复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案

1、WORD格式复合函数一，复合函数的定义： 设 y 是 u 的函数，即 y=f(u),u是 x 的函数，即 u=g(x) ，且 g(x)的值域与 f(u) 的定义域的交集非空，那么y 通过 u 的联系成为 x 的函数，这个函数称为由 y=f(u) ，u=g(x) 复合而成的复合函数，记作y=fg(x),其中 u 称为中间变量。二，对高中复合函数的通解法综合分析法1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程例 1：指出以下函数的复合过程。1y=2-x 2(2)y=sin3x(3)y=sin3x(4)y=3cos 1-x2解： ( ) y= 2-x2 是由 y=u,u=2-x2 复合而成的。（ 2y=s

2、in3x 是由 y=sinu,u=3x 复合而成的。（ 3 y=sin3x=(sinx)-3 y=sin3x 是由 y=u-3,u=sinx 复合而成的。4y=3cos1+x2 是由 y=3cosu,u= r,r=1+x2复合而成的。2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。看下例题：例：f(x+3) 的定义域为 1 、2, 求 f(2x-5)的定义域。经典误解：解： f(x+3) 是由 y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。F(2x-5) 是由 y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。由 g(x),G(x) 得： u2=2x-11 即： y=f(u2),u2=2

3、x-11f(u1) 的定义域为 1 、2 x2 -9 2x-11 -6即： y=f(u2) 的定义域为 -9 、-6 f(2x-5) 的定义域为 -9 、 -6经典误解：解： f(x+3) 的定义域为 1 、 2 1x+3 2 -2 x-1 -4 2x -2 -9 2x-5 -7 f(2x-5) 的定义域为 -9 、-7下转 2 页注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y通过 u 的联系成为 x 的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=fg(x),其中 u 称为“中间变量。从以上误解中找出解

4、题者易将f(x+3) 的定义域理解成 x+3的取值X围，从而导致错误。而从定义中可以看出 u 仅仅是中间变量，即u 既不是自变量也不是因变量。复合函数的定义域是指 y=f(u),u=g(x)中 u=g(x) 中的 x 的取值X围，即： f(x+3) 是由 f(u),u=x+3复合而成的复合函数，其定义域是x 的取值X围。正确解法：解 :f(x+3)是由 y=f(u1),u1=x1+3(1 x2) 复合而成的。f(2x-5)是由 y=f(u2),u2=2x2-5复合而成的 x124u1 54u2542x2-5 52x25专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式 f(2x-5) 的定义域

5、为 、 5结论：解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即u 为第一层， x 为第二层，一、二两层是不可以直接建立关系的，在解题时，一定是同层考虑，不可异层考虑，假设异层考虑那么会出现经典误解与的情况。三、高中复合函数的题型不包括抽象函数题型一：单对单，如：f(x) 的定义域为 -1,4,求 f(x2) 的定义域。题型二：多对多，如：f(x+3) 的定义域为 、 , 求 f 2x-5 的定义域。下转 3 页题型三：单对多，如：f(x) 的定义域为 0 、 1, 求 f(2x-1)的定义域。题型四：多对单，如：f(2x-1)的定义域为 0 、 1, 求 f(x) 的定义域。注：通解法综合分析法的关

6、键两步：第一步：写出复合函数的复合过程。第二步：找出复合函数定义域所真正指代的字母最为关键下面用综合分析法解四个题型题型一：单对单：例3： f(x) 的定义域为 -1 、4, 求 f(x2) 的定义域。第 1 步：写出复合函数的复合过程：f(x2) 是由 y=f(u),u=x22复合而成的。由于要同层考虑，且u 与 x 的取值X围一样，故可这样变形f(x) 是由 y=f(u),u=x1复合而成的。f(x) 的定义域为 -1 、 4第 2 步：找出复合函数定义域的真正对应 -1 x14即 -1 u4又 u=x22 -1 x22 4(x2 是所求 f(x2) 的定义域，此点由定义可找出) -2 x

7、22 f(x2) 的定义域为 (-2,2)结论：此题中的自变量x1,x2 通过 u 联系起来，故可求解。题型三：单对多：例4： f(x) 的定义域为 0,1,求 f(2x-1)的定义域。第 1 步：写出复合函数的复合过程：f(x) 是由 y=f(u),u=x1复合而成的。f(2x-1)是由 y=f(u),u=2x2-1复合而成 .第 2 步：找出复合函数定义域的真正对应： 0 x11 0 u 1 0 2x2-1 1 x21 f(2x-1) 的定义域为 ， 1结论：由此题的解答过程可以推出： f(x) 的定义域可求出 y=g(x) 的定义域。下转 4页题型四：多对单：如：例5： f(2x-1)的

