第十四章动荷载

1、第十四章第十四章 动动 荷荷 载载14-1 14-1 概述概述14-2 14-2 动静法的应用动静法的应用14-3 14-3 构件受冲击时的近似计算构件受冲击时的近似计算14-4 14-4 提高构件抗冲击能力的措施提高构件抗冲击能力的措施目目 录录14-1 14-1 概述概述静荷载：静荷载：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增加到最终值。作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增加到最终值。此时构件内各质点无加速度（或很小可忽略不计），即构杆处于此时构件内各质点无加速度（或很小可忽略不计），即构杆处于静止或匀速直线运动状态。静止或匀速直线运动状态。以前各章研究的就是静荷载作用下构以前各章研究的就是静

2、荷载作用下构件的强度、刚度和稳定性问题。件的强度、刚度和稳定性问题。动荷载：动荷载：使构件产生明显加速度的载荷或者随时间显著变化的载使构件产生明显加速度的载荷或者随时间显著变化的载荷。荷。此时构件内各质点具有加速度，即构件处于不平衡状态。这此时构件内各质点具有加速度，即构件处于不平衡状态。这类问题称为类问题称为“动荷载问题动荷载问题”，相应的荷载为动荷载，应力为动应，相应的荷载为动荷载，应力为动应力，变形（位移）为动变形力，变形（位移）为动变形(动位移动位移)。 本章主要研究：（本章主要研究：（1）动静法的应用；（）动静法的应用；（2）冲击）冲击14-2 14-2 动静法的应用动静法的应用动静

3、法原理：动静法原理：maF光滑光滑由牛顿定律：由牛顿定律：Fma0Fma令令gFma 惯性力惯性力 (与与a方向相反方向相反)0gFF则上式变为：则上式变为：形式上为一平衡方程形式上为一平衡方程gF在构件运动的某一时刻，给每个质点虚加上惯性力，则该惯性力在构件运动的某一时刻，给每个质点虚加上惯性力，则该惯性力与构件上已知荷载和支反力，在形式上构成一组平衡力系。于是，与构件上已知荷载和支反力，在形式上构成一组平衡力系。于是，构件可按这种假想的平衡状态来计算内力及应力和位移。构件可按这种假想的平衡状态来计算内力及应力和位移。一一 构件作匀加速直线运动构件作匀加速直线运动aldFx例如，以匀加速度例

4、如，以匀加速度a起吊一根直杆，设杆的长度为起吊一根直杆，设杆的长度为l，横截面面积为，横截面面积为A，材料的密度为，材料的密度为 ，弹性模量为，弹性模量为E。求杆的动应力和动伸长。求杆的动应力和动伸长。单位长度的质量为单位长度的质量为A ，重力的集，重力的集度为度为A g()，惯性力的集度为，惯性力的集度为A a()，则作用在杆上的总荷载，则作用在杆上的总荷载集度（动荷载集度）为集度（动荷载集度）为ldFxdqd1aqA gA aA gg设设x截面上的动轴力为截面上的动轴力为FNd(x)，取图示分离体，取图示分离体Nd( )FxxdqNdd0 ( )0 xFFxq xNdd( )1aFxq x

5、A gxgNdd0( )lFxldxEA则则x截面上的动应力为截面上的动应力为Ndd( )FxA杆的动伸长为杆的动伸长为xldFdqNd( )FxxdqNdd( )1aFxq xA gxgxlstFstq当加速度当加速度a为零时，即杆仅在自重作用下，其静为零时，即杆仅在自重作用下，其静荷载、静应力、静伸长分别为荷载、静应力、静伸长分别为st ,qA gd1aqA gg引入记号引入记号d1aKg (构件作匀加速直线运动构件作匀加速直线运动时的动荷因数时的动荷因数)212A g laEAg1agxg2st2A g llEAst , gx01lA gaxdxEAgddstqK qddst Kddst

6、lKl(14-24)当构件作匀加速直线运动时，可先计算构件在静荷载作用下的静当构件作匀加速直线运动时，可先计算构件在静荷载作用下的静应力、静变形（或静位移）。将它们乘以动荷因数应力、静变形（或静位移）。将它们乘以动荷因数Kd后，即可得后，即可得到动应力、动变形（或动位移）。到动应力、动变形（或动位移）。例例14-1 图示均质水平杆，以匀加速度图示均质水平杆，以匀加速度a起吊。杆的长度为起吊。杆的长度为l，材材，材材的密度为的密度为 ，弯曲截面系数为，弯曲截面系数为Wz，弯曲刚度为，弯曲刚度为EIz。求杆中的最大。求杆中的最大动应力动应力 d,max及最大动挠度及最大动挠度wd,max。adFd

