泛函分析知识点

1、泛函分析知识点最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除泛函分析知识点知识体系概述(一)、度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d:XXXrR,使得x,y,zX,下列距离公理成立：(1)非负性：d(x,y)>0,d(x,y)=0x=y;(2)对称性：d(x,y)=d(y,x);(3)三角不等式：d(x,y)<d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作(X,d)2.几类空间例1离散的度量空间例2序列空间S例3有界函数空间B(A)例4可测函数空M(X)例5Ca,b空间即连续函数空间例

2、6l2第二节度量空间中的极限，稠密集，可分空间1 .开球定义设(X,d)为度量空间，d是距离，定义U(xo,)=xX|d(x,xo)<为x0的以为半径的开球，亦称为x0的一领域.2 .极限定义若xnX,xX,s.t.limdxn,x0则称x是点列xn的极限.3 .有界集定义若dAsupdx,y,则称A有界x,yA4 .稠密集定义设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令M表示M的闭包，如果EM,那么称集M在集E中稠密，当E=X时称M为X的一个稠密集。5 .可分空间定义如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。第三节连续映射1 .定义设X=(X,d),Y=(Y,d)是两个度量空间，T是X

3、到Y中映射，x0X，如果对于任意给定的正数，存在正数0,使对X中一切满足dx,x0的x,有dTx,Tx0则称T在x0连续.Y,dX2 .定理1设T是度量空间(X,d)到度量空间中的映射，那么T在x0X连续的充要条件为当xn%n时，必有TxnTxon3 .定理2度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像T1M是X中的开集.第四节柯西(cauchy)点列和完备度量空间1.定义设X=(X,d)是度量空间，xn是X中点列，如果对任意给定的正数0,存在正整数NN，使当n,m>N时，必有dxn,xm,则称xn是X中的柯西点列或基本点列。如果度量空间(X,d)中每个柯西点列

4、都在(X,d)中收敛，那么称(X,d)是完备的度量空间.【注意】(1)Q不是完备集(2) Rn完备(3) cauchy列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy列.(4) Ca,b完备2.定理完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间.第五节度量空间的完备化1 .定义设(X,d),(X,d)是两个度量空间，如果存在X到X上的保距映射T,即dTx,Tydx,y,则称(X,d)和(X,d)等距同构，此时T称为X到X上等距同构映射。2 .定理1(度量空间的完备化定理)设*=(X,d)是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X=(X,d),使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且AA

5、X在等距同构意义下是唯一的，即若(X,d)也是一完备度量空间，且X与XAA的某个稠密子空间等距同构，则(X8)与(X,d)等距同构。3 .定理1'设*=(X,d)是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X=(X,d),使X为X的稠密子空间。第六节压缩映射原理及其应用1 .定义设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数，0V<1,使得对所有的x,yX,dTx,Tydx,y,则称T是压缩映射。2 .定理1（压缩映射定理）（即Barnach不动点定理）设X是完备的度量空问，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx=x,有且只有一个解）.补充定义：若Tx=x,

6、则称x是T的不动点。x是T的不动点x是方程Tx=x的解。3 .定理2设函数fx,y在带状域axb,y中处处连续，且处处有关于y的偏导数fyx,y.如果还存在常数m和M满足（0mfyx,yM,mM,则方程fx,y0在区间a,b上必有唯一的连续函数yx作为解：fx,x0,xa,b第七节线性空间1.定义1设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X中元素的乘法运算，满足下列条件：（1）关于加法成为交换群，即对任意x,yX,存在uX与之相对应，记为u=x+y,称为x和y的和，满足1） xyyx;2） xyzxyz任何x,y,zX;3）在X中存在唯一元素，使对任何xX，成立xx,称为

7、X中零元素；4）对X中每个元素x,存在唯一元素xX,使xx，称x为x的负元素，记为x;（2）对于X中每个元素xX,及任意实数（或复数）a,存在元素uX与之对应，记为uax,称为a与x的数积，满足1） 1xx;2） a（bx）abx对任意实数（或复数）a和b成立；3） abxaxbx,axyaxby,则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素称为向量。如果数积运算只对实数（复数）有意义，则称X是实（复）线性空间。例1Rn,对Rn中任意两点x二（3,2,酊）,y=（11,R,甲）和任何实（复）数a定义x+y=（1+.1,2+印，,n+rfi）,ax=（a1,a2,an工容易验证R

