随机变量的数字特征

1、随机变量的数字特征1、数学期望定义设离散型随机变量X的分布律为：kkpxXP，, 2 , 1k ，若级数1ikkpx绝对收敛，则称级数1ikkpx的和为随机变量X的数学期望。记为EX，即EX=1kkkpx。(1) 离散型第四章 随机变量的数字特征1 数学期望数学期望也称为均值。返回主目录设连续型随机变量 X 的概率密度为)(xf，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称积分dxxxf)(的值为 X 的数学期望。记为 EX=dxxxf)(，数学期望也称为均值。(2)、连续型第四章 随机变量的数字特征1 数学期望返回主目录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望说说 明明变化的平均值的数学期望刻划了 XX

2、) 1 (的求和顺序无关的和与其级数时，才能保证级数绝对收敛只有当级数变化的平均值，因此，机变量的数学期望表示的是随由于随机变量111)2(nnnnnnnnnpxpxpxXX返回主目录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们：甲击中的环数；X：乙击中的环数；YX8910P0.10.30.6Y8910P0.20.50.3平较高？试问哪一个人的射击水例2返回主目录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望解：例2（续）为甲、乙的平均环数可写5 . 96 . 0103 . 091 . 08EX1 . 93 . 0105 . 092 . 08EY的好，甲的射击水平要

3、比乙因此，从平均环数上看返回主目录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望，其密度函数为分布服从设随机变量CauchyX由于 dxxfx xxxf2111dxxx2110212dxxx021ln1x 不绝对收敛，这表明积分dxxxf不存在因而 EX例3返回主目录设离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7例 4则 EX = 0*0.1+1*0.2+2*0.7 =1.6若离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.7 0.2 0.1则 EX = 0*0.7+1*0.2+2*0.1 =0.4第四章 随机变量的数字特征1 数学期望此例说明了数学期望更完整

4、地刻化了x的均值状态。返回主目录按规定，火车站每天 8:009:00, 9:0010:00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为： 到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6例 5解：设旅客的候车时间为 X（以分记）(1) X 的分布律： X 10 30 50 P 1/6 3/6 2/6EX=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分)第四章 随机变量的数字特征(1) 旅客 8:00 到站，求他侯车时间的数学期望。(2) 旅客 8:20 到站，求他侯车时间的数学期望。返回主

5、目录 X 10 30 50 70 90 P 3/6 2/6 (1/6)*(1/6) (3/6)*(1/6) (2/6)*(1/6)EX=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36) +70*(3/36) +90*(2/36) =27.22(分)第四章 随机变量的数字特征1 数学期望 到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6（2）旅客8：20分到达X的分布率为返回主目录2、随机变量函数的数学期望定理 1： (2).若X的概率密度为)(xf，且 dxxfxg)()(绝对收敛，则 EY=dxxfxg)()(。第四章 随机变量的数字特

6、征1 数学期望返回主目录设 Y=g(X), g(x) 是连续函数，（1）若 X 的分布率为且 绝对收敛, 则 EY=kkxXPP1)(kkkxgP, 2 , 1k1)(kkkxgP若),(YX是二维随机变量，),(yxg是二元连续函数， ),(yxgZ 定理 2：(1). 若),(YX的分布律为ijjiPyYxXP,，且1,),(jiijjiPyxg绝对收敛；则 EZ=1,),(jiijjiPyxg。(2). 若),(YX的概率密度为),(yxf，且 dxdyyxfyxg),(),(绝对收敛，则：EZ=dxdyyxfyxg),(),(。第四章 随机变量的数字特征1 数学期望返回主目录设风速 V

7、 在(0,a)上服从均匀分布，又设飞机机翼受到的正压力 W 是 V 的函数：2kVW ，(k0)；求 EW。例 6解 ：其它；,0;0,/1)(aafVEW=aVkadakdfk022231)/1 ()(第四章 随机变量的数字特征1 数学期望返回主目录例 7EX=0101312),(xdyxdxdxdyyxxfE(-3X+2Y)=31)23(20101xdyyxdxEXY=01011212),(xydyxdxdxdyyxxyf第四章 随机变量的数字特征1 数学期望其它；, 0),( , 2),(Ayxyxf解：0 xy01 yx 设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+