7、FBACl/2stql/2Mxst,maxM 解：解： 把杆简化成受均布荷载的把杆简化成受均布荷载的简支梁，其静载集度简支梁，其静载集度qstA g22st,maxst1188Mq lA g l最大静弯矩发生在最大静弯矩发生在C截面处，其值为截面处，其值为44stst,max55384384zzA g lq lwEIEI最大静应力为最大静应力为2st,maxst,max8zzMA g lWW最大静挠度也发生在最大静挠度也发生在C截面，其值为截面，其值为adFdFBACl/2stqA gl/2Mxst,maxM22st,maxst1188Mq lA g l动荷因数为动荷因数为1daKg 最大动应

8、力和最大动挠度分别为最大动应力和最大动挠度分别为d,maxdst,maxwK wd,maxdst,maxK218zA g lagW451384zA g lagEI二二 构件作匀角速度转动构件作匀角速度转动例例14-2 图图(a)所示为一铸铁飞轮，绕通过圆心且垂直于飞轮平面所示为一铸铁飞轮，绕通过圆心且垂直于飞轮平面的轴，以匀角速度的轴，以匀角速度w w转动。设飞轮轮缘的转动。设飞轮轮缘的平均直径为平均直径为D，壁厚为壁厚为d d，径向截面的面积为径向截面的面积为A，材料的密度为，材料的密度为 7.657.65103kgm3，许用，许用拉应力拉应力 t=15MPa。试求轮缘径截面上的正应力和轮缘

9、轴线上各。试求轮缘径截面上的正应力和轮缘轴线上各点的线速度之许用值。点的线速度之许用值。Dwd ao bdq解：解： 略去辐条，近似取薄壁圆略去辐条，近似取薄壁圆环作为飞轮的计算简图环作为飞轮的计算简图(图图b)。由于是匀角速转动，环上任一由于是匀角速转动，环上任一质点的切线加速度等于零，而质点的切线加速度等于零，而只有向心加速度。只有向心加速度。设环的壁厚与平均直径相比较小，故可近似地认为环上各质点的设环的壁厚与平均直径相比较小，故可近似地认为环上各质点的向心加速度向心加速度an的大小相同，且的大小相同，且an=(D/2)w w2。按照动静法，虚加上。按照动静法，虚加上沿圆环轴线均匀分布的惯

10、性力，其集度为沿圆环轴线均匀分布的惯性力，其集度为qd，方向与，方向与an相反。相反。2dn2DqA aAwddqy将圆环沿直径截分为二，并研究上半部分将圆环沿直径截分为二，并研究上半部分(图图c)Ndd02sin2DFqd0 yF 由得dNd2q DFdq D2d2DqAw224A Dw作为薄壁圆环，可近似认为正应力沿壁厚作为薄壁圆环，可近似认为正应力沿壁厚均匀分布。于是，可得圆环径截面上的拉均匀分布。于是，可得圆环径截面上的拉应力为应力为NddFA224Dw22Dw2v式中，式中，v=(D/2)w w是圆环是圆环轴线上的点的线速度。轴线上的点的线速度。 tv圆环匀速转动时的强度条件为圆环匀

11、速转动时的强度条件为2dtv圆环轴线上各点的许用圆环轴线上各点的许用线速度为线速度为6315 1044.3m s7.65 10DNdFNdF c讨论：讨论：由于以上计算中略去辐条的影响，计算出的由于以上计算中略去辐条的影响，计算出的v偏大；偏大； d与与A无关，所以增加无关，所以增加A不能减少不能减少 d ；减小；减小v(w w)可使可使 d减少。减少。例例14-3 AB杆和杆和CD杆在杆在A处刚性连接，处刚性连接，AB杆以角速度杆以角速度w w绕绕y轴匀轴匀速转动，速转动，AB杆的长度为杆的长度为l，横截面面积为，横截面面积为A，材料的密度为，材料的密度为 ，弹，弹性模量为性模量为E。试求。

