基于频谱分析的惯性元件标度因数测量研究与实现

1、基于频谱分析的惯性元件标度因数测量研究与实现        摘要：在惯性导航系统中，惯性元件的标度因数误差对系统的误差产生了极大的影响。本文介绍了一种利用舒勒回路的特性测定惯性元件标度因数的方法。它可以用于船用惯导系统在系泊或航行过程中更换惯性元件时对其标度因数的测定。不同于以往的测量方法，这里充分利用了舒勒回路的周期特性，采用了频谱分析估算振荡周期的方法。文中讲述了它的基本原理和具体算法，并进行了计算机仿真和工程试验。仿真和试验结果表明：该方法能准确的测量惯性元件的标度因数。关键字：频谱分析；惯性导航；惯性元件；

2、标度因数 一、引言 陀螺仪和加速度计是惯性导航系统最主要的两个惯性元件。陀螺仪具有定轴性和进动性，能够为惯导系统提供精确的测量基准。而影响陀螺仪精度的主要因素就是陀螺漂移和标度因数误差。惯导中的加速度计是用来测量运载体的加速度，从而积分得到速度和位置信息，它的精度直接影响惯导的输出结果。决定加速度计精度的是它的零位偏差和标度因数误差，如何准确的测量这两个参数一直是人们所关注的。 传统的陀螺仪标度因数的测定是在固定基座的情况下引入适当精度的方位基准信息，通过采用四位置法获得的。加速度计标度因数则是在静基座水平状态下，利用感受到的重力加速度来估算出的。可以看出，传统的测量方法具有较多的使用前提，因

3、此它的使用范围受到了限制。 陀螺仪或加速度计如果在使用过程中受到了损害，在更换新的元件后就需要测定新元件的标度因数了。此时，运载体的状况可能无法满足传统标度因数测定的前提条件，我们就迫切的需要一种新的测定方法。这时可以考虑它们所在的水平回路，假定陀螺仪或者是加速度计的标度因数已经准确的测出了，此时测量出水平回路中的舒勒周期，与标准舒勒周期进行比较计算即可获得另一个惯性元件的标度因数。 二、测定的基本原理 平台式惯性导航系统工作在无阻尼工作状态时，水平回路中会产生舒勒周期振荡和傅科周期振荡，为了更清楚的描述这两种振荡，我们给出惯导无阻尼工作状态的误差方块图，如图1所示。 分析包含北向加速度计和东

4、向陀螺仪的北向水平回路，为了能使采集到的速度信息能够准确的体现系统中的实际舒勒周期，把系统中的傅科周期回路断开。我们可以得出速度误差的时间函数： (1) 式中，cs系统舒勒频率, (2) Vy(t)北向速度误差；Ay北向加速度计零位误差； Kcy北向加速度计标度因数； Kgx东向陀螺仪标度因数。 则系统的实际舒勒周期为 ： (3)而系统的标准舒勒周期为： (4) 由式(3)和(4)可得到： (5) 假如东向陀螺仪的标度因数已经准确的测出，那么在式（5）中，我们只要准确的测量出系统的实际舒勒周期Tcs就可以得到北向加速度计的实际标度因数了。同样，如果这里的加速度计的标度因数已经测出，我们也可以通

5、过舒勒周期计算出陀螺仪的标度因数。 三、系统实际舒勒周期Tcs的测量方法 这里采用了信号周期图谱分析的方法。当我们从实际系统中采集到了几个舒勒周期的速度数据后，我们就可以在计算机中进行分析了。为了使数据准确的反映舒勒周期振荡，可以通过改变系统水平回路的结构组成使水平回路中调制舒勒周期振荡的傅科周期振荡消除，这样速度数据就完全反映了回路中的舒勒周期了。 1、频谱校正原理周期图谱分析的方法虽然在科研、工程和生产中应用十分广泛，但是这种方法也存在局限：  计算机只能对有限样本进行处理，FFT（快速傅立叶变换）谱分析也只能在有限区间内进行。由于时域截断产生的能量泄漏，造成谱峰值变小

6、，精度降低；  采样频率不可能是信号频率的整数倍，而FFT的频谱是离散的，若信号频率在两条谱线之间，这时由峰值谱线反映的频率、幅值和相位就存在较大误差。例如，当加矩形窗且非整周期采样时，频谱分析的幅值误差最大达36.4%，频率误差最大为0.5f（f为频率分辨率）。为此，为了提高FFT的频率分辨率，我们这里采用了频谱细化的方法。  常规的细化方法是以增加采样数据长度为前提，这样总采样时间变长，运算量也要增大。此外，当采样数据恒定或分析瞬态信号时也无法使用。FFT-FT方法是先用FFT作全景谱，再对要细化的部分用DFT分析，最终得到精确的频谱。虽然对指定谱区间细化，但不增加采样

