怎样做有用的辅助线

1、怎样做有用的辅助线几何定理的证明，除少数简易的以外，非添作有用的辅助线就 无从着手。辅助线的作法，千变万化，没有一定的方法可以遵守，所 以是证题时最感困难的一件事。普通几何书中，为了无从说起，所以 宁肯可不说而不肯乱说，于是更使学者感觉头痛了。这里为了便利初 学者起见，不得不叙述一些大要，但是难免挂一漏万，只好等到下一 章里面再随时提示，以作补救了。开始要讲的是作辅助线的目的大概说来，添加辅助线的目的，最主要的是下列六种：（1）把已知关系的图同要证明它们有关系的图聚集一外， 使相互间 发生关系。范例5二线段平行而且相等，那么它们在第三条线上的身影必相等。1假设：AB/ CD 且 AB=CD又

2、AE BF、CG DH都是 MN的垂线。求证：EF=GH思考已知相等的二线AB和CD同求证相等的二线EF和GH没有联系，但由假设及定理“垂直于同一直线的诸线必平行”，知道AE BF, CG DH是平行线，可以可作 EK/ AB, GL/ CD造成两个平行四边形，由“平行四边对边相等”得，EK=AB GL=CD这样无异是把AB和CD移到EK和GL的位置，使与欲证的二线 EF和GH成为/ EFK和/ GHL的两组对应边，要证EF=GH只要/EFQ/GHL就 得。证证叙述1 .作 EK/ AB, GL/ CD12. v AE/ BF, CG/ DH23. A AEKB CGLDfE是平行四边形。4.

3、 EK=AB=CD=GL4.5. 又 EK/ GL5.6. AZ KEFK LGH6.7 .又/ KEFK GHL7.8.二 /EFK/GHL证理由从一点可作一直线的/线。丄同一线的二线必/。3. 两组对边各/的是平行四边形平行四边形对边相等，又假设。由假设及1. /线的/线必/ /线的同位角相等。由假设，垂线间的直角相等。8. s.a.a二s.a.a证证9. EF=GH9.全等三角形的对应边相等。注意：学者试从A和C各作MN的平行线，看能否使已知的等线 和欲证的等线同样发生关系。(2)造第三线或第三角，用作介绍,使欲证的两线或两角发生关系范例 6假设：/ A+Z E+Z C=360。求证：A

4、B/ CD思考从E作EF/ AB若能证得EF/DCD 就得 AB/ CD证叙述1 .从 E 作 EF/ AB1.理由从一点可作一直线的/线证证2 .则/ A+Z 仁 180°。/线同旁内角相补。证证假设。等量减等量，差相等。同旁内角相补的，二线/同一线的二线/。3 .但/ A+Z E+Z C=360。3.4. AZ CA+Z2=180°4.5. EF / CD5.6. A AB/ CD6.注意：学者试从E向左方作AB的平行线，看是否也能用来证明 AB/CD的关(3)造出题中所有的和，差，二倍量或半分量，以达到证题的目的。譬如前举的范例1就是造成一线的半分量的，范例 4就是造

5、成二线的和的，又如下举的范例7是造成一线的二倍量的。 范例7三角形的垂心同一角顶的距离，等于外心同这角的对边距离的二倍。假设：在/ABC中,高AK BD交于G 边的垂直平分线HE, HF交于H。求证：BG=2HE AG=2HF思考要证BG=2HE可设法另作一线等于2EH但若是延长HE使成原成的二倍，则不能同 BG发生关 系，故宜另想办法。由假设 E是AC的中点，试联CH延长到L，使 HL=CH那么H是LC的中点，HE就成为/ CAL二边中点的联线，从“三角形二边中点的联线等于第三边的一半”，就得LA=2HE细察LA同BG相线，知道可以证明它们是平行四边形的对边，于是本题就完全解决了证叙述理由1