12、试求AB杆内的最大正应力和杆内的最大正应力和AB杆的伸长量。不计杆的伸长量。不计由自重产生的弯曲变形。由自重产生的弯曲变形。x dqx dqd2 212AlwABDCxylw NdFxxlNdFx解：在解：在AB杆上虚加惯性力，如图杆上虚加惯性力，如图 2dqxAxw以以x截面右边一段杆为分离体，如图截面右边一段杆为分离体，如图0 xF dNd0 lxqdFx NddlxFxqd2lxAd w22212Alxw杆的轴力图如右图所示杆的轴力图如右图所示x截面处惯性力的集度为截面处惯性力的集度为x dqx2 212AlwABDCxylwNdFx 222Nd12FxAlxwx=0处轴力最大，其最大轴

13、力为处轴力最大，其最大轴力为2 2Nd,max12FAlw最大正应力为最大正应力为Nd,max2 2d,max12FlAw杆的伸长量为杆的伸长量为Ndd0( )lFxldxEA22202lAlxdxEAw2 33lEw例例14-4 直径直径d=100mm的轴上装有一个转动惯的轴上装有一个转动惯I0=0.05 kNms2的飞的飞轮。轮。轴的转速为轴的转速为n=90 r/min，用制动器在，用制动器在10 s内使飞轮停止转动。内使飞轮停止转动。求轴内的最大切应力。不计轴的质量和轴承内的摩擦力。求轴内的最大切应力。不计轴的质量和轴承内的摩擦力。wdl飞轮飞轮制动器制动器dMfM三三 构件作匀加（减）

14、速转动构件作匀加（减）速转动解：在解：在10s内使飞轮停止转动，轴要内使飞轮停止转动，轴要产生角加速度。产生角加速度。轴的转动角速度为轴的转动角速度为260nw290rad3 rad/s60s设制动过程中为匀减速转动，则角加速度为设制动过程中为匀减速转动，则角加速度为0tw2030.3 rad/s10 （负号表示（负号表示 和和w w的转向相反的转向相反）惯性力偶矩为惯性力偶矩为d0MI 0.050.30.015 kN m 在轴的飞轮处虚加与角加速度转向相反在轴的飞轮处虚加与角加速度转向相反的惯性力偶矩，该力偶矩与制动器的摩的惯性力偶矩，该力偶矩与制动器的摩擦力偶矩相平衡，使轴产生扭转变形。擦

15、力偶矩相平衡，使轴产生扭转变形。dMwdl飞轮飞轮制动器制动器fMd0.015 kN mM轴的扭矩为轴的扭矩为dd0.015 kN mTM横截面上的最大扭转切应力为横截面上的最大扭转切应力为dd,maxpTW33-30.01510 N m100 10 m/1660.24 10 Pa0.24MPa例例14-5 卷扬机以等加速度卷扬机以等加速度a=5m/s2向上起吊重量向上起吊重量P1=40kN的重物，的重物，鼓轮的重量为鼓轮的重量为P2=4kN ，直径，直径D=1.2m，轴的，轴的 100100MPa，长度，长度l=1m。试用第三强度理论设计轴的直径。试用第三强度理论设计轴的直径d。aD b2l

16、d1P2P a2l解：解：1 分解运动状态，确定动荷载分解运动状态，确定动荷载作用在钢丝绳上的动荷载为作用在钢丝绳上的动荷载为1dd1PK Pa1dP11aPg514060.4kN9.8w钢丝绳的加速度钢丝绳的加速度a，就是鼓轮边缘处的切向加速度，即，就是鼓轮边缘处的切向加速度，即at= a ，鼓，鼓轮的角加速度为轮的角加速度为1d60.4kNP ed2MaD b2ld1P24kNP a2ltaaRR虚加在鼓轮上的惯性力偶矩为虚加在鼓轮上的惯性力偶矩为ed20MI I0为鼓轮对转轴的转动惯量为鼓轮对转轴的转动惯量22012PIRg则则22ed212PaMRgR 212PRag 140.6 50

17、.612kN m29.8 w2 作用在轴上的荷载及内力图作用在轴上的荷载及内力图将将P1d向轴的中心简化，得向轴的中心简化，得作用在轴上作用在轴上C截面的横向力和扭转力偶矩分别为截面的横向力和扭转力偶矩分别为1d60.4kNP ed20.612kN mMaD b1d60.4kNP ed160.4 0.636.24kN mMAB2l2lCdPeMd1d2PPPeed1ed2MMM2ld1P24kNP a2l60.4kN 4kN 64.4kN36.24 0.612 36.852kN mAMwxM16.1kN mAB2l2lC64.4kN36.852kN m3 求轴的直径求轴的直径22r3MMT22