8、y+1=0所围成的区域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量 X（吨） ，它在2000,4000上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇 3 万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费 1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。例 8解：设 y 为预备出口的该商品的数量，这个数量可只 介于 2000 与 4000 之间， 用 Z 表示国家的收益（万元）),(3,3XyXyZ yXyX第四章 随机变量的数字特征1 数学期望返回主目录即，组织 3500 吨此种商品是最佳的决策。（例8续）),(3,3)(xyxyx

9、gz yxyx下面求 EZ，并求使 EZ 达到最大的 y 值，dxydxxyxdxxfxgEZyy40002000200032000)(3)()(8250)3500(1000110*43500)3500(1000110*4700010001242262yyyy第四章 随机变量的数字特征1 数学期望40002000 y3、数学期望的性质II) EcX=cEX， c 是常数，I) Ec=c，c 是常数，若bXa， 则bEXa，III) E(aX+bY)=aEX+bEY第四章 随机变量的数字特征1 数学期望IV)若x , y独立，则 EXY=EXEYniniiiiiEXaXaE11)(返回主目录例

10、9 假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是P，且各次化验结果是相互独立的。试说明适当选取k可使第二个方案减少化验次数。第四章 随机变量的数字特征1 数学期望对N个人进行验血，有两种方案：（1）对每人的血液逐个化验，共需N次化验；（2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其中的一份，按k个人一组混合后进行化验（设N是k的倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都是阴性反应，这时k个人的血只要化验一次；如果混合血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份血液逐一进行化验，这时k个人的血要化验k+1次；返回主目录（例 9续）iX只可能取两个值 1或 k+1，下面求iEX：kiqXP 1 ， pq 1；kiqkXP

11、11 ；第四章 随机变量的数字特征1 数学期望解：设X表示第二个方案下的总化验次数， 表示第i个组的化验次数，则iXkNiikNiiEXEXXX11, 且个组的平均化验次数。第表示平均化验次数，表示第二种方案下总的iEXEXi返回主目录只要选 k 使 1/ 11kqk，即kqk / 1，就可使第二个方案减少化验次数；当 q 已知时，若选 k 使kqkkf/ 11)( 取最小值，就可使化验次数最少。第四章 随机变量的数字特征1 数学期望（例 9续）kkkikqkqkqEX1)1)(1( ，kNi/, 2 , 1；)11 ()1(kkqkNkqkkNEX所以例如：当p=0.1，q=0.9时，可证明

12、k=4可使最小；这时，NNEX5939. 0)9 . 04/11 (4工作量将减少40%.返回主目录一民航送客载有 20 位旅客自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数。求 EX（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立） 。解：设 站有人下车第站没人下车第iiXi, 1, 0， 10, 2 , 1i，例 10易见 101XXX，101iiEXEX，20)10/9 (0iXP，20)10/9 (1 1iXP，10, 1i，20)10/9(1iEX，10, 1 i，)(784. 8)10/9 (1 1020次EX。第四章

13、 随机变量的数字特征1 数学期望返回主目录不是相互独立的此时，10, 2 , 1iXi第四章 随机变量的数字特征1 数学期望例 11用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即P第k次生产出的产品是正品=. 0, 2 , 1,kek假设每次生产100件产品，试求这台机器前10次生产中平均生产的正品总数。解：设X是前10次生产的产品中的正品数，并设1011001.X ,100, 2 , 1,10, 2 , 1.0, 1kikikiXikikX则否则，件产品是正品；次生产的第第返回主目录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望所以分布，的服从而,100, 2 , 1.)(

14、) 10(ieXEepXkkikki例 11（续）eeeeXEXEkkkikkki1)1 (100e 100100)()(10-1011011001101返回主目录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望例 12 对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格。 假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平均需抽查的件数。解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,n，且.,; 1, 2 , 1,11nkqnkpqkXPnk，于是其中pq11111)(nnkknqpkqXE返回主目录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望

15、111111nnkknkknqkqkq112222) 1()2(2() 1(321 (nnnnnqqnqnqqqnqq121nqqqppqqnn)1 (111例 12（续）1111)1 ()(nnkknqqkqXE返回主目录2 方差1、定义 在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度，可用 E|X-EX|，但不方便；所以通常用2)(EXXE来度量随机变量 X 与其均值 EX 的偏离程度。设 X是随机变量，若2)(EXXE存在，称其为随机变量 X 的方差，记作 DX，Var(X)，即：DX=Var(X)= 2)(EXXE。DX称为标准差。2 方差122)()(iiipEXxEXXEDX， 离散型