8、定义域为 0 、 1, 求 f(x) 的定义域。第 1 步：写出复合函数的复合过程：f(2x-1)是由 f(u),u=2x1-1复合而成的。f(x)是由 f(u),u=x2复合而成的。第 2 步：找出复合函数定义域对应的真正值： 0x1 1 02x12 -1 2x1-1 1 -1 u 1 -1 x21 f(x) 的定义域为 -1 、1结论：由此题的解答过程可以推出： y=fg(x) 的定义域可求出 f(x) 的定义域。小结：通过观察题型一、题型三、题型四的解法可以看出，解题的关键在于通过u 这专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式个桥梁将 x1 与 x2 联系起来解题。题型二：多对

9、多：如例6： f(x+3) 的定义域为 1 、 2, 求 f(2x-5)的定义域。解析：多对多的求解是比较复杂的，但由解题型三与题型四的结论：f(x)的定义域可求出 y=fg(x) 的定义域 y=fg(x) 的定义域可求出 f(x) 的定义域可以推出 f(x) 与 y=fg(x) 可以互求。假设 y1=f(x+3),y2=f(2x-5), 同理， y1=f(x+3) 的定义域，故这里 f(x) 成为了联系 y1=f(x+3),y2=f(2x-5) 的一个桥梁，其作用与以上解题中 u 所充当的作用一样。所以，在多对多的题型中， 可先利用开场给出的复合函数的定义域先求出 f(x) ，再以 f(x)

10、 为跳板求出所需求的复合函数的定义域，具体步骤如下：第一步：写出复合函数的复合过程:f(x+3)是由 y=f(u)u=x+3复合而成的。f(2x-5)是由 y2=f(u)u=2x-5复合而成的。第二步：求桥梁f(x) 的定义域： 1x24x+3 54u5设：函数 y3=(u),u=x下转 4页 y3=f(x) 的定义域为 4 、5第三步：通过桥梁f(x) 进而求出 y2=f(2x-5):f(x)是由 y3=f(u),u=x复合而成的4 x 54 u 54 2x-5 5 x25 f(2x-5) 的定义域为： 5小结：实际上，此题也可以u 为桥梁求出 f(2x-5),详参照例 2 的解法。四、将以

11、上解答过程有机转化为高中的标准解答模式。如：例 7：函数 y=f(x) 的定义域为 0 、1 ，求函数 y=f(x2+1) 的定义域。解：函数 f(x2+1) 中的 x2+1 相当于 f(x) 中的 x( 即 u=x2+1, 与 u=x) 0 x2+1 1 -1 x20 x=0定义域为 0小结：此题解答的实质是以u 为桥梁求解。例 8： y=f(2x-1) 的定义域为 0 、 1, 求函数 y=f(x) 的定义域。解：由题意： 0x1即略去第二步，先找出定义域的真正对象。 -1 2x-1 1( 即求出 u, 以 u 为桥梁求出 f(x)视 2x-1 为一个整体即 u 与 u 的交换那么 2x-

12、1 相关于 f(x) 中的 x( 即 u 与 u 的交换， f(x) 由 y=f(u),u=x复合而成， -1 u1,-1 x 1)函数 f(x) 的定义域为 -1 、1总结：综合分析法分了个步骤 写出复合函数的复合过程。 找出复合函数定义域所指的代数。找出解题中的桥梁 u 或 f(x) 可为桥梁浅析复合函数的定义域问题一、复合函数的构成设 ug (x) 是A到B的函数， yf (u) 是B '到C '上的函数，且BB ' ，专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式当 u 取遍B中的元素时，y取遍C，那么 yf ( g(x) 就是A到C上的函数。此函数称为由外

13、函数 yf ( x) 和内函数 ug( x) 复合而成的复合函数。说明：复合函数的定义域，就是复合函数yf ( g( x) 中 x 的取值X围。 x 称为直接变量， u 称为中间变量， u 的取值X围即为 g( x) 的值域。 f ( g( x) 与 g( f (x) 表示不同的复合函数。例 1设函数f (x)2x3, g ( x)3x5 ，求 f ( g( x), g ( f ( x) 假设 f (x) 的定义域为M'，那么复合函数f ( g( x) 中， g( x)M 注意： g (x) 的值域MM ' 例 2：假设函数 f ( x) 的定义域是0，1，求 f (12x)