18、16.136.85240.22kN m r3r3r3332zMMWd r3332Md 33632 40.22 100.160m100 10160mmAMxT36.852kN m1ml 14-3 14-3 构件受冲击时的近似计算构件受冲击时的近似计算BA 图示重量为图示重量为P的重物的重物(通常称为冲击物通常称为冲击物)从距杆端为从距杆端为h处自由处自由落下。当冲击物与杆落下。当冲击物与杆B端接触时端接触时(杆杆AB称为被冲击物称为被冲击物)，由于杆，由于杆件阻碍冲击物的运动，它的速度迅速减小，直至为零。这一过件阻碍冲击物的运动，它的速度迅速减小，直至为零。这一过程称为冲击。程称为冲击。 由于冲

19、击过程非常短促，一般仅为由于冲击过程非常短促，一般仅为(0.0010.01)s。所以加速度。所以加速度的大小很难确定，也就难以采用动静法进行分析。工程中一般采的大小很难确定，也就难以采用动静法进行分析。工程中一般采用基于某些假设的能量法进行近似计算。用基于某些假设的能量法进行近似计算。BAst stst std d计算冲击问题时所作的计算冲击问题时所作的假设：假设：(3)在冲击过程中，材料仍在线在冲击过程中，材料仍在线弹性范围内工作，即在冲击荷弹性范围内工作，即在冲击荷载作用下，材料仍服从胡克定载作用下，材料仍服从胡克定律，且律，且Ed= Est=E；(2)冲击物不回弹，附着在被冲击物不回弹，

20、附着在被冲击物一起运动；冲击物一起运动；(1) 冲击物为刚体且忽略被冲冲击物为刚体且忽略被冲击物的质量；击物的质量；根据以上假设，当冲击物速度减小到零时，根据以上假设，当冲击物速度减小到零时，AB杆受到冲击荷载为杆受到冲击荷载为Fd，B端产生动位移为端产生动位移为 d，重物所减少的势能为，重物所减少的势能为st std dBAABBB(4)略去冲击过程中的能量损失，略去冲击过程中的能量损失， 利用能量守恒定律分析冲击问题。利用能量守恒定律分析冲击问题。PdEP hst std dBAABBB势能减少：势能减少：dddF llEA B端的动位移为端的动位移为PdEP h杆内的应变能为杆内的应变能

21、为2dd122dEAVFld根据能量守恒定律应有根据能量守恒定律应有PdEV2dd 2EAP hl2dd 220EAPlPhl 2dd 220PlPlhEAEA 式中：式中：ststPllEA 相当于将冲击物的重量相当于将冲击物的重量P当做静荷载作用在杆端时，杆在被冲击点当做静荷载作用在杆端时，杆在被冲击点处沿冲击方向的静位移。处沿冲击方向的静位移。st std dBAABBB2dd 220PlPlhEAEA ststPllEA 2dstdst 220h 关于的一元二次方程d d从而可以解得从而可以解得2dststst2h stst211h由于由于 d应大于应大于 st，所以上式中根号前取正号

22、，即，所以上式中根号前取正号，即dstst211h 引入记号引入记号dst211hK （14-5）Kd称为自由落体冲击时的动称为自由落体冲击时的动荷因数荷因数ddstK 两边乘以两边乘以E/lddstKst std dBAABBBdstst211h dst211hK 于是上式可写成于是上式可写成（14-6）ddF lEA stPlEA ddF lPlKEAEAddFPKAA（14-7）（14-5）dst211hK 自由落体冲击时的动荷因数自由落体冲击时的动荷因数讨论：讨论：st-将冲击物的重量当做静荷载作用在冲击点处，冲击点处沿将冲击物的重量当做静荷载作用在冲击点处，冲击点处沿冲击方向的静位移

23、。冲击方向的静位移。 st越大，越大，Kd越小；越小； h=0=0（骤加荷载）（骤加荷载）时，时， Kd= =2（14-5）（14-7）式也适用于其它线弹性结构，结构不同，）式也适用于其它线弹性结构，结构不同， st、 st的表达式不同。求解自由落体冲击问题时，首先把冲击的表达式不同。求解自由落体冲击问题时，首先把冲击物当作静荷载加到被冲击物的冲击点处，求出物当作静荷载加到被冲击物的冲击点处，求出 st、st ，将它们，将它们分别乘以分别乘以Kd ，可得，可得 d和和d 。练习练习：求：求stEIlABhPBP33PlEIstBA/2l/2lPhCBAPC348PlEIstBA/2l/2lPh

