1)( )st kTsde te ke kdtT变换式为：变换式为：1szsT或者或者1szsT 结论：结论：1( )( )szsTD zD s js平面0z平面0ImRe01-1前向差分法的映射关系图5-11前向差分变换法的映射关系 令sj则1szj T S平面的虚轴，映射到平面的虚轴，映射到Z Z平面是一平面是一条过实轴条过实轴1 1，平行于虚轴的直线，平行于虚轴的直线令sj221(1)()sssszTj TzTT 要使要使 除除 外，还要外，还要 较小时才行，较小时才行，可见这种变换会产生不稳定的

6、可见这种变换会产生不稳定的1z 0sT( )D z则 显见，显见，前向差分变换法中稳定的前向差分变换法中稳定的D(s)不能保证变换成稳不能保证变换成稳定的定的D(z)，要稳定采样周期缩小，要稳定采样周期缩小，且不能保证有相同的脉冲且不能保证有相同的脉冲响应和频率响应。响应和频率响应。用后向差分变换法离散用后向差分变换法离散21( )0.21D sss假设假设1sTs12111121( )( )110.210.455( )10.455( )szsTssD zD szzTTU zzzE z等效差分方程（控制算法）为：等效差分方程（控制算法）为：u(k)=0.455e(k)- u(k-1)+0.45

7、5u(k-2) 梯形面积公式逼近积分运算原理梯形面积公式逼近积分运算原理 定积分定积分 0( )( )tu te t dt两边求拉氏变换两边求拉氏变换 1( )( )U sE ss积分传递函数积分传递函数 ( )1( )s)U sD sEs（ kK-1e(k-1)e(k)eu(k-1)梯形面积运算图5-12 梯形面积运算( )(1) ( )(1)2sTu ku ke ke k求求Z变换变换 -11sTU(z)=z U(z)+ ( )( )2E zz E z积分积分Z的传递函数的传递函数1111( )1z1( )2 1 z( )2 1 z1zssTU zD zE zT离散化方法是：离散化方法是：

8、 1121 z1 z( )( )ssTD zD s *22ssTszTs变换式的另一种形式变换式的另一种形式设设sj则则222244()242sSSsSjTjTTzTjT 说明说明:从从0 z 的相角单调的从的相角单调的从0变换到变换到sj 2222(2)(2)ssTzTs平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到z z平面的单位圆内平面的单位圆内结论：结论：从这样的映射关系可以看出，如果从这样的映射关系可以看出，如果 是稳定的，是稳定的，双线性变换后双线性变换后 也是稳定的，并且不出现频率的混叠现象也是稳定的，并且不出现频率的混叠现象( )D s( )D z设设则则 s平面的虚轴，唯一映射到平

9、面的虚轴，唯一映射到z z平面的单位圆上平面的单位圆上0,1sz21( )0.21D sss111122 1 z21 z11121211( )110.21(2)0.2(2)1110.185(12)(z)1 1.1110.852(z)ssTD zzzsszzzzUzzE等效差分方程（控制算法）为：等效差分方程（控制算法）为：u(k)=1.111u(k-1)-0.852u(k-2)+0.185e(k)+0.37e(k-1)+ 0.185e(k-2)结论：结论：连续控制器连续控制器 零点少于极点数，经双线性变换后，零点少于极点数，经双线性变换后，零、极点数相等，这点可以做如下解释：由于双线性变换将零

10、、极点数相等，这点可以做如下解释：由于双线性变换将整个整个S S平面一一对应变换到平面一一对应变换到Z Z平面，因此平面，因此 在无穷远处的在无穷远处的零点，经双线性变换后被变换到零点，经双线性变换后被变换到z=-1z=-1处。处。( )D s( )D s应用：应用：使用方便，有一定精度和好的特性，应用较为普遍。使用方便，有一定精度和好的特性，应用较为普遍。不需要校正稳态增益。不需要校正稳态增益。但高频特性严重失真，主要用于低通环节的离散化。但高频特性严重失真，主要用于低通环节的离散化。s 01( )( )zD sD zD(z)D(S)( ) t( ) th(t)th(kTs)t脉冲响应不变法

11、图图5-8 5-8 脉冲响应不变法脉冲响应不变法()sh kT 所谓所谓脉冲响应不变脉冲响应不变是指所设计出的是指所设计出的D(z)其单位脉冲响应其单位脉冲响应与与D(s)的单位脉冲响应的单位脉冲响应h(t)的采样值相等的采样值相等 0( )1( )( )niiiU sD sAE ssa1111( )L inna tiiiiih tAAesa1()iSna kTsiih kTA e1101( )1iSiSnna kTkiia TikiAD zAezez ()sh kT对对D(z)求求Z Z反变换得到反变换得到 ，所以符合单位脉冲响应不变的，所以符合单位脉冲响应不变的条件，条件，D(z)是是D(

12、s)的离散化。这一方法实质上是由的离散化。这一方法实质上是由D(s)直接求直接求Z变换的方法，当变换的方法，当D(s)很简单时，可以直接查很简单时，可以直接查Z Z变换表，如果变换表，如果D(s)较复杂，则必须先用部分分式展开成可查表的形式较复杂，则必须先用部分分式展开成可查表的形式对上式求对上式求Z Z变换变换 （5-85-8）（5-75-7）21( )0.21D sss222111.005 0.995( )0.21(0.10.995 )(0.10.995 )(0.1)0.995D ssssj sjs0.110.10.222121.005sin0.9950.760.76( )( )2cos0