14、的定义域；假设 f (2 x1) 的定义域是-1，1，求函数 f ( x) 的定义域； f (x3) 定义域是4,5 ，求 f ( 2x3) 定义域要点 1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的解答：函数 f (12x) 是由A到B上的函数u12x 与 B 到 C 上的函数yf (u) 复合而成的函数函数 f ( x) 的定义域是0，1，B=0,1 ，即函数 u12x 的值域为 0 ，1 012x1 ，12x0 ，即0x1 ，2函数 f (12x) 的定义域0，12函数 f (2x1) 是由A到B上的函数u2x1 与 B 到 C 上的函数yf (u)

15、复合而成的函数f (2x1) 的定义域是-1，1， A=-1,1 ，即 -1 x 1，32x11, 即 u2x1 的值域是 -3 ，1 ， yf (x) 的定义域是-3，1专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式要点 2：假设f (x)的定义域为A，那么f g( x)的定义域就是不等式g( x)A 的x的集合；假设 f g( x) 的定义域为 A ，那么 f (x) 的定义域就是函数 g(x) (xA) 的值域。函数 f ( x3) 是由A到B上的函数ux3 与 B到 C上的函数yf (u) 复合而成的函数f ( x3) 的定义域是-4，5), A=-4,5) 即 4 x 5 ，1x

16、38 即 ux3 的值域 B=-1 ，8又 f (2x3) 是由A'到B'上的函数u'2x3与 B 到 C 上的函数yf (u) 复合而成的函数，而 BB' , 从而 u'2 x3 的值域B' 1,8) 1 2 x 3 8 22 x11,111x2 f (2x 3) 的定义域是1，11 2例 3：函数f ( x)定义域是 a,b ，求F ( x) f (3x 1) f (3x1) 的定义域a1b1解：由题， a3x1b ，x313，a3x1bab13x3a1b 1，即 b ab2 时，F (x)不表示函数；当33aba1b1当33，即 ab2 时

17、，F ( x)表示函数，ab其定义域为 ( a1, b 1)33说明： f ( x) 的定义域为(a,b)，求 f ( g(x) 的定义域的方法： f (x) 的定义域为 ( a，b) ，求f (g( x)的定义域。实际上是中间变量的u 的取值X围，即 u(a，b) ，g ( x)(a， b) 。通过解不等式 ag ( x)b 求得x的X围，即为 f (g( x) 的定义域。专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式 f ( g( x) 的定义域为(a,b)，求 f ( x) 的定义域的方法：假设f (g( x) 的定义域为(a，b) ，求 f (x) 的定义域。实际上是复合函数f (

18、 g( x) 直接变量x的取值X围，即x(a，b) 。先利用 axb 求得 g(x) 的X围，那么 g(x) 的X围即是f (x) 的定义域,即使函数 f (x) 的解析式形式所要求定义域真包含g(x) 的值域，也应以 g(x) 的值域做为所求f (x) 的定义域，因为要确保所求外含数f (x)与条件下所要求的外含数是同一函数，否那么所求外含数f (x) 将失去解决问题的有效性。换元法其实质就是求复合函数f (g(x) 的外函数f (x) ，如果外函数 f (x) 的定义域不等于内函数 g(x) 的值域，那么 f ( x) 就确定不了f (g ( x)的最值或值域。例 4：函数f (x)x1x

19、 , ( x1)求 f ( x) 的值域。分析：令 u( x)x1 ， ( x1) ；那么有 g (u)u 2u1， (u 0)复合函数 f (x) 是由u( x)x1与 g(u)u 2u 1复合而成，而 g (u) u2u1 ，(u 0)的值域即 f (x) 的值域，但g (u)u 2u1 的本身定义域为R ,其值域那么不等于复合函数f (x)的值域了。例 5：函数f ( x23)lgx2，求函数 f (x) 的解析式，定义域及奇偶性。2x6分析：因为 f (x 23)lgx2定义域为 x | x6 或 x6 x26令 u x 23，u3 ；那么f (u) lgu3，且 u3u3所以f (x

20、)lg x3 , x 3 ，定义域不关于原点对称，故f (x)是非奇非偶函数。x3专业资料整理WORD格式1在等比数列an中，a19， an1， q2833，那么 n 为专业资料整理WORD格式A 2B3C 4D 52设an是公差为2 的等差数列，假设a1 a 4 a 7a97 50 ，那么a3a6a9a99等于A 82B 82C 132D 132专业资料整理WORD格式6专业资料整理WORD格式3数列an中a11以后各项由公式anan1给出，那么 a41(n 2)n(n 1)7744A 4B4C7D749, a1, a2, 1成等差数列，9,b1, b2 ,b31成等比数列，那么( a2a1

