直线与平面、平面与平面平行的性质

1、精选优质文档-倾情为你奉上直线与平面、平面与平面平行的性质学习目标1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.知识点一直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言ab图形语言思考(1)若直线a平面，则直线a平行于平面内的任意一条直线，对吗？(2)若直线a与平面不平行，则直线a就与平面内的任一直线都不平行，对吗？答(1)不对.若直线a平面，则由线面平行的性质定理可知直线a与平面内的一组直线平行.(2)不对.若直线a与平面不平行，则直

2、线a与平面相交或a.当a时，内有无数条直线与直线a平行.知识点二平面与平面平行的性质文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言，a，bab.图形语言思考(1)两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？(2)两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？答(1)不一定.因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点，它们平行或异面.(2)平行.因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，所以它们平行.题型一线面平行性质定理的应用例4如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是

3、PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：APGH.证明连接MO.四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点.又M是PC的中点，APOM.又AP平面BDM，OM平面BDM，AP平面BDM.又AP平面APGH，平面APGH平面BDMGH，APGH.跟踪训练1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1A1EF，B1CC1EG.求证：ACFG.证明ACA1C1，A1C1平面A1EC1，AC平面A1EC1，AC平面A1EC1.又平面A1EC1平面AB1CFG，ACFG.题型二面面平行性质定理的应用例2已知AB、CD是夹在两个平行平

4、面、之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN平面.证明若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与、的交线为BD、AC.，ACBD.又M、N为AB、CD的中点，MNBD.又BD平面，MN平面，MN平面.若AB、CD异面，如图，过A作AECD交于E，取AE的中点P，连接MP、PN、BE、ED.AECD.AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC与、的交线分别为ED、AC，EDAC.又P、N分别为AE、CD的中点，PNED，又ED平面，PN平面，PN平面.同理可证MPBE，MP平面，AB、CD异面，MP、NP相交.平面MPN平面.又MN平面MPN，MN平面.跟踪训练2如图，平面平面平面，

5、两条直线l，m分别与平面，相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC15 cm，DE5 cm，ABBC13，求AB，BC，EF的长.解如图，连接AF，交于点G，连接BG，GE，AD，CF.因为平面平面平面，所以BGCF，GEAD.所以.所以.所以ABcm，EF3DE15 cm，BCACABcm.题型三平行关系的综合应用例3如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.解能，如图，取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.平面A1C1平面AC，平面A1C平面A1C1A

6、1N，平面AC平面A1CMC，A1NMC.同理，A1MNC.四边形A1MCN是平行四边形.C1NC1D1A1B1A1P，C1NA1P，四边形A1PC1N是平行四边形，A1NPC1且A1NPC1.同理，A1MBP，A1MBP.又A1NA1MA1，C1PPBP，平面A1MCN平面PBC1.故过点A1与截面PBC1平行的截面是A1MCN.连接MN，作A1HMN于点H.由题意，易得A1MA1N，MN2.MHNH，A1H.故2××2×2.跟踪训练3如图，三棱锥ABCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD平面EFGH.证明四边形EFGH是平行四边形，EFGH.E

7、F平面BCD，GH平面BCD，EF平面BCD.又EF平面ACD，平面ACD平面BCDCD，EFCD.又EF平面EFGH，CD平面EFGH，CD平面EFGH.转化与化归思想例4如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD平面PBCl.(1)求证：lBC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.分析欲证明线线平行可考虑线面平行的性质，欲证明线面平行可考虑线面平行的判定或面面平行的性质.(1)证明因为ADBC，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.所以AD平面PBC.又因为平面PBC平面PADl，所以lBC.(2)解平行.证明如下：如图，取

8、CD的中点Q，连接NQ，MQ.因为M，N分别是AB，PC的中点，所以MQAD，NQPD.因为MQNQQ，ADPDD，所以平面MNQ平面PAD.因为MN平面MNQ，所以MN平面PAD.忽视定理的条件例6如图，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形.分析已知E，F两点为正方体棱的中点，若证四边形BED1F为平行四边形，则先证B，E，D1，F四点共面，再证四边形BED1F为平行四边形.证明如图，连接AC，BD，交点为O；连接A1C1，B1D1，交点为O1.连接BD1，EF，OO1.设OO1的中点为M.由正方体的性质可得四边形ACC1

9、A1为矩形.又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M.所以E，B，F，D1四点共面.又因为平面ADD1A1平面BCC1B1，平面EBFD1平面ADD1A1ED1，平面EBFD1平面BCC1B1BF，所以ED1BF.同理，EBD1F.所以四边形BED1F是平行四边形.1.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线()A.只和这个平面内的一条直线平行 B.只和这个平面内两条相交直线不相交C.和这个平面内的任何一条直线都平行 D.和这个平面内的任何一条直线都不相交2.已知a，b表示直线，表示平面，

