求点到平面距离的基本方法

1、求点到平面距离的基本方法北京农大附中闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例（2005年福建高考题）如图1,直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB,F为CE上的点，且BF平面ACE.（I）求证：AE平面BCE;（11）求二面角8ACE的大小；（田）求点D到平面ACE的距离.图1图2（I）、（H）解略，（田）解如下:、直接法2, A利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离.如图l , AMl ,则AM . AM为点A到平面 的距解：如图3,

2、过点A作AG0EC,连结DG,CG,则平面ADG/平面BCE,平面BCE平面ACE,平面ADG平面ACE,作DHAG,垂足为H,则DH平面ACE.DH是点D到平面ACE的距离.在RtADG中，DH鬻鬻等图3二、平行线法如图4,Al,l/,8为1上任意一点，AM,BN，则AMBN.点A到平面的距离转化为平行于平面的直线l到平面的距离，再转化为直线l上任意一点B到平面的距离.图4解：如图5,过点D作DMAAE,连结CM,则DM/平面ACE点D到平面ACE的距离转化为直线DM到平面ACE的距离，再转化为点M到平面ACE的距离.作MNCE,垂足为N,平面CEM平面ACE,MN平面ACE,.MN是点M到

3、平面ACE的距离.EMCM2223在RtCEM中，MN二.CE、63图5三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离.如图AO-6、7,lO,A,Bl,AM,BN,若4t,则AMtBN.点A到BO平面的距离转化为求直线l上的点B到平面的距离.图6图7解：如图8,BD与AC的交点为Q,即BD平面ACEQ,VDQBQ,.二点D到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等.平面BCE平面ACE,BF平面ACE,BF是点B到平面ACE的距离.在RtBCE中,BFBCBE2迎迪.CE、63图8四、线面角法如图9,OP为平面的一条斜线，AOP,OAl,OP与所成的角为，A到平面的

4、距离为d,则由斜线和平面所成的角的定义可知，有dlsin.经过OP与垂直的平面与相交，交线与OP所成的锐角就是OP与所成的角，这里并不强求要作出A在上的射影B,连结OB得.图9解：如图10,=BF平面ACE,平面BDF平面ACE,BQF为DQ与平面ACE所成的角为，则点D到平面ACE的距离dDQsin由（H）知二面角BACE的正弦值为立,得sin3D到平面ACE的距离d石上6"33五、二面角法如图11,点A到平面的距离AO图10所成二面角的大小为 ，A , AB l , AB a ,d ,则有d a sin .也就是二面角的大小，而不强求作出经过AB的二面角的平面角.解：如图12,二

5、.平面ACD 平面ACE AC,DQ 平面 ACD , DQ AC ,设二面角D AC E的大小为，则点D到平面ACE的距离d DQsin由（H）知二面角BACE的正弦值为3D到平面ACE的距离d6图12六、体积法解：如图13,过点E作EOAB交AB于点O,OE二面角DABE为直二面角，EO，平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h,VdaceVeacd，11二saceh-SACDEO.33AE平面BCE,.AEEC.1 八_1h万addceo221通-AEEC12632 2.二点D到平面ACE的距离为经.3E图13|AD n| |n|七、向量法解：如图14,以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过。点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz,AE平面BCE,BE平面BCE,AEBE,在RtAEB中,AB2,0为AB的中点，0E1,.A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE(1,1,0),AC(0,2,2).设平面ACE的一个法向量为n(x,y,z),则AEn0,即xy0,ACn0,2y2z0.解得yX,zx.令x1,得n(1,1,1)是平面ACE的一个法向量.ADzAD2AD(0,0,2)ACEd|AD|c