6、.两点间可联一直线，直线可任意延长。/两边中点联线平行第三边。丄于同一线的两线/。/于同一线的两线/。仿 2.-4.两组对边分别平行的是平行四边形 平行四边形对边相等。/两边中点联线等于第三边一半 代入。仿 7.-9。1 联CH,延长到L,使HL=CH又联LA, LB2. 贝ULA/ HE2.3. 但BD/ HE3.4. 二LA / BD4.5. 同理LB / AK.5.6. 二LAGB是平行四边形。6.7. LA=GB7.8. 但 LA=2HE8.9. 二 BG=2EH9.10. 同理可证：AG=2HF10注意：学者试联CQ取中点M，造成BG的半分量FM,看能不能证明(1) 造成新的等量，辅

7、助题设的等量，借得欲证的等量 范例8与范例3同。假设：在/ ABC中, / C=90° , DA=DB求证：DC=DA思考题设的等量仅有DA=DB从此不能证得DC=DA试取AC的中点E,联DE,就得一对新的等量 AE=EC又由“/两边中点联线平行第三边” 。“/线间的同位角相等”和直角的补角也 是直角“，得DE/ BC, / 1= / C=90° =Z 2。也是一对新的等量，从此可证 /ADECDE求证的等量就可以成立。证1.叙述理由证1.叙述理由叙述1. 取AC的中点E,联接DE理由线段有一中点，二点可联一直线证1.叙述理由证1.8.SaS=s.aS9.全等三角形对应边相

8、等。2. DE/ BC2.3. Z 1= / C=90°34.又/ 2=90 °4.5. / 1= / 2。5.6.又 AE=EC6.7.DE=DE7.8. / AD專 CDE9. DC=DA/两边中点联线平行第三边。/线间的同位角相等，又假设。 直角的补角也是直角。凡直角都相等。由1。恒等。证叙述理由证叙述理由M n i J A k(2)造成新的图形，使能应用某一特殊定理。范例9从三角形的三顶角向外一直线所引的三垂线的和，必等于重心向该直线所引垂线的三倍假设：在/ ABC中三中线AD BE CF相交于Q从A、B、C 0各向形外一直线XY作垂线 AG BH CK QL。求证

9、：AG+BH+CK=3CL思考本题若要想根据（3）造成一线等于三线的合或一线的三倍，无法达到目的故应另想别法。由“垂直同一直线的各线平行”，知道求证的等式中 的四线都平行；又由“三角形的重心到顶点的距离是过这顶点的中线的2 ”。知道BO=2OE于是可取BO的中点M 作MNLXY, EP丄XY,造 3成梯形MNPE BHLO AGKC各以OL, MN EP做中线，这样一来，就能应用“梯形的中线等于二底和的一半”的定理，证得所需要的等式。1.取DO的中点M作MNLXYEP丄 XY。1.线段有一中点，从一点可作一线 的垂线。2. BH/ MN/ OL/ AG/ EP/ CK2.垂直同一直线的诸线平行

10、。3.bm=mo=oee=ec3.三角形的重心定理，又假设。4. HN=NL=LPGP=PK4.诸平行线截一线成等分，则截任何线成等分。5. MN+EP=2OL5.梯形的中线定理。6.2MN+2EP=4OL6.等量的二倍相等。7.但 2MN=BH+OL7.同5.2EP=AG+CK。8. AG+BH+CK+OL=4OL8.以7.代入6.9. AG+BH+CK=3OL9.移项，化简。(6)改造图形，变原题成一比较易证的题。范例10若三角形的二边不等，则大边 同边上的高的和，必大于小边同这边上 的高的和。假设：在/ ABC中, AB>AC BD, CE是求证：AB+CE>AC+BD思考若

11、在图中造成一线等于 AB+CE另一线等于AC+BD结果无法 可证。于是变更原定理的终结，移项得AB-AC>BD-CE在大边上取AF, 使等于小边AC造成一线，BF=AB-AC同时作FG丄AC,使FH丄BD, 造成一线BH=BD-HD=BD-FG=BD-CE原题为求证BF>BH勺简易的题。证叙述理由1. 在AB上取AF=AC联FC,作FG丄 AC FH 丄 BD1.2. ： FG/ BD, FH/ AG2.4. FG=CE4.5.但 FG=CE5.6.二 HD=CE6.7. BH=BD-HD=BD-C。 E7.8.又 BF=AB-AF=AB-AC89.但因 / FHB=90。9.3.