10、下列推理正确的是()A.a，babB.a，abb且bC.a，b，a，bD.，a，bab3.若不在同一直线上的三点A，B，C到平面的距离相等，且A，则()A.平面ABCB.ABC中至少有一边平行于C.ABC中至多有两边平行于D.ABC中只可能有一边与相交4.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP，过点P，E，F的平面与棱CD交于Q，则PQ_.5.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为_.一、选择题1.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为

11、()A.ACBD B.AC截面PQMNC.ACBD D.异面直线PM与BD所成的角为45°2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于点A，B，C.若PAAA23，则SABCSABC等于()A.225B.425C.25 D.453.设，A，B，C是AB的中点，当A，B分别在平面，内运动时，那么所有的动点C()A.不共面B.当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.不论A，B如何移动，都共面4.如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，则()A.MN

12、PDB.MNPAC.MNADD.以上均有可能5.直线a平面，内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线()A.至少有一条 B.至多有一条C.有且只有一条 D.没有6.下列结论中，正确的有()若a，则aa平面，b，则ab平面平面，a，b，则ab平面，点P，a，且Pa，则aA.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.过平面外的直线l，作一组平面与相交，如果所得的交线为a，b，c，则这些交线的位置关系为()A.都平行 B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点二、填空题8.已知a，b表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题：若a，b，且ab，则；

13、若a，b相交且都在，外，a，b，a，b，则；若a，a，则；若a，b，且ab，则；若a，a，b，则ab.其中正确命题的序号是_.9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_.10.如图所示，直线a平面，A，并且a和A位于平面两侧，点B，Ca，AB、AC分别交平面于点E、F，若BC4，CF5，AF3，则EF_.三、解答题11.如图所示，B为ACD所在平面外一点，M，N，G分别为ABC，ABD，BCD的重心.(1)求证：平面MNG平面ACD；(2)求SMNGSADC.12.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点

14、N在BD上，点M在B1C上，且CMDN.求证：MN平面AA1B1B.当堂检测答案1.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线()A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内两条相交直线不相交C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交2.已知a，b表示直线，表示平面，下列推理正确的是()A.a，babB.a，abb且bC.a，b，a，bD.，a，bab3.若不在同一直线上的三点A，B，C到平面的距离相等，且A，则()A.平面ABCB.ABC中至少有一边平行于C.ABC中至多有两边平行于D.ABC中只可能有一边与相交4.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D

15、1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP，过点P，E，F的平面与棱CD交于Q，则PQ_.5.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为_.课时精练答案一、选择题1.答案C解析截面PQMN为正方形，PQMN，从而易得PQ面DAC.又面ABC面ADCAC，PQ面ABC，PQAC.从而易得AC平面PNMQ.同理可得QMBD.又PQQM，PMQ45°，ACBD，且异面直线PM与BD所成的角为45°.故选项A、B、D正确.2.答案B解析平面平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为AB，AB，ABAB.同理B

16、CBC，ACAC，从而易得ABCABC，且，SABCSABC2.3.答案D解析如图所示，A，B分别是A，B两点在，上运动后的两点，此时AB中点变成AB中点C.连接AB，取AB的中点E，连接CE，CE，CC，AA，BB.则CEAA，从而易得CE.同理CE.又，CE.CECEE.平面CCE平面.CC.故不论A，B如何移动，所有的动点C都在过点C且与，平行的平面上.4.答案B解析MN平面PAD，MN平面PAC，平面PAD平面PACPA，MNPA.5.答案B解析设这n条直线的交点为P，则Pa，直线a和点P确定一个平面.设b，则Pb.又a，ab.显然直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可

17、能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.6.答案A解析中，a与也可能相交，故不正确；中，a与b也可能异面，故不正确；中，a，a或a，又Pa，P，a，故正确.7.答案D解析l，l或l与相交.若l，则由线面平行的性质定理可知la，lb，lc，a，b，c，这些交线都平行.若l与相交，不妨设lA，则Al，又由题意可知Aa，Ab，Ac，这些交线交于同一点A.综上可知D正确.二、填空题8.答案解析错误，与也可能相交；正确，依题意，由a，b确定的平面，满足，故；错误，与也可能相交；错误，与也可能相交；正确，由线面平行的性质定理可知.9.答案解析因为EF平面AB1C，且EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，所以EFAC.又因为E为AD的中点，所以EF为ACD的中位线，所以EFAC×2.10.答案解析EF可看成为直线a与点A确定的平面与平面的交线，a，由线面平行的性质定理知，BCEF，由条件知ACAFCF358.又，EF.三、解答题11.(1)证明如图，连接BM，BN，BG并分别延长交AC，AD，CD于P，F，H.M，N，G分别为ABC，ABD，BCD的重心，则有2.连接PF，FH，PH，有MNPF.又PF平面ACD，MN平面ACD，MN平面ACD.同理MG平面