13、.9950.9850.8191 0.9850.819( )sssTsTTszeTzzU zD zzzeTezzzzE z查查Z变换表变换表等效差分方程（控制算法）：等效差分方程（控制算法）：u(k)=0.985u(k-1)-0.819u(k-2)+0.76e(k-1)22)(basbaTaTaTebTzezbTze22cos2sinasasD)(1( )( )( )1( )saTaU zD zD sezE z ( )( )(1)saTu kae keu k注意！两种避免频率混叠现象发生的方法注意！两种避免频率混叠现象发生的方法 采样器前串联低通滤波器，以衰减高频分量 使用足够高的采样频率 2

14、2特点及应用范围特点及应用范围sD(S)1sT sesD(S)1( )( )sT seDzZD ss加零阶保持器的脉冲响应不变法2.2.特点：特点：(1) D(s)是稳定的，变换后D(z)也是稳定的。(2) 由于零阶保持器具有低通滤波特性，将使信号最大频率低些，因此频率混叠现象将比单纯采用脉冲响应不变法要有所改善。(3) 零阶保持器的引入将带来相位滞后，故稳定裕度要差些。 图图5-9 加加零阶保持器的脉冲响应不变法零阶保持器的脉冲响应不变法21( )0.21D sss1222221111121212121110.10.995(z) Z (1)Z0.10.21(0.1)0.995(0.1)0.9

15、9511 0.49230.763(1)11 0.9850.8191 0.9850.8190.4310.403(1 0.9850.819sTsesDzsssssszzzzzzzzzzUzz )( )zE z等效差分方程（控制算法）等效差分方程（控制算法）: : u(k)=0.985u(k-1)-0.819u(k-2)+0.431e(k-1)+0.403e(k-2)经双线性变换后，模拟频率与离散频率两者之间存在着非线性关系sjSjTZe将将 带入双线性变换式：带入双线性变换式：22222222222222222 121222.2sin22cos2TTTTjjjjsssssTTTTjjjjsssss

16、TTjjssTTjjssTTTTjjjjssssTjTjssssssseeeeejTeTeeeeeejeejTTeeeeTjTT22ssTjtgT与与之间的非线之间的非线性性关系式关系式22ssTtgT 2sT2sTsTw与w之间的非线性关系图5-13 之间的非线性关系 22ssTtgTsT0sT假设假设0( )1sD s 当考虑频率响应时，将当考虑频率响应时，将sj代入代入0()1jD j在临界频率在临界频率0 处有处有()1D jj 将将( )D s中的中的0变换成变换成002*2SsTtgT则则0( )122SssD sTtgT再再实施实施双线双线性性变换，变换，代入代入112 1 z1

17、zssT0012 1()1212121222SSSjTjTjTSssSSsseD eTTetgTTtgTTtgT当当00()1SjTD ej保证了临界频率保证了临界频率0处处( )D s与与( )D z有相同的特性有相同的特性 将所期望的极点和零点（将所期望的极点和零点（s+a）,以以a代替代替as0s2*2*TatgTsasa2. 2. 将将D(s, a)变换成变换成D(z,a)D(z,a)112 1 z1 z( , )( , *)ssTD z aD s a3. 3. 调整增益，因为频率预畸变之后。零极点挪动，直流调整增益，因为频率预畸变之后。零极点挪动，直流增益发生了变化，所以必须保证变化

18、前后直流增益不变出增益发生了变化，所以必须保证变化前后直流增益不变出发，进行增益调整。发，进行增益调整。10( )( )zsD zD s例例4-5已知已知21( )0.21D sssTs=1s( )D s的临界频率的临界频率1/nrad s用频率预畸变的双线性变换法变换成用频率预畸变的双线性变换法变换成D(z)D(z) 1）进行频率预畸变进行频率预畸变s2*1.0932nnsTtgT2222211( )( ,*)20.2*10.2191.195nnnnnD sD sssssss2 2） 对对 进行双线性变换进行双线性变换( ,*)nD s11112 121111212( ,)( ,*)114(

19、)0.21921.195110.178 (1)10.9960.827snnzsTzkD zD szzzzkzzz令令10( )( )zsD zD s20.178 (1 1)11 0.9960.827k1.17k 等效差分方程等效差分方程( (控制算法控制算法):):( ) 0.996 (1) 0.827 (2) 0.208 ( ) 0.416 (1) 0.208 (2)u ku ku ke ke ke k 21212121827. 0996. 01208. 0416. 0208. 0827. 0996. 01)1 (178. 017. 1)(zzzzzzzkzD5.3.6 极点零点对应法极点零点对应法 将s平面的零点或极点用ssTze关系映射到Z平面上可以定义为下列变换关系：1s1( )( )aTs azeD z def D s 对于复数极点或零点ss212()()12cos()aTaTSSajb Sajbz ebTez 1 同一个同一个( )D s用极点零点对应法和脉冲响应不变法变换后的用极点零点对应法和脉冲响应不变法变换后的( )D z极点相同而零点不同。极点相同而零点不同。