第4章 参数估计(2017)

1、第 4 章 参数估计n4.1 参数估计的基本原理参数估计的基本原理n4.2 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计n4.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计n4.4 样本容量的确定样本容量的确定注：本章以下讨论内容均以重复抽样重复抽样为例名人名言n“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,我们就寸步难行,无所作为”.英国逻辑学家和经济学家杰文斯(Jevons，18351882 ) 这句话是在有一次，他在评论一些经济问题时所说的话。 统计推断/抽样推断统计推断：就是根据已知的部分数据对总体进统计推断：就是根据已知的部分数据对总体进行估计的一种推断方法。行估计的一种推

2、断方法。统计推断统计推断参数估计参数估计假设检验假设检验点估计点估计区间估计区间估计矩估计法矩估计法最大似然估计法最大似然估计法双侧置信区间双侧置信区间单侧置信区间单侧置信区间侧重于用样本统计量估计总体的某一未知参数侧重于用样本资料验证总体是否具有某种性质或数字特征抽样估计的意义1、在不可能进行全面调查的情况。对于无限总体和总体单位特别多的有限总体以及破坏性的产品质量检查，不可能进行全面调查，只能采用部分单位调查，从而推断总体情况，如了解某市空气污染情况、电子元件的寿命等等。2、在不必要进行全面调查的情况下，可采用抽样调查。如居民家计调查、电视台节目收视率调查等，没必要耗费大量的人力、物力和时

3、间去全部逐一登记。3、在来不及进行全面调查的情况下，可采用抽样调查。如物价部门检查企业有无违反物价规定的情况。4、为了对全面资料进行补充和修正，也常常采用抽样调查。普查范围广、耗费大，故比较长时间才进行一次。一般在普查之后，要进行一次抽样复查，用抽样的资料与范围内的普查资料对比，去修正普查资料。由于抽样调查具有花费小、适应性强、科学性高等其他调查方法无法相比的优越性，它在社会经济工作中得到了广泛的应用。归纳起来，主要有以下几种情况常常采用抽样调查： 抽样推断方法与其它统计调查方法相抽样推断方法与其它统计调查方法相比，具有省时、省力、快捷的特点，能以比，具有省时、省力、快捷的特点，能以较小的代价

4、及时获得总体的有关信息。较小的代价及时获得总体的有关信息。1. 1. 根据样本资料对总体的数量特征作出具有一定根据样本资料对总体的数量特征作出具有一定可靠性的估计和推断可靠性的估计和推断. .2. 2. 按照随机性原则从全部总体中抽取样本单位按照随机性原则从全部总体中抽取样本单位. . 3. 3. 抽样推断必然会产生抽样误差抽样推断必然会产生抽样误差 . .特点 用样本指标来代表总体指标时就会产生一定的误用样本指标来代表总体指标时就会产生一定的误差，这种误差是抽样推断方法本身所固有的，所以叫差，这种误差是抽样推断方法本身所固有的，所以叫抽样误差，属于代表性误差。抽样误差，属于代表性误差。 抽样

5、误差主要包括样本平均数与总体平均数的差抽样误差主要包括样本平均数与总体平均数的差数，样本成数与总体成数的差数。抽样误差愈小，表数，样本成数与总体成数的差数。抽样误差愈小，表示样本的代表性愈高；反之，代表性就愈低。示样本的代表性愈高；反之，代表性就愈低。抽样误差的大小决定于以下几个因素：抽样误差的大小决定于以下几个因素：1. 1. 样本容量样本容量n n的多少。的多少。 2. 2. 总体被研究标志的变异程度。总体被研究标志的变异程度。 3. 3. 抽样方法的选择。抽样方法的选择。 抽样误差学习目标n1、估计量与估计值的概念、估计量与估计值的概念n2、点估计与区间估计的区别、点估计与区间估计的区别

6、n3、评价估计量优良性的标准、评价估计量优良性的标准n4、一个总体参数的区间估计方法、一个总体参数的区间估计方法n5、两个总体参数的区间估计方法、两个总体参数的区间估计方法n6、样本容量的确定方法、样本容量的确定方法参数估计通俗地说，就是根据抽样结果来合理通俗地说，就是根据抽样结果来合理地、科学地估计总体的参数很可能是什么？或者在什地、科学地估计总体的参数很可能是什么？或者在什么范围。么范围。根据样本数据算出一个单一的估计值，根据样本数据算出一个单一的估计值，用来估计总体的参数值。用来估计总体的参数值。计算抽样平均误差，指出估计的可信计算抽样平均误差，指出估计的可信程度，进而在点估计的基础上，

7、确定总体参数的所在程度，进而在点估计的基础上，确定总体参数的所在范围或区间。范围或区间。n1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量n如样本均值，样本比率、样本方差等n例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量n2. 参数用 表示，估计量用 表示n3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值n如果样本均值 x =80，则 80就是 的估计值估计量与估计值 (estimator & estimated value)在实际问题中，我们常常需要估计一些未知参数，这些参数可能是总体分布中的参数；或者当总体分布未知时，总体的某些数字特征，如：均值、方差等。点估计 (point estimate

8、)n1. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值n例如：用样本均值直接作为总体均值的估计n例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计n2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息n3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等区间估计 (interval estimate1212（ ， ）2（）=1-P12（ ， ）x2xxz1用置信区间估计的可靠性用置信区间估计的可靠性（把握度）（把握度）抽样平均误差抽样平均误差 ：样本均值抽样分布的标准：样本均值抽样分布的标准差。反映在参数周围抽样平均值的平均变异程度。差。反映在参数周围抽样平均值的平均变异程度。 越大，样本均值

9、越分散。越大，样本均值越分散。 概率度：概率度：Z在参数估计中被称为概率度，其大在参数估计中被称为概率度，其大 小由小由 决定决定.1XXX1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平 2 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比率 3 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相应的相应的 为0.01，0.05，0.10n1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间n2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 n3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产

10、生的区间是否包含总体参数的真值n我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个1XXXZXZ区间估计的进一步解释估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数 )(E12P( )1222随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数1)(P置信区间的求法置信区间的求法-枢轴量法枢轴量法构造未知参数 的置信区间的常用方法是枢轴量法枢轴量法，其步骤可以概括为如下三步：1.设法构造一个样本和的函数Z = Z(x1,x2xn, )使得Z的分布不依赖于未知参数，一般称具有这种性质的Z为枢轴量。2.适当地选择两个常数c，d，使对给定的（0 1）有P(c Z d) =1- （1）3. 假如能将 c Z d 进行不等式等价变形为 ，则有 （2 2） 这表明 是的1- 同等置信区间。LULUP（）=1-LU ，上述构造置信区间的关键在于构造枢轴量Z，故把这种方法称为枢轴量法。枢轴量法。枢轴量的寻找一般从的点估计出发，而满足（1）的c，d可以有很多，选择的目的是希望（2） 中的平均长度 尽可能短。假如可以找到这样的假如可以找到这样的c，d使 达到最短当然是最好的，不过在不少场合很难做到这一点。故常这样选择c和d，使得两个尾部概率各位/2, 即这样得到的