21、 )b2等于99C 8D 8A B885在 3 和 9 之间插入两个正数，使前三个成等比数列，后三个成等差数列，那么这两个数的和是45B279D 9A 4C426等差数列an的前 n 项和为 Sn，假设 a3a17 10 ，那么 S19=A 190B95C 170D 857an是等比数列，对nN, an0 恒成立，且 a1a3 2a2a5a4 a6 36 ，那么 a2a5等于A 36B6C 6D 68等差数列an中，a3a9，公差 d 0 ；Sn是数列an的前 n 项和，那么AS5S6BS5S6CS60DS5S69一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，那么这

22、个数列的项数为A 2B4C 8D 1610数列 an满足： anlog n 1 (n2) ，定义使a1a2 a3.ak为整数的数 k (kN* )叫做希望数，那么区间 1，2021 内所有希望数的和MA 2026B2036C 2046D 204811数列 an、 bn都是公差为1 的等差数列，其首项分别为a1、 b1，且 a1 +b1 =5 ， a1 >b1，a1、 b1N +(nN + ) ，那么数列 abn 的前10项的和等于A 65B75C 85D 9512等差数列an的前 n 项和为Sn，am 1am 1am20， S2 m 138 ,那么 mA 38B20C 10D 9.二、填

23、空题：本大题共4 小题，每题4 分，共 16 分把答案填在横线上13数列前 4 项为 4,6,8,10，那么其一个通项公式为_.1 2, 4 成等差数列，123a1a2_14 1, a , a1, b , b, b , 4 成等比数列，那么b2专业资料整理WORD格式7专业资料整理WORD格式15数列 an的前 n 项的和Sn满足log2(Sn1)n ,那么 an=16甲型 h1n1 流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，假设该细胞开场时2 个，记为a02 ，它们按以下规律进展分裂，1 小时后分裂成4 个并死去1 个， 2 小时后分裂成6 个并死去1 个， 3 小时后分裂成10 个并死去1 个， ,

24、记 n 小时后细胞的个数为an，那么 an=_(用n表示)三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤17本小题总分值12 分数列 an 是一个等差数列，且 a21， a5 5 （ 1求 an的通项an；（ 2求 an前 n 项和Sn的最小值18本小题总分值 12 分 an 是首项为，公差为1的等差数列；假设数列bn满足b1 1， bb2an.1n 1n 1求数列bn的通项公式； 2求证：bnbn 2bn 12.参考答案一、选择题1 C ； 解 析 ： 等 比 数 列an中 ， a19， an1， q2； ana1q n 19 ( 2)n 11 ，22833

25、833)n 13，4；( )n 1 3, n33专业资料整理WORD格式8专业资料整理WORD格式2B；解析：因为an是公差为2 的等差数列， a3a6a9a99( a12d ) (a42d ) (a72d )( a972d )a1a4a7a97332d50 13282 ；3A ；解析：因为anan1(n2) ，所以 a2a11111n(n2(21，1)1)12a3 a211)1 1 1 1 1， a4a311)1117；3(312234(41444D；解析： 9， a1， a2， 1 成等差数列，所以a2a11(9)8；413 9, b1 ,b2 , b31成等比数列，所以b(9)(1)3

26、；( a2a1 )b28 ；2x9x, y ，那么x22455A ；解析：设中间两数为3y,2 yx9 ；解得，所以 xy；y27446B；解析：S1919(a1a19 )19(a3 a17 )95 ；227D；解析：nN,an0 ； a1a32a2 a5a4a6(a2a5 ) 236， a2a56 ；8D；解析：d0， a3a9， a3 0, a90，且 a3a90， a60， a50 ， a70 ； S5S6；9C；解析：设该等比数列的公比为q，项数为 2n，那么有S偶q S奇， q170 2；85又 S2 nS偶S奇a1(1q2 n )85170 ， 22 n1255 ，2n8，故这个数

27、列的项数为8；1q10 A ；解析： anlog n 1 (n2) ，由a1a2Lak为整数得log 2 3 log 3 4Llog (k 1) ( k 2)log 2 ( k 2)为整数，设为 m ，那么 k22m， k 2m2 ；因为 2112048 ，区间 1，2021内所有希望数为222,232,2 42,2102，其和 M2222322 4221022026 ；11 C；解析：应用等差数列的通项公式得专业资料整理WORD格式9专业资料整理WORD格式ana1n1,bnb1n1;abna1bn1 a1(b1n 1) 1a1b1n 2 5 n 2 n 3;数列 a也是等差数列，且前10

