小学生在数学问题解决中图式的建构江萍

1、小学生在数学问题解决中图式的建构以算术应用题为例 江萍 （四川省绵竹市班学校，四川绵竹，618207,2514377411,电话【摘要】数学是一门关系性、结构性很强的学科，而关系型、结构性又恰是图式的本质所在，所以数学学科与图式理论表现出极大地相容性。有关图式在学习中的研究已经成为当前西方认知学习研究的热点，但是我国在这方面的研究还很薄弱，研究主要集中在阅读理解方面。从数学学科与图式理论所表现出的极大地相容性，我们可以看到极大的可研究、探索的空间。那么在具体背景下学生是如何建构图式的？图式又是怎样影响数学问题解决的？本文将从“探究图式在数学学习中的机理”以及“以算术应

2、用题的教学为例在实践层面上开展研究”着手，通过这两方面的研究，期望图式理论对数学学习的指导具有较强的可行性，为小学阶段算术应用题的有效教学提供理论基础。【关键词】数学学习 图式理论 图式 教学策略 一、问题与问题解决研究“问题解决”首要解决的问题是“问题”是什么？格式塔心理学家唐克尔（Karl Dunker）在1945年对“问题”的界定至今可以采用，即“当一个有机体有个目标，但又不知道如何达到目标时，就产生了问题。”这个定义包含了如下三个要点：第一，测试者所设定的任务能否构成问题，在于被试对象的知识水平以及使用相关知识的能力。第二，如果被试者改变了目标，该问题就不再存在或者不用解决。第三，只有

3、当被试者辨别出自己的目标和自己所处情境的差异时，才真正形成问题。可见，“问题”是相对存在的。对于一个大学生而言，一道多位数加减题不算是问题，但对于一个小学一年级的学生就是问题；对于一个百万富翁而言，谋生不是问题，但是一个乞丐每天都必须为谋生绞尽脑汁。当然，如果那个小学生不想去做那道数学题，数学题也不成其为问题；如果百万富翁要去体验一下向别人乞讨的滋味，学会乞讨就是一个他要面临的新问题。这就是说，问题有目标指向性。认知心理学家对“问题解决”公认的定义就是：问题解决是一系列的有目的指向性的认知操作活动过程。这个定义包含了三点：第一，问题解决具有目的指向性，这一点在前面对“问题”的界定中已经说明；第

4、二、问题解决应该是一系列的操作，问一个小学中高年级的学生“1+1=？”，他立刻就能报出答案，这不能算是问题解决；第三，这种操作必须是认知操作，也就是说问题解决本质上是一种思维活动。问题解决所需的域知识包括程序性知识和概念性知识。概念性知识是指知识的层级网络以及知识间的相互联系。程序性知识是将概念性知识组成行为单元。程序性知识的操作是以概念性知识为基础进行的。如果问题解决仅从程序性知识入手，过度强调程序性知识而弱化概念性知识，那么学生对数学则不能形成真正地理解，学生难以达到数学地解决问题的水准。通过对有关图式理论的涉足，我深刻地体验到图式理论对学生数学问题的解决存在着重要的指导意义，本文将从两方

5、面展开研究：一方面是探究图式在数学学习中的机理，另一方面就是在实践层面上以算术应用题的教学为例开展研究。通过这两方面的研究，期望图式理论对教学的指导具有较强的可行性，为小学阶段算术应用题的有效教学提供理论基础。具体的研究问题为：（1）图式是怎样影响数学问题解决的？（2）以算术应用题的教学为例，如何提高教学的针对性和有效性来促进学生图式的建构？二、现代图式理论1、图式的内涵图式（schema，复数为schemata），这个词的出现至少可以追溯到18世纪的德国哲学家康德那里，后来被英国剑桥的巴特莱特（F.C.Bartlett）引入心理学中。目前，“图式”已经成为现代认知心理学的核心概念之一。自提出

