动力学入门知识

1、动力学动力学概述1 动力学的研究内容静力学研究作用在刚体上力系的简化和力系的平衡条件；没有讨论物体受不平衡力系作用将如何运动；运动学只是从几何角度研究了物体的运动和描述物体运动的方法，但未涉及物体所受到的力。动力学则将两者结合起来。研究物体运动的变化与作用于物体上的力之间的关系。即建立物体运动的普遍规律。2 动力学研究的力学模型质点，质点系3 动力学研究的问题（1） 已知物体的运动，求作用于物体的力；（2） 已知作用于物体的力，求物体的运动情况。4 动力学的课程体系1） 经典动力学（矢量动力学）最高原理：牛顿定律导出规律：2） 分析力学初步3） 两种特殊的运动：碰撞和机械振动基础。第十二章 动

2、量定理和动量矩定理本章研究的两个定理动量定理力系主矢量的运动效应反映；动量矩定理力系主矩的运动效应反映。一 质点系质量的几何性质1 质心质点系的质量中心，其位置有下式确定：其投影式为 , , 2 刚体对轴的转动惯量定义：为刚体对轴的转动惯量或影响的因素单位：物理意义：描述刚体绕轴时惯性大小的度量。的计算方法：（1） 积分法例12.1已知：设均质细长杆为，质量为。求其对于过质心且与杆的轴线垂直的轴的转动惯量。解：建立如图12.2所示坐标，取微段其质量为，则此杆对轴的转动惯量为：例12.2已知：如图12.3所示设均质细圆环的半径为，质量为，求其对于垂直于圆环平面且过中心的轴的转动惯量。解：将圆环沿

3、圆周分为许多微段，设每段的质量为，由于这些微段到中心轴的距离都等于半径，所以圆环对于中心轴的转动惯量为：例12.3已知：如图12.4所示，设均质薄圆板的半径为，质量为，求对于垂直于板面且过中心的轴的转动惯量。解：将圆板分成无数同心的细圆环，任一圆环的半径为，宽度为，质量为，由上题知，此圆环对轴的转动惯量为，于是，整个圆板对于轴的转动惯量为：（2） 回转半径（惯性半径）设刚体对轴的转动惯量为，质量为，则由式定义的长度，称为刚体对轴的回转半径。例如：均质杆（图12.2） 均质圆环（图12.3） 均质薄圆板（图12.4） 若已知刚体对轴的回转半径，则刚体对轴的转动惯量为：（3） 转动惯量的平行轴定理

4、在图12.5中，轴间距离为，刚体质量为，其中轴过质心，则有例如：在图12.2中，细长杆对轴的转动惯量为（4） 组合体例12.4 已知：钟摆可简化为如图12.6所示。设均质杆和均质圆盘的质量分别为和，杆长为，圆盘直径为，求钟摆对通过悬挂点的水平轴的转动惯量。解：钟摆对水平轴的转动惯量为：其中： 所以二 动量定理1 动量的概念与计算质点的动量为质点系的动量系为质点系的动量（动量系的主矢量）为将质心公式对时间求一阶导数，有即于是2 动量定理1）质点的动量定理设质点质量为，速度为，作用力为，由牛顿第二定律，有变换为质点的动量定理的微分形式 （为元冲量）将上式对时间积分有 冲量 质点的动量定理的积分形式

5、2）质点系的动量定理设质点系由个质点组成，其中第个质点的质量为，速度为，所受外力为，内力为（图12.7）（1）由牛顿第二定律 将上式由到求和，有， （)由, 质心运动定理： （）质心运动定理反映了质心的重要力学特征：质点系的质心的运动只取决于质点系的外力，内力改变不了质心的运动。这个定理在理论上和实际中都具有重要的意义。在求解刚体系统动力学问题时，为了应用方便，常将上式改写为 （）式中 、分别是刚体系统中第个刚体的质量和质心加速度。是由质心公式对时间求二阶导数后得到的，即（2） 积分形式由式（）可得到积分形式 （3） 动量守恒（质心守恒）若 则常矢量 或常矢量若 则常量 或常量若则常量 （质心