28、项和为10(413)85；bn212C；解析：因为a 是等差数列，所以am 1am 12am，由 am 1am 1am20，得： 2 ama2nm 0，所以am 2，又S2m 138，即 ( 2m1)(a1a2m1)38，2即 2m 1× 2 38，解得 m 10二、填空题13an2( n1) ；解析：该数列的前4 项分别可写成：2(1 1),2( 2 1),2 (31),2(41) ，所以数列的通项公式为an2(n1)；145；解析： 1, a1, a2, 4 成等差数列，a1 a2145 ；1, b1,b2, b3, 4 成等比数列，2b221 4 4 ，又 b21 q20 ，

29、b22 ；a1a25 ；b22152n1；解析：由 log 2 (Sn 1)n 得 Sn12n， Sn2n1， a1 S12 1 1， anSnSn 1(2 n1) (2 n 11) 2n2n 12n 1； an=2n 1；162n1；解析：按规律，a1413 ，a22 315 ，a32 51 9 ， ，an 12an1； an 112( an1) ，即a1 是等比数列， 其首项为2，公比为 2，故an12n， an=2n1n此题也可由23na132 1，a2521， a3921，猜想出an=21三、解答题17解： 1设ana1d13 ，d2 的公差为 d ，由条件，4d，解出 a1a15所以

30、 ana1(n1)d 2n5 6 分 2Snna1n(n1) dn24n(n2) 24 所以n2 时，Sn取到最小值42 12 分18解： 1由得ann .从而 bn 1bn2n，即 bn1bn2n.2分 bn(bnbn 1 ) (bn 1 bn 2 ) L(b2b1) b1专业资料整理WORD格式10专业资料整理WORD格式2n 12n 2L211 2n2n1 . 6 分12 2因为bnbn 2bn 12(2n1) (2 n 21)(2 n1 1)2(2 2 n 22n 22n1) (22 n 22n 2 1)2n0 ， bn bn 2 bn 12. 12分19解： 1由得33，当n 2时，

31、33Sn2an2Sn 12an 1；2 SS3 a3 a，即 a3 a3 a，当 n 2 时，an3an1 ；nn 12n2 n 1n2n2n 1数列 an 为等比数列，且公比q3； 4 分又当 n 1 时，S13 a13，即 a13 a13， a13 ；2222 an3n. 6 分 2log3anlog3 3nn ， bn1111；log 3 an log 3 an 1n(n1) nn 1 9 分 bn的前n项和Tn(11)(11)(11)L( 11 ) 11n.22 33 4n n 1n 1 n 1 12 分1. 等比数列 an 的公比为正数，且 a3· a9=2a52， a2=

32、1，那么 a1=A. 1B.2C.2D.222q ,由得a1q2a1q82 a1q42【解析】设公比为, 即q22 ,又因为等比数列 an 的公比为正数，所以 q2 ,故a1a212q2, 选 B2专业资料整理WORD格式11专业资料整理WORD格式3. 公差不为零的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn.假设 a4是 a3与 a7的等比中项, S832,那么 S10等于A. 18B. 24C. 60D. 90【解析】由a42a3 a7得 (a13d) 2(a12d )(a16d) 得 2a13d0 ,再由 S88a156 d 32 得9022a1 7d8 那么 d2, a13, 所以S10d

33、60,.应选C10a124. 设Sn是等差数列an的前n项和，a23 ， a611，那么 S7等于()A13B 35C 49D 63【解析】 S7(a1a7 )7( a2a6 )7(311)49.应选C.7222a2a1d 3a11a71 6213.或由a15d11d,a62所以 S7(a1a7 )7(113)49. 应选C.7225. 等差数列 an的前 n 项和为Sn，且S3=6 ，a1 =4， 那么公差 d 等于A 1B5C.- 2D 33解析S363 (a1a3 ) 且 a3a12da1 =4d=2 .应选C26. an为等差数列，且 a72 a41,a30,那么公差dA. 2B. 1C.1D.222【解析】 a 2a a 4d2(a d) 2d 1d 1743327. 等差数列an的公差不为零，首项a11，a2是a1和 a5的等比中项，那么数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 190【解析】 设公差为 d ，那么(1d )21 (14d ) .d0，解得d2， S10100然而