线性代数课件：3-4向量组的最大无关组与秩

1、3.4 向量组的最大无关组与秩向量组的最大无关组与秩 一、向量组的最大无关组与秩一、向量组的最大无关组与秩二、矩阵的秩与向量组的秩的关系二、矩阵的秩与向量组的秩的关系三、向量组秩的一些结论三、向量组秩的一些结论一、向量组的最大无关组与秩一、向量组的最大无关组与秩定义定义3.5 设向量组设向量组 A(含有有限个或者无穷多个向量含有有限个或者无穷多个向量) , 若在若在A中存在中存在 r 个向量个向量 1, 2, , r , 满足：满足：(1) 向量组向量组 A0 : 1, 2, , r 线性无关线性无关,(2) 向量组向量组 A 中任意中任意 r+1 个向量个向量(若存在若存在 r+1 个向量个

2、向量的话的话)都线性相关都线性相关, 则称向量组则称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大线性无关向最大线性无关向量组量组 (简称简称最大无关组最大无关组).定义定义3.6 向量组向量组 A的最大无关组所含向量的最大无关组所含向量个数个数称为称为向量组的向量组的秩秩, 记作记作 RA .向量组向量组 1, 2, , m 的秩也记作的秩也记作 R( 1, 2, , m ) . 几点说明几点说明:1. 只含零向量的向量组没有最大无关组只含零向量的向量组没有最大无关组.规定它的秩为规定它的秩为0.2. 含有含有m个非零向量的向量组的秩个非零向量的向量组的秩 R 满足满足 1 R m.3

3、. 向量组向量组 1, , m 线性无关线性无关 R( 1, , m ) = m .4. 向量组向量组 1, , m 线性相关线性相关 R( 1, , m ) m .最大无关组的一个等价定义最大无关组的一个等价定义:定理定理3.15 设向量组设向量组 A0 : 1, 2, , r 是向量组是向量组 A 的一的一个部分组个部分组,且满足且满足:(1) 向量组向量组 A0 线性无关线性无关,(2) 向量组向量组 A 的任一向量都能由向量组的任一向量都能由向量组 A0线性表示线性表示, 则向量组则向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.证明证明 设设 1, 2, , r

4、+1 是组是组A中任意中任意r+1个个向量向量, 由由(2)可知这可知这r+1个个向量能由向量组向量能由向量组 A0线性表示线性表示, 从而有从而有: R( 1, 2, , r+1) R( 1, 2, , r ) =r所以所以 r+1个个向量向量 1, 2, , r+1 线性相关线性相关, 故故向量组向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个最大无关组的一个最大无关组. 证证. 0,)(),( 21 rmDrrARaaaA阶子式阶子式并设并设，设设定理定理3.13 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等也等于它的行向量组的秩于它的行向量组的秩.；列线性无关列线性无关知其

5、所在的知其所在的由由 rDr0 .1,1个列向量都线性相关个列向量都线性相关中任意中任意知知阶子式均为零阶子式均为零中所有中所有又由又由 rArA, 向量的一个最大无关组向量的一个最大无关组的列的列所在的所在的因此因此ArDr是是列. r故列向量组的秩等于故列向量组的秩等于).(ARA的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于类似可证类似可证二、矩阵的秩与向量组的秩的关系二、矩阵的秩与向量组的秩的关系即即: 利用矩阵的秩可以求向量组的秩利用矩阵的秩可以求向量组的秩.例例1 1 已知已知向量组向量组 1=(1, 2, 3, 4)T, 2=(2, 3, 4, 5)T, 3 =(3,4, 5, 8)T

6、, 4=(4, 5, 6, 7)T, 求求 1, 2, 3, 4 的的秩及秩及一个最大无关组一个最大无关组 解解A=( 1, 2, 3, 4) 7654854354324321r,0000200032104321 rank( 1, 2, 3, 4) = rank A= 3,且且 1, 2, 4 为向量组的一个为向量组的一个最大无关组最大无关组. .说明说明: 向量组的向量组的最大无关组一般不是唯一的最大无关组一般不是唯一的. .例例2 2 设矩阵设矩阵,1129513151133173113311 A求矩阵求矩阵 A 的列向量组的列向量组的的一个最大无关组一个最大无关组, 并把不属并把不属最大

7、无关组的列向量用该最大无关组线性表示最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示. 解解记记 A=( 1, 2, 3, 4 , 5 5)r,00000210001121013311 1, 2, 4 为列向量组的一个为列向量组的一个最大无关组最大无关组,r 00000210003021080101,2 213 且有且有.2384215 三、向量组秩的一些结论三、向量组秩的一些结论3.2的定理的定理3.6中中矩阵的秩矩阵的秩均可改为均可改为向量组的秩向量组的秩.定理定理3.14 向量组向量组 1, 2, , s 能由向量组能由向量组 1, 2, , m 线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是

8、R( 1, 2, , m ) =R( 1, 2, , m, 1, 2, , s) .定理定理3.16 向量组向量组 A和它的最大无关组和它的最大无关组 A0 是等价的是等价的.证明证明 因为向量组因为向量组 A0 是组是组A的一个部分组的一个部分组 ,故故 A0组总能由组总能由A组组 线性表示线性表示, 由由最大无关组最大无关组定义可知定义可知: 对于对于A 中任一向量中任一向量 , r+1个个向量向量 , 1, 2, , r 线性相关线性相关,而而 1, 2, , r 线性无关线性无关,可知可知 能由能由 1, 2, , r 线性表示线性表示,即即 A组能由组能由A0组线性表示组线性表示, 所以所以 A组和组和A0组等价组等价. 在在3.中中, 我们在限制向量组只含有限个向量的条我们在限制向量组只含有限个向量的条件下得到定理件下得到定理3.5, 3.6, 3.7现在我们就可以利用向量组的最大无关组作过渡去现在我们就可以利用向量组的最大无关组作过渡去掉这个限制掉这个限制, 可将定理可将定理3.5, 3.6