16、。dxxfEXxDX)()(2， 连续型。第四章 随机变量的数字特征返回主目录2 方差第四章 随机变量的数字特征22EXEXDX证明：2EXXEDX222EXXEXXE222EXEXEXEX2222EXEXEX22EXEX 方差也可由下面公式求得：注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。返回主目录2 方差第四章 随机变量的数字特征：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们：甲击中的环数；X：乙击中的环数；Y平较高？试问哪一个人的射击水例13X8910P0.30.20.5Y8910P0.20.40.4返回主目录2 方差第四章 随机变量的数字特征解：比较两个人的平均环数甲的平均环数为5 .

17、 0102 . 093 . 08EX环2 . 9乙的平均环数为4 . 0104 . 092 . 08EY环2 . 9的方差分别为的，但两个人射击环数是一样，甲乙两人的射击水平因此，从平均环数上看例13（续）返回主目录2 方差第四章 随机变量的数字特征5 . 02 . 9102 . 02 . 993 . 02 . 98222DX76. 04 . 02 . 9104 . 02 . 992 . 02 . 98222DY624. 0，由于DXDY 甲稳定这表明乙的射击水平比例13（续）返回主目录2、方差的性质1 ) D X 0 ， 若C 是 常 数 ， 则D C = 02) DXCCXD2)(2 方差

18、第四章 随机变量的数字特征3) )(2)(22EYYEXXabEDYbDXabYaXD， a，b 是常数。若 X，Y 独立， 则DYbDXabYaXD22)()(2)()(2222EYYEXXabEEYYbEEXXaE22)()()()(EYYbEXXaEbYaXEbYaXEbYaXD证：)()(222EYYEXXabEDYbDXa2)(EXXEDX4 ) D X = 0 P X = c = 1 ， c= E X2 方差第四章 随机变量的数字特征DYbDXa22若X,Y独立，则E(X-EX)(Y-EY)=E (X-EX)E (Y-EY)=0故： )(2)(22EYYEXXabEDYbDXabY

19、aXD，注： 令， 则 EY=0,DY=1。称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。DXEXXY/ )(返回主目录2 方差第四章 随机变量的数字特征例 14|,| 1 , 0,YXDYXEUYX，且相互独立。求：设解：xy011. 10, 101),(, 101)(, 101)(yxyxfyyfxxfYX返回主目录2 方差第四章 随机变量的数字特征例 14续 100)(2xdyyxdx1022)2(2dxxx3122)(YXEYXEYXD先求：2YXE 1010|),(|dxdyyxdxdyyxfyxYXE 101000)()(yxdxxydydyyxdxxy0 xy 11 dxdyyxfyx)

20、,(|210102|dxdyyx返回主目录2 方差第四章 随机变量的数字特征例 14（续）61)2(101022dxdyyxyx22)(YXEYXEYXD则：181)31(612思考题：若且它们独立，),(),(22NYNX|,|YXDYXE求：10102)(dxdyyx返回主目录3、定理证明： （只证 X是连续型）22222)()(1DXdxxfx 。2 方差第四章 随机变量的数字特征)Chebyshev(不等式定理：（切比晓夫不等式）设随机变量X有数学期望 , 对任意 0, 不等式 成立，或2,DXEX方差22/|XP22/1|XP返回主目录|22)(|xdxxfx|)(|xdxxfXP这

21、个不等式给出了随机变量 X 的分布未知情况下，事件|X的概率的一种估计方法。例如：在上面不等式中，取4,3，有：8889. 03|XP9375. 04|XP2 方差第四章 随机变量的数字特征返回主目录2 方差第四章 随机变量的数字特征例15).61,600(,600BXX则粒种子中的良种数表示设解：02. 0600100-X P02. 061600X P .6561600DX ,61600 EX 由切比晓夫不等式有4213. 01446561600112112100-XP2DX假设一批种子的良种率为 ，从中任意选出600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占

