线性代数第三章习题与答案(东大绝版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第三章 习题与答案 习题 A1.求向量的线性组合解 .2.从以下方程中求向量 ，其中解 由方程得， 故,即.3.求证:向量组中的任一向量可以由这个向量组线性表出.证 4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.证 设向量组为,则有而不全为0,故向量组线性相关.5.设有个向量,证明: 若,则向量组线性相关.证 显然有,而不全为0.故向量组线性相关.6.判断下列向量组的线性相关性(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,);(2) (2,0),(0,-1);(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);(4)

2、(1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).解 (1)设有三个数,使则有方程组,因为系数行列式.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关.(2)设有两个数使 则有方程组,由此解得,所以两个向量线性无关.另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关.(3)设有四个数,使,则有方程组,其系数行列式,所以方程组有非零解,向量组线性相关.(4) 设有四个数,使则有方程组由前三个方程得,代入第五个方程得,即,从而,所以向量组线性无关.7.设线性无关,证明:也线性无关.证 设有三个数,使,则,因线性无关,故,因系数行列式,所以只有,由此知线性无关.8

3、.设线性无关,问向量组是线性相关,还是线性无关?并给出证明.解 设有个数使,则得方程组其系数行列式可见,当为奇数时,方程组仅有零解,向量组线性无关,当为偶数时,方程组有非零解,向量组线性相关.9.设,证明:向量组线性相关的充分必要条件是.证 必要性:设线性相关,则存在不全为0的个数使,即有方程组该方程组有非零解,故系数行列式,即,充分性: 对于方程组(*)当时,系数行列式,所以有非零解,即存在不全为0的使成立,故线性相关.10.设是一组维向量.已知维标准单位向量组能由它们线性表出,证明: 线性无关.证 设,则有可见也能由线性表出,从而两个向量组等价.因为线性无关,所以也线性无关.11.设是一组

4、维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一维向量都可由它们线性表出.证 必要性:设线性无关,为任一维向量,则,必线性相关.(个数大于维数),因此可由线性表出.充分性:设任一维向量都可由线性表出.因此与等价,从而线性无关.12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.(1)(2) (3) 解 (1) ,向量组的秩为2, 为一个极大线性无关组.(2) 向量组的秩为3, 为一个极大线性无关组.(3) 向量组的秩为2, 为一个极大线性无关组.13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是.解 所求方阵可写成,则显然.14.已知的秩为,证明: 中任意个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无

5、关组.证 设为中任意个线性无关的向量,因为向量组的秩为,故线性相关.可见中的每个向量都可由线性表出.因此, 是的一个极大线性无关组.15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.(1); (2);(3);(4).解 (1) ,秩为3.(2) ,秩为2.(3) ,秩为2.(4) ,秩为3.16.证明: 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即 .证 设为一个极大线性无关组,为一个极大线性无关组,.因为可由,线性表出,从而也可由,线性表出.故.17.设与可乘,且,证明: 的列数.证法一 设为矩阵,为矩阵由,有比较等式两边对应元素,有,.可见的列向量组为上述个齐次线性方程组的解向量,因此有 ,移项

6、得(的列数).证法二 设为矩阵,为矩阵, ,因为,则的标准形可写成,即存在可逆阵使得.又设,则,但,可见,又因为,所以,而共行,因此,即或. 习题 B1.证明: (其中)线性相关的充要条件是至少有一个可被线性表出.证 必要性:设线性相关(),则存在不全为0的个数使,设是中最后一个不为零的数,即,而,则,因为,所以,即,(否则则不能成立),于是,即可由线性表出.充分性:如果,则,而不全为0,所以线性相关.2.证明:一个向量组的任一线性无关组都可扩充为一个极大线性无关组.证 设有向量组秩为,是它的任意一个线性无关组,如果,则它就是的一个极大线性无关组.如果,则的其余向量中一定可以选出向量,使,线性

7、无关(否则与秩矛盾),只要,重复上述过程,直到时为止.这样就是由扩充成的一个极大线性无关组.3.已知两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表出,证明:这两个向量组等价.证 设为两个秩为的向量组, 分别为极大线性无关组,设可由线性表出,则有,其中为组合系数构成的阶方阵,因为线性无关,所以可逆,从而可由线性表出,从而可由线性表出,又可由线性表出,所以可由线性表出,即可由线性表出,因此向量组,等价.4.设向量组的秩为,在其中任取个向量,证明: .证 设的秩为,从它的一个极大线性无关组(含个向量)可扩充为的一个极大线性无关组(含个向量),所扩充向量的个数为个.但中除了外,还有个向量,故,即.5.设阶矩阵的秩为,证明:存在秩为的阶矩阵及秩为的阶矩阵,使.