12、 二FHDG!平行四边形。3.10.A BF>BH10.11. 即 AB-AC>BD-CE11.12. A AB+CE>AC+BD12.在大线段上可取一部分等于小线段, 二点间可联一直线,从一点可作一线 的垂线。垂直于同一线的二线平行。 二组对边各平行的是平行四边形。 平行四边形对边相等。 等腰三角形两腰上的高相等。 等于同量的量相等。 全量减去一部分得另一部分,代入。 同上。由1 .垂直线夹直角。直角三角形的斜边最长。以 7、8代入 10。移项。注意：学者试在 AB上取K,使BK=AC 从 K作KL丄AC MNL BD看是否可证。又在CA延长线上取N,使CN=AB减在AC延

13、线上取P, 使AP=AB看是否可证。其次要讲的是：辅助线的种类 普通是下列的十种：（ 1） 延长一已知直线至任何长， 或等于已知长，或与其他的线相交。 例如前举的范例 4 和 7。（2）联结二已知点或定点 （包含定直线的中点， 在定直线上与一端 的距离是定长的点）。例如前举的范例 1，7，8和 10。（3）从已知点作已知线或欲证的线的平行线。 例如前举的范例 5 和6叙述1 .作AE平分/ Ao2 .贝U AE1BC3. / 3=Z44. 又 / B=Z B5. / 仁/2o16 .但/ 2= 1 / Ao217.A/ 仁丄 /A o2叙述1 .从C作直线CE使/ 2=Z 1o2. vZ 3=

14、Z 4, CD=CD3. 二/ BCD/ECD4. / 5=Z Bo5 .又/ B=Z Co6.AZ BCE2AoA(4) 从已知点作已知线或欲证的线的垂线。例如前举的范例9和 10。(5) 作某角的平分线。例如下举范例11的证法一。(6) 过一点作一直线，使与已知线所成的角等于已知角。 例如下举 范例11的证法二。范例11等腰三角形腰上的高与底边所夹的角, 等于顶角的一半。假设：在/ ABCh, AB二AC CDLAB求证：/ DCB= / A。2证法一理由1. 一角必有平分线。2. 等腰三角形顶角平分线垂直底边。3. 垂线间的直角相等。4. 恒等。5. 两个三角形两组角相等，第三角相等。6

15、. 由 1o7. 代入。证法二理由1.从一点可作一线与已知线成角等于已知角。2. 直角相等，又恒等。3. a.s.a=a.s.a.4. 全等三角形的对应角相等。5. 等腰三角形的底角相等。6. 在/ ABC和/ BCE中，两组角相等地,第三角也相等。7 .即2/仁/ A。7.以1.代入6。8. 二/仁丄/A。8.等量的半分量相等。2（7）从已知点作已知圆的切线。（8）题设有两圆相交的，可作公弦。（9）题设有两圆相切的，可作公切线或中心线。（10） 有四点可以共圆（即在一个圆周上）的，过这四点作辅助圆。以上四种的例题，都见下章。最后再谈一谈：作辅助线时应注意的各点有如下的三种：（1）有用的辅助线应该是有目的的，若随便乱作，非但对证题 没有帮助，还会使图形一团乱丝，由于视觉的受到阴碍，思想就不易 纳入正轨，初学的人应特别注意。（2）添加辅助线须依据基本作图法，没有基本作图法的线绝对不能作。譬如在范例8中，根据的作图法是“求一已知线段的中点”和“以 直线联二定点”，都是有合理的手续的。若不说“取 AC的中点E,联 直线DE，换作a. 作AC的垂直平分线DEb. 从 D作 DE/ BC,使 AE=ECc. 从 D作 DE1A