6、至今已经有很多学者就图式的内涵与特征等问题提出过自己的观点，但是并无一个完全一致的说法，但是都认为图式是用以表征客观事物及其关系的某种知识或心理结构、组织、框架，它是对一类事物的抽象概括，可以用来组织零散的刺激、信息和数据。图式是个体的知识结构，它对输入的新信息进行选择、组织，并将其整合到一个有意义的框架中，以促进对信息的理解。人脑的只是单元、知识单元和知识系统就是图式，其中包括核心概念以及怎样与何时应用核心概念的知识间的关系。例如，一个人的直角三角形的图式，其图式的核心概念就是直角三角形，其他的关系、概念、程序性知识和条件性知识则可在此基础上一一建立起来。2、图式的特征大家比较认可的“图式”

7、的特征是由Thorndyke提出的以下五个特征：一是抽象，一个图式代表了所表征概念的原型抽象，包含着定义其典型事例的特征，这些特征为概念提供了框架结构；二是示例化，一个图式所抽象出的典型事例的特征用变量来代表，变量可以用特定的示例加以填充或示例化；三是预测，如果输入的信息不完整，图式可以对期望的信息加以预测，并指示对输入信息的解释；四是归纳，图式是通过对各种示例上的经验加以归纳而形成的，归纳是对期望特征不断地定义和提纯的过程。五是层次组织，根据专门性水平不同，最后将图式按层次组织起来。3、图式的功能（1）剪辑。图式剪辑可分为两级：一级剪辑是指图式对输入信息的选择、删减和抽象；二级剪辑是指对同化

8、进来的信息的整理、组织和建构。图式的一级剪辑又可以分为两个方面：其一是指图式对其的筛选和过滤；其二是指图式对信息的抽象，这如皮亚杰所说的同化作用。（2）预测和推理。图式一旦被激活，就要对当前的只是状态做出解释，进行解释必然包含着预测和推理。（3）迁移。迁移对知识获得有着极为重要的作用，而迁移尤其是普遍迁移的根本条件就是建立良好的图式。在把系统的知识结构转化为良好图式后，就可以产生举一反三、触类旁通的作用。因此，良好的认知图式是获取新知识的有效途径。三、在算术应用题中图式的建构1、问题解决中图式的作用问题的解决经历了从对问题情境的知觉到对问题的理解，最后到问题解决的方法的获取，这几个阶段都要受到

9、图式的影响。（1）影响对问题情境的知觉。在对问题情境的知觉中，人通过感官获得大量信息，此时正确的问题图式可以指导人对这些信息进行进一步的注意和加工，即进行过滤、分析和解释，并暗示一个和此问题类似的问题解决的方法。比如在学习三位数乘三位数计算时，正确的问题图式可以引导学生使用已经学习过的两位数乘两位数的计算法则顺利解决新的计算问题。（2）影响对问题的理解。知识是由许多相互联系的节点组织而成的网络，其组织的主要方式就是图式，要理解一个新问题，就必须把它纳入已有的图式，使新问题提供的信息激活网络中的节点，进而激活相关图式，提供解决问题所需的知识或补充问题情境缺失的、隐藏的信息，以使问题解决者能迅速理

10、解问题的本质。（3）影响问题解决方法的获得。每个人都有成千上万的图式，面临问题时，需要选择合适的图式，并用它指导问题解决的行为。比如在解决“植树问题”时，如何根据题意判断此题属于“植树问题”中哪种类型的题目，并根据该题的类型选择合适的解决方法就涉及图式的选择问题。值得注意的是，图式并不总是起着积极地作用，它还会干扰问题的解决：（1）可能造成大量信息的丧失。图式好似一个过滤器，一般地说，问题解决中忽略掉与问题无关的信息是有意义的，但是却可能破坏信息的全面获取。（2）图式难以更改。我们一旦认为某个事物以某种方式组成，这种观点就很难改变，这就限制了新图式的获得。（3）可能使用错误的图式，误导问题的解