8、n按上述加法和数乘运算成实（复）线性空间.2.定义2设xi,x2,xn是线性空间X中的向量，如果存在n个不全为零的数ai,a2,加,使alxi+0（2x2+onxn=0,（1）则称xi,x2，,xn线性相关，否则称为线性无关.n不难看出，x1,x2,xn线性无关的充要条件为，若iXi0,i1必有a1=02=>=an=0.3 .定义3设M是线性空间X的一个子集，如果M中任意有限个向量都线性无关则称M是X中线性无关子集.设M和L为X中两个子集，若M中任何向量与L中任何向量都线性无关，则称M和L线性无关.4 .定义4设X是线性空间，M是X中线性无关子集，如果spanM=X,则称M的基数为X的维

9、数，记为dimX,M称为X的一组基.如果M的基数为有限数，则称X是有限维线性空间，否则称X是无限维线性空间.如果X只含零元素，称X为零维线性空间.第八节赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间1.定义1设X是实（或复）的线性空间，如果对每个向量xCX,有一个确定的实数,记为IXII与之对应并且满足：1°x|也且X=0等价于x=0;2°IX月域IX|其中a为任意典复）数;3°x+yII<XI+iy口x,yX,则称IXII为向量x的范数，称X按范数|xII成为赋范线性空间.112 .弓I理1（H?lder不等式）设p>1,1,fLpa,b,gLqa,b那么

10、f（t）g（t）pq在a,b上L可积，并且bftgtdt|f|p|g|qa113 引理2（Minkowski不等式）设p>1,f,gCLpa,b,那么f+gCLpa,b,并且成立不f+gIp<IfIp+lgp4 .定理1当p>1时,Lpa,b按（6）中范数fp成为赋范线性空间.5 .定理2Lpa,b（p11）是Banach空间.6 .定理3设X是n维赋范线性空间，e1,e2,ien是X的一组基，则存在常数M和M',使得对一切nXkekk1成立1n2“22-M|x|kM|x|.k17 .推论1设在有限维线性空间上定义了两个范数IIxII和XU1，那么必存在常数M和M&#

11、39;,使得MxII<XHKMxin8 .定义2设(Ri,IX11)和但2,X2)是两个赋范线性空间.如果存在从Ri到R2上的线性映射日和正数C1,c2,使得对一切xCR1,成立c1IIx12<x11<c2IIx12则称(R1jx11)和(R2,k12)这两个赋范空间是拓扑同构的.8.推论2任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构.(二)有界线性算子和连续线性泛函第一节有界线性算子和连续线性泛函定义1设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间，D是X的线性子空间万为D到Y中的映射，如果对任何x,yD,及数a,有T(x+y尸Tx+Ty,T(

12、ax)=aTx,(2)则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D(T),TD称为T的值域，记为R(T),当T取值于实(或复)数域时，就称T为实(或复)线性泛函.定义2设X和Y是两个赋范线性空间乃是X的线性子空间D(T)到Y中的线性算子,如果存在常数c,使对所有xCD(T),有TxIIwix口(3)则称T是D(T)到Y中的有界线性算子，当D(T尸X时，称T为X到Y中的有界线性算子，简称为有界算子.对于不满足条件(3)的算子，称为无界算子.本书主要讨论有界算子.定理1设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件为T是X上连续算子.定理2设X是赋范线性空间，f是X上线性泛函，那么f是X上连续泛函的充要条件为f的零空间N是X中的闭子空间定义3T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线性算子，称|T|sup网(4)x0xxDT为算子T在D(T)上的范数.引理1设T是D(T)上有界线性算子，那么|T|sup|Tx|sup|TX|(6)xDTxDTlxl1lxl1出.有界线性算子和连续线性泛函的例子例6赋范线性空间X上的相似算子Tx=w是有界线性算子，且肝=|油特别IIIx|=1,O=0.第二节有界线性算子空间和共腕空间I.有界线性算子全体所成空间定理1当Y是Banac