24、CkAPCk2Pk4Pk348PlEI3st448PPlkEI 例例14-6 重量重量P2kN的重物从高度的重物从高度h20mm处自由落下，冲击到处自由落下，冲击到简支梁跨度中点的顶面上简支梁跨度中点的顶面上(图图a)。已知该梁由。已知该梁由20b号工字钢制成，号工字钢制成，跨长跨长l=3m，钢的弹性模量，钢的弹性模量E=210GPa，试求梁横截面上的最大正，试求梁横截面上的最大正应力；若梁的两端支承在相同的弹簧上应力；若梁的两端支承在相同的弹簧上(图图b)，该弹簧的刚度系数，该弹簧的刚度系数k300kN/m，则梁横截面上最大正应力又是多少？，则梁横截面上最大正应力又是多少？(不计梁和弹不计梁

25、和弹簧的自重簧的自重)yzBAl/2l/2hP(a)CBAl/2l/2hP(b)C解解：(1) 图图(a)由型钢表查得由型钢表查得20b工字钢工字钢432500cm ,250cmzzIWst,maxst,maxzMW362 1034 250 1066 10 Pa=6MPaBAl/2l/2P(a)C重物重物P以静荷载方式作用跨中时，梁以静荷载方式作用跨中时，梁横截面上的最大正应力为横截面上的最大正应力为3250cmzW 4zPlW跨中截面的静位移为跨中截面的静位移为3st48zPlEI 33982 10348 210 102500 1030.2143 10 m=0.2143mm冲击时的动荷因数为

26、冲击时的动荷因数为dst211hK 2 20mm110.2143mm 14.714.7 688.2MPa跨中截面最大动应力为跨中截面最大动应力为d,maxdst,maxK42500cmzI (2) 图图(b)BAl/2l/2P(b)C重物重物P以静荷载方式作用跨中时，梁以静荷载方式作用跨中时，梁横截面上的最大正应力为横截面上的最大正应力为st,maxst,maxzMW362 1034 250 1066 10 Pa=6MPa4zPlW跨中截面的静位移为跨中截面的静位移为3st482zPlPEIk 32 10 N0.2143mm2 300N/mm3.5476mm冲击时的动荷因数为冲击时的动荷因数为

27、dst211hK 2 20mm113.5476mm 4.54.5 627MPa跨中截面最大动应力为跨中截面最大动应力为d,maxdst,maxKd,maxad,maxb88.23.2727求解自由落体冲击问题是本章的重点，其关键在于对题目认真分求解自由落体冲击问题是本章的重点，其关键在于对题目认真分析，准确求出析，准确求出st。练习：两杆的练习：两杆的EA相同，相同，k相同，求相同，求stlPh akdlPhkd bstPlPEAk stPlPEAk PlEAPk先把弹簧视为刚体，为杆的伸长量；再把杆视为刚体， 为弹簧的缩短量。练习：求练习：求stABDCEIhl2l2lBw1Cw2CwPAB

28、CD2P2Pst12CCCwww 212BCww333/252 34848PlPlPlEIEIEIP练习：求练习：求st、 d,maxEI/2lABhP/2lPBP33PlEIstbhdst211hK d,maxd2PlMK Pld,maxd,maxd,max226/6MMbhbh例例14-7 重量为重量为P的重物，以速度的重物，以速度v沿水平方向冲击悬臂梁沿水平方向冲击悬臂梁AB的的B端端(图图a)。设梁的弯曲刚度为。设梁的弯曲刚度为EI，求水平冲击时的动荷因数，求水平冲击时的动荷因数Kd。解：冲击过程中，冲击物（重物）解：冲击过程中，冲击物（重物）的速度由的速度由v减小到零，冲击物减减小到零，冲击物减少的动能为少的动能为lABPv aABdFd b2k12PEvg因为水平冲击时，冲击物的势能没有改因为水平冲击时，冲击物的势能没有改变，即变，即Ep=0当冲击物冲击到梁时，设梁在当冲击物冲击到梁时，设梁在B点处受到冲击荷载为点处受到冲击荷载为Fd，梁的，梁的B点点产生动挠度（动位移）为产生动挠度（动位移）为d（图（图b）。）。Fd和和d的关系为的关系为3dd3F lEI dd33EIFl梁增加的应变能为梁增加的应变能为dd12VF2d31 32EIlABstFP3st3PlEI 应变能的增加：应变能的增加：动能的减少：动能的减少：2k1