22、比例与 之差的绝对值不超过0.02的概率。61612 方差第四章 随机变量的数字特征不等式证明：利用Chebyshev，则若10EXXPDX证明：0EXXPEXXP0EXXP01EXXP110nnEXXPEXXP而11nnEXXP概率的次可列可加性不等式，得由概率的非负性及Chebyshev例16返回主目录2 方差第四章 随机变量的数字特征2110nDXnEXXP001nEXXP所以， 21n00001nEXXP所以，00 EXXP所以，因此，1 EXXP例16（续）我们有：由此例及方差的性质，为常数CCXP1的充分必要条件为0DX返回主目录3.几种重要随机变量的数学期望及方差EX=p，pqp

23、pEXEXDX222)(。nkqpCkXPknkkn, 1 ,0,。方法1：nkknknkknkknqpknknkqpCkEX00)!( ! nkknkqpknknnp1)1(11)!1(1()!1()!1(第四章 随机变量的数字特征pppXk1102. 二项分布1.两点分布返回主目录nkknknkknkknqpknknkqpCkEX02022)!( !npqpnppnnppnpnEXEXDX)1 ()(222222210111)1(1111niiniinnkknkknqpCnpqpCnpEXnpqpnpn1)(nkknkqpknknkp11)!()!1(!nkknknkknkqpknknpq

24、pknknkp1111)!()!1(!)!()!1(!)1(npqpknknpnnnkknk2)2(222)!2(2()!2()!2() 1(npnppnnpqppnnn22222)()1(3 几种期望与方差第四章 随机变量的数字特征且nXX,1独立，令nXXX1，则 X 的可能取值为 0,1,n，iX服从（0-1）分布，nipXPqXPii, 2 , 1,1,0方法2：nkqpCkXPknkkn, 0,npEXEXnii1， ,1npqDXDXnii3泊松分布设 X 服从参数为泊松分布， 其分布律为ekkXPk!，k=0,1,.eekeekkEXkkkk110)!1(!3 几种期望与方差第四

25、章 随机变量的数字特征返回主目录 其它, 0),/(1)(bxaabxf。21)(badxabxdxxxfEXba111022)!1()!1() 1()!1(!kkkkkkkkekekkekkekkEX 2222)!2(eekekk2222)(EXEXDX3 几种期望与方差第四章 随机变量的数字特征4.均匀分布返回主目录5正态分布 ),(2NX)( ,)(212122)(222txdtetdxexEXtx12)()2(1)(22222abbadxabxEXEXDXba dtedttett222222)( ,21)()(222)(22txdxexXEDXx 22222222222222ttttd

26、edtetdtet 22222222|2dtetett3 几种期望与方差第四章 随机变量的数字特征返回主目录22XP33XP因此，对于正态随机变量来说，它的值落在区间3,3内几乎是肯定的。|XPXP)()(6826. 01) 1 (2) 1() 1 (9544. 01)2(29974. 01)3(23 几种期望与方差第四章 随机变量的数字特征2|XP3|XP8889.03|XP在上一节用切比晓夫不等式估计概率有：返回主目录4.协方差及相关系数4 协方差第四章 随机变量的数字特征1、定义 XY是一个无量纲的量；若XY=0，称 X,Y 不相关,此时 COV(X,Y)=0。定理：若X，Y独立，则X,

27、Y不相关。证明：由数学期望的性质有 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY) 又 E(X-EX)=0, E(Y-EY)=0 所以E(X-EX)(Y-EY)=0。 即 COV(X,Y)=0 称COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY为随机变量X,Y的协方差. 而 COV(X,X)=DX. 为随机变量X,Y的相关系数。DYDXYXCOVXY.),(返回主目录2、协方差的性质1) COV(X,Y)=COV(Y,X);2) COV(aX，bY)=abCOV(X,Y);3) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);4) 若 X,Y不相关，则：EX

28、Y=EXEY, D(aX+bY)=DYbDXa22第四章 随机变量的数字特征4 协方差由方差的性质）知：注意：注意：若E(X-EX)(Y-EY) 0, 即EXY-EXEY 0， 则X，Y一定相关，且X，Y一定不独立。D(aX+bY)=),(222YXabCOVDYbDXa返回主目录3、相关系数的性质1) .1XY2) 1XY存在常数 a,b 使 PY=a+bX=1.证明：abEXbEXYaEYaEXbEYbXaYEe222)(22222令：求 a,b 使 e达到最小第四章 随机变量的数字特征4 协方差 令022202222aEXEXYbEXbeEYbEXaae代入第二个方程得将,bEXEYa2

