微积分课件：7-4 重积分的应用

1、一、问题的提出一、问题的提出二、曲面的面积、立体的体积二、曲面的面积、立体的体积三、重心三、重心四、转动惯量四、转动惯量五、引力五、引力六、小结六、小结 第四节第四节 重积分的应用重积分的应用一、问题的提出一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. .若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加具有可加性性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且在闭区域并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个

2、直径很小的闭区域 d时，相应地部分量可近似地表示为时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y) d的形的形式，其中式，其中(x,y)在在 d内，内， f(x,y) d称为所求量称为所求量U的的元元素素，记为，记为dU, 所求量的积分表达式为所求量的积分表达式为 Dd)y, x( fU二、曲面的面积二、曲面的面积 立体的体积立体的体积设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,Dd 设小区域设小区域,),( dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS .dsdAdAdsszd 则有则有，为为；截切平面；截切平面为为柱面，

3、截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图，如图， d),(yxMdAxyzs o ,面上的投影面上的投影在在为为xoydAd d dd dA Ac co os s , , 2222xyxy1 1coscos, ,1ff1ff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .122dzdxAzxDxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面

4、面积公式为： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求球面求球面2222azyx ，含在圆柱体，含在圆柱体axyx 22内部的那部分面积内部的那部分面积.由由对对称称性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面积积dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 222222222222例例3 3：计计算算由由曲曲面面xyz2az(a0)xyz2az(a0)与与zxy (zxy (含含有有z z轴轴的的

5、部部分分) )所所围围成成的的立立体体体体积积。（见见习习题题课课的的课课外外作作业业）22222222例例2 2：求求锥锥面面zxyzxy 被被柱柱面面xy2yxy2y截截下下部部分分的的面面积积（见见自自测测题题） 设设xoy平面上有平面上有n个质点，它们分别位于个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别处，质量分别为为nmmm,21则该质点系的则该质点系的重心重心的坐标为的坐标为 niiniiiymxmMMx11， niiniiixmymMMy11三、重心三、重心当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 DxdAx .1 Dyd

6、Ay DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心4例例4:4:求位于两圆求位于两圆sin2rsin4r和和的质心的质心. . 2D解解: : 利用对称性可知利用对称性可知0 x而而D D1 1yydxdyyydxdyA A 2 2D D1 1r sinr sindrddrd3 3 4 sin4 sin2 22 sin2 sinr dr

7、r dr 4 40 05656sinsind d9 9 56562 29 9 4 42 20 056562sin2sind d9 9 37之间均匀薄片之间均匀薄片0 01 1sinsind d3 3 431 12 2 2oyxC,),(),( dvzyxdvzyxxx .),(),( dvzyxdvzyxyy 由元素法由元素法.),(),( dvzyxdvzyxzz 当物体是均匀的，重心称为当物体是均匀的，重心称为形心形心.,1 xdvVx ydvVy1 dvV其中其中.1 zdvVzzy1zy1例例: :由由曲曲线线绕绕y y轴轴旋旋转转得得一一曲曲面面, ,求求y1y1x0 x0到到y3y

8、3所所围围成成立立体体的的重重心心坐坐标标( (密密度度为为常常量量).).（见见习习题题课课的的课课外外作作业业） 设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21则则该该质质点点系系对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为 niiixymI12， niiiyxmI12.四、转动惯量四、转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y解解设三角形的两直角边分别在设三角形

9、的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为,2dxdyxIDy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同理：对同理：对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为dxdyyIDx 2 .1213 ab 解解oyx 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标2bx ，2hy .hb2 2b bx xD D2 2b bI I (x) dxdy(x) dxdy2 2 bhbh2 20000b bdx(x)dydx(x)dy2 2.123 hb 2 2h hy yD D2 2h hI I (y) dxdy(y) dxdy2 2 .

10、123 bh ,dv)z ,y, x()zy(I22x 对于对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x 对于对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y 对于对于 轴的转动惯量轴的转动惯量z,dv)z ,y, x()yx(I22z ,dv)z ,y, x()zx(I22y 五、引力五、引力 空空间间一一物物体体对对物物体体外外一一点点),(0000zyxp处处的的单单位位质质量量质质点点的的引引力力为为: ,)()()()(,(232020200 dvzzyyxxxxzyxkFx ,)()()()(,(232020200 dvzzyyxxyyzyxkFy ,)()()()(,(232020200 dvzzyyxxz

11、zzyxkFz 为引力常数为引力常数k为体密度为体密度( , , )x y z 薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z),(zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxkFDx ,)(),(23222 dayxyyxkFDy .)(),(23222 dayxayxkFDz 为引力常数为引力常数k解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxFF dayxayxkFDz 23)(),(222 dayxakD 23)(1222oyzxFdrrardakR 0222023)(1 .11222 aaRka 所求引力为所求引力为.112, 0, 022 aaRka 几何应

12、用：曲面的面积、立体的体积几何应用：曲面的面积、立体的体积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结六、小结思考题思考题.)0(cos,cos之间的均匀薄片的重心之间的均匀薄片的重心求位于两圆求位于两圆babrar ab xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称x, 0 y则则 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考题解答思考题解答一、一、 求锥面求锥面22yxz 被柱面被柱面xz22 所割下部分的所割下部分的曲面面积曲面

13、面积. .二、二、 设 薄 片 所 占 的 闭 区 域设 薄 片 所 占 的 闭 区 域D是 介 于 两 个 圆是 介 于 两 个 圆 cos,cosbrar )0(ba 之间的闭区域之间的闭区域, ,求求均匀薄片的重心均匀薄片的重心. .三、三、 设有一等腰直角三角形薄片设有一等腰直角三角形薄片, ,腰长为腰长为a, ,各点处的各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方面密度等于该点到直角顶点的距离的平方, ,求薄片求薄片的重心的重心. .四、四、 设均匀薄片设均匀薄片( (面密度为常数面密度为常数 1)1)所占闭区域所占闭区域D由抛物由抛物线线xy292 与直线与直线2 x所围成所围成, ,求求xI和和yI. .练练 习习 题题五、求面密度为常量五、求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片的匀质半圆环形薄片: : 0,222221 zyRxyR对位于对位于z轴上点轴上点 )0)(, 0 , 0(0 aaM处单位质量的质点的引力处单位质量的质点的引力F. .六、 设由六、 设由exoyxy 及及,ln所围的