11、决。图式不仅对问题解决有影响，反过来，问题解决是获得图式的重要渠道。在解决新问题的时候，人们会选择有关图式指导问题解决，在问题解决的过程中，有关图式会得以修正，这样就形成了新的图式。可见，图式和问题解决是相互影响的。2、在算术应用题的解题过程中如何促进图式的建构对于算术应用题的解题，有不少学生都倾向于根据题目中所给定的关键词或数量直接转化到数的运算，即直译策略。由于直译策略对于部分甚至是大部分应用题的解决都可能是有效的，所以很多学生甚至是成人都乐于使用这种策略。但是，直译策略对问题难以形成较高水平的理解，它导致学生对问题不能作出更高水平的意义加工。数学问题解决的两个重要的成分就是问题表征和执行

12、解决计划。在算术应用题中，这两个成分体现得尤为明显。解决算术应用题需要建立问题文字的表征，并运用算术规则发现问题解决的方案。小学生在解决应用题时遇到的困难主要是问题表征，也就是将问题的文字转化为心理的表征。问题表征是对问题信息的提取和理解过程，导致问题表征错误或者不完整的原因包括：信息遗漏，即未能将问题的有关信息全部提取出来；信息误解，即对某些问题信息作了错误的分析和理解；隐喻干扰，即问题信息中潜在的歧义性使学生困惑或者误导学生的解题思路。需要强调的是问题表征中所要获取的信息是问题的结构信息，如何透过问题的表层意义把握其深层结构是问题表征的关键。在问题表征中包含两个子成分。（1）句子的翻译，特

13、别是对数量关系句的理解。小学生在解题时经常忽略或者误解数量关系句中的信息。比如“生产队甲生产了65个零件，比乙队多生产了23个，乙队生产了多少个零件？”这个问题中第二句为数量关系句，在理解时很容易出错，但是随着年龄的增长，学生对数量关系句的理解能力会逐步增强。（2）识别问题类型。以低年级加、减法应用题为例，按照增加、减少、合并、比较等，按语义关系将算术应用题归为三种类型：引起变换问题。变换问题描述了增减操作引起的事物在数量上的增加或减少。比如，“小乔有3个玻璃球，爸爸给了他5个，小乔现在又多少个玻璃球？”组合问题。组合问题中有一个始终不变化的量，学生在问题解决过程中需要做出合并或分解。比如，“

14、小乔有3个玻璃球，爸爸有5个玻璃球。他们一共有多少个玻璃球？”比较问题。比较问题是比较两个不变的量的大小。比如，“小乔有3个玻璃球，比爸爸多5个。爸爸有多少个玻璃球？”在算术应用题中，许多问题有相同的算术结构，但是概念结构却不一样，对于学生来说，难度就不同。比如，在上面三道题中都要求同样的算术运算：3+5=8。但是比较问题与其他两类问题相比更容易出现错误，这些错误主要是由于用了不正确的问题图式。所以对问题类型进行区别是非常有用的，学生学习时把问题归成各种类型也就是获得各种问题类型的图式。由此可见数学教学的主要目的就是要教会学生能够透过问题的表面内容理解问题的结构关系。在小学阶段，算术应用题和文

15、字题一直是学生和老师都非常头疼的题目。由于不能正确表征问题的深层关系结构以及使用了不正确的图式，学生总会出现列式错误，而非计算错误。很多时候，老师没有有效地教学方法，只能不断地告诉学生：“多读几遍题”或“认真审题”。又或者就让学生重复做练习，但是这些方法都难以促进学生问题解决的能力的提高。在问题解决过程中，所有与问题相关的知识，只有通过恰当的问题图式在头脑中充分地组织起来，才能被正确的理解和应用，从而正确解题。因此，有效地教学既要强调问题解答更要强调问题表征。在解决算术应用题时，可以将问题浓缩为框架，以“图式”形式表现出来，更多地体现了潜在问题中的数量关系。从一步计算应用题说起。问题一：花店里有30支玫瑰和26支百合，