29、22)(, 0)(EXEXEXEYEXYbEXbEXEYEXYbEX故解得DXYXCOVEXEYEXbEYaDXYXCOVb),(;),(0002,)(minbXaYEba200)(XbaYE2),(),(DXYXCOVXDXYXCOVEXEYYE2),()()(DXYXCOVEXXEYYE第四章 随机变量的数字特征4 协方差DXYXCOVDXYXCOVDY),(2),(22DXYXCOVYXCOVDXYXCOVDXDY),(),(2)(),(22返回主目录即：2,)(minbXaYEbaDYXY)1 (2DXDYDXDYXY2DYXY)1 (2由上式得: 1) 1, 02XYXY。 2) 若

30、, 1XY则0)(200XbaYE。第四章 随机变量的数字特征从而)(00XbaYD200)(XbaYE0)(200XbaYE所以, 0)(00XbaYD0)(00XbaYE故PY（0)00Xba=1.即PYXba00=1。DXYXCOVDY),(2返回主目录反之，若存在ba ,使PYXba=1，则PY（Xba）=1，故0)(2XbaYE而2)(0XbaYE2,)(minbXaYEbaDYXY)1 (2则1, 012XYXY。第四章 随机变量的数字特征说说 明明存在着线性关系；之间以概率与时，当，11YXYX的量之间线性关系紧密程度与量相关系数是表征随机变YX之间的线性关系越弱；与时，越接近于

31、当，YXYX0不相关之间不存在线性关系与时，当，YXYX0X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。第四章 随机变量的数字特征4 协方差解：，记，是二个随机变量，已知，设1cov41YXDYDXYXYXYX22，试求：，YXDD2YXDYDX，cov441444113YXDD2YXDYDX，cov441441445、例子返回主目录第四章 随机变量的数字特征4 协方差YXYX22covcov，YYYXXYXX，cov2covcov4cov2DYYXDX2cov52，4215125所以，DD，cov413526135返回主目录设(X,Y)服从二维正态分布，求：XY由上述知：21212)(12

32、1)(xXexf，22222)(221)(yYeyfdxdyyxfyxYXCov),()(),(21,222211DYEYDXEX dydxeeyxxyx221122222121)1 (212)(21221)(121第四章 随机变量的数字特征4 协方差22222121221212121exp212121yyxxyxf，返回主目录第四章 随机变量的数字特征4 协方差令 1111222xyt，11xu， 22112211)11(11221210 111111yuxuytxtJ22211)1(,utyux则返回主目录 dtteduuedtedueututu22221222212222212 2121

33、0222第四章 随机变量的数字特征 dydxeeyxxyx221122222121)1 (212)(21221)(121),(YXCOV22211)1(,utyux2211J dtdueututu221222212211)1(12122返回主目录第四章 随机变量的数字特征X，Y独立 =0X，Y不相关。XY故 XY。返回主目录5 矩1、定义若kEX存 在 ， 称 之 为 X 的 k 阶 原 点 矩 。所以 EX 是一阶原点矩，DX 是二阶中心矩，协方差 Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。若kEXXE)(存在，称之为 X 的 k 阶中心矩。若lkEYYEXXE)()(存在，称之为 X和 Y 的 k

34、+l阶混合中心矩。5 矩第四章 随机变量的数字特征返回主目录第四章 随机变量的数字特征5 矩例例1，试求，设随机变量nXENX20解：DXEXXY令：X，则10 NY所以，nnnYEXE dyyfyYnndyeyynn222数是奇函数，所以为奇数时，由于被积函当0nXEn返回主目录第四章 随机变量的数字特征数是偶函数，所以为偶数时，由于被积函当n)2(02222dyeyEXynnndttdttdytyty2121212222,2,2则令：)21(2222220121202112ndtetdtetEXnntnnntnnnn返回主目录第四章 随机变量的数字特征5 矩 ，得函数的性质：利用rrr12122nnn212122nnXEnnn23232122nnnnn2121232122n