7、长度，仍采用原来的采样数据，其目的是将离散傅立叶变换的频域曲线变成连续的曲线。这样离散谱就变成了连续谱，就可以克服频率分辨率的限制。 2、具体算法过程 (1)用FFT作全景谱 取水平回路中的几个舒勒周期的速度数据，看作有限长的时间序列xk，设采样频率为fs，采样点数为N，采样间隔为t=1/fs，其N点的傅立叶变换为: n=0，1，2，···，N-1 (6) 其中， (7) 以上变换的频率分辨率为fs/N，和采样点数成反比。而fs不变且N为一定时，分辨率无法提高。当从幅频特性曲线中找出幅值最大的一条时，受频率分辨率的限制，它不能准确的代表速度数据的频率。因此必须继续

8、进行下面的细化操作，以进一步提高频率分辨率。 (2)指定谱区间细化 FFT-FT算法是把频谱曲线看成是连续的，在单位圆上的指定细化区f1ff2内进行N点的线性调频变换，设f=f1+n(f2-f1)/N，则有： n=0，1，···，N-1 (8) 令； ， 因为 ，则上式变为： n=0，1，···，N-1 (9) 令 ， ，则上式可写为： n=0，1，···，N-1 (10) 上面运算的关键就是实现g(n)和h(n)的线性卷积，g(n)是N点序列，而h(n)=W-n2/2是一无穷长的序列，且是以n=0为偶对

9、称的。为了充分利用已有的算法，我们利用FFT实现该卷积。因为FFT的乘积是对应着循环卷积，所以需要对这两个数列的长度进行处理，得到2N长度的序列g(n)和h(n)，分别对它们作2N点的FFT运算得到G(k)和H(k)，然后对它们的乘积进行反变换就得到了g(n)和h(n)的线性卷积。将卷积结果的前N个值与Wn2/2相乘，其乘积就是N点的调频变换结果。此时的频率分辩率得到了接近平方倍的提高，从幅频图谱上找出幅值最大的频率，即可较为准确的得到速度数据的周期。 (3) 算法复杂度计算 离散傅立叶变换（DFT）在诸如线性滤波、相关分析和谱分析之类的各式各样的数字信号处理中得到了广泛的应用，但是其计算复杂

10、性一直受到人们的关注。考虑长度为N的数据序列xk，它的DFT定义为： n=0，1，···，N-1 (11) 我们注意到，对n的每一个取值，直接计算Xn涉及到N次复数乘法（4N次实数乘法）和N-1次复数加法（4N-2次实数加法）。因此计算DFT的所有N个值总共需要N2次复数乘法和N2-N次复数加法。这里我们利用了快速傅立叶变换（FFT）算法。对于长度N为2的幂的FFT算法，要进行(N/2)log2N次复数乘法和Nlog2N次复数加法。可以看出FFT的计算速度比直接计算快很多。 线性调频变换算法中的线性卷积的实现也可以用上面的FFT算法实现，这样就充分利用了已有的算法

11、，减少了程序代码的长度，减少了程序的占用空间，提高了程序的执行速度。 在我们这个实际系统中，速度数据序列是实数序列，因此可以采用特殊的方法使计算量又减少一半。在具体编程过程中又可以有很多的方法可选择，因此可以将程序的计算量和所用存储器数量做到最少。 (4)程序流程图 计算机仿真的程序流程图如图2所示。 (5)应当注意的几个问题 在产生速度数据序列之前，一定要注意把系统中的傅科周期回路从水平回路中断开，否则所测的周期中将含有随纬度变化的傅科周期。 由于处理的数据量很大，而且要进行复数运算，因此在具体编程时要考虑运用同址运算，以减小代码的占用空间，提高算法的执行速度。 本文中，频谱只作了一次细化，

12、如果精度达不到要求，可以再进行几次细化，进一步提高频率分辨率。 四、计算机仿真和工程试验 标准舒勒周期是84.4min，为了提高频率分辨率，我们经常需要采集五六个周期的数据，这样整个采集过程就要达8个小时左右，耗时太长，不利于在实际工程中使用。为了克服这个问题，我们可以在水平回路中加入一定的比例系数K，使舒勒周期减小，这样就可以在同样的采样频率下采集到较多的数据。 在不同的比例系数和不同的总采样时间下，由计算机仿真可得到如表1所示结果。 从仿真结果可以看出，当实际舒勒周期减少为标准的六分之一时，测定的误差已经减少到了0.006%，这已经达到了较高的精度。 我们以N=1024为例，采样间隔时间1

13、0s，比例系数设定为36，采集到一组速度数据，经过N点的FFT变换后，得到如图3所示的幅频曲线。 从图中可以看出离散傅立叶变换的幅频曲线是对称的，在选取最大幅值时只考虑前N/2个值的大小即可。程序运算得出最大幅值处的n值为12，则测得舒勒周期为853.33s。 在最大幅值左右各取一个频率小区间，作为指定的细化频率区间，然后进行N点的线性调频变换。 得到细化后的幅频曲线图如图4所示。 经程序运算可以得出最大幅值对应的n值为569，计算得到舒勒周期为845.49s。明显看出，细化后得到舒勒周期与实际的舒勒周期已经十分接近了。 这种方法已经应用于船用平台式惯性导航系统中，收到了良好的效果，因此完全可以替代传统的惯性元件标度因数的测定方法。 五、结论 用频谱细化的方法获取舒勒周期，从而用舒勒周期回路特性来测定惯性元件的标度因数，这一思路经过