6、守恒）实例分析实例1利用质心运动定理解释定向爆破实例2利用质心运动定理分析汽车的起动与刹车例12.5已知：如图12.11所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上，设其外壳和定子的总质量为，质心位于转子转轴的中心；转子质量为，由于制造或安装是的偏差，转子质心不在转轴中心上，偏心距。转子以等角速度转动，试求电动机机座的约束力。解：1 研究对象：电动机整体2 分析受力（如图示）3 分析运动：定子不动；转子作匀速圆周运动，其法线加速度4 列动力学方程求解：由此解出： 5 讨论1） 机座的约束力由两部分组成，一部分由重力（主动力）引起的，称为静约束力（静反力），另一部分是由于转子质心运动状态变化引起的，称为附

7、加动约束力。2） 附加动约束力有最大值或最小值：时，时，时，时，3） 附加动约束力与成正比，当转子的转速很高时，其数值可以达到静约束力的几倍，甚至几十倍，而且这种约束力是周期性变化的，必然引起机座和基础的振动，还会引起有关构件内的交变应力。4） 利用动量定理能否求约束力偶矩？本例也可以选用质心运动定理求解。在图12.10中，因为定子不动，故是惯性参考系中，写出系统的质心坐标公式： 将上两式对时间求二阶导数，可得：由质心运动定理：可得例12.6 在上例中（例12.5），若电动机机座与基础之间无螺栓固定，且为光滑接触（图12.12），初始时电动机静止。求转子以等角速度转动时电机外壳的运动，并分析电

8、机跳起的条件。解：1）求电机外壳的运动研究电机整体 由图示受力分析知 又因为故常量时，由图12.11时，由图12.11因为 解得：说明电机沿水平方向作简谐振动，振幅为2） 电机未跳起时，仍可用上例所求结果，即令，求的电机的角速度为：讨论：当，即时，转子质心在最高处，可求得使电机跳起的最小角速度为：例12.7已知：如图12.13表示水流流经变截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的理想流体，而且流动是定常的。求流体对管壁的作用力。解：1）研究对象：取管中截面和截面之间的流体为研究的质点系2）受力分析：如图所示设流体密度为，流量为，（流体在单位时间内流过截面的体积流量，定常流动时，是常量）在时间内，流

9、过截面的质量为，其动量改变量为即 由 得 令 其中为管子对流体的静约束力，由下式确定则有 为流体流动时，管子对流体的附加动约束力。可见，当流体流速很高或管子截面积很大时，流体对管子的附加动压力很大，在管子的弯头处必须安装支座（图12.14）三 动量矩的概念及其计算1 质点的动量矩设质点的质量为，某瞬时的速度为，到点的矢径为（图12.15）质点对点的动量矩为 质点对轴的动量矩为 质点对点和轴（该轴通过点）的动量矩关系为 2 质点系的动量矩设质点系由个质点组成，其中第个质点的质量为，速度为，到点的矢径为，则质点系对点的动量矩（动量系对点的主矩）为：质点对轴的动量矩为 动量矩的解析式为 刚体动量矩的

10、计算1) 刚体平动（图12.17）2) 定轴转动刚体对转轴的动量矩（图12.18）3）平面运动刚体对其平面内一点的动量矩（图12.19）例12.8已知：质量为，的两物块分别系在两柔软不可伸长的绳子上，图12.20所示，此两绳分别绕在半径为和并固结在一起的鼓轮上，设鼓轮的质量为，对转轴的回转半径为，并以转动。求系统对鼓轮转轴的动量矩。解：1 分析运动：2 计算例12.9图12.21所示椭圆规尺，质量为，曲柄质量为，滑块和的质量为，设曲柄和均为均质杆，且，曲柄以转动，求：此椭圆规尺机构对转轴的动量矩。解：1 分析运动：规尺作平面运动2 计算物块速度均通过转轴 ，对的动量矩为，杆定轴转动，对轴的动量

11、矩为四 心为定点的动量矩定理引言：求均质轮在外力偶的作用下，绕质心轴的角加速度1 质点对固定点的动量矩定理图12.22牛顿第二定律：上式两边左叉矢径左边是固定点时，于是有质点对固定点的动量矩定理2 质点系对固定点的动量矩定理设质点系由个质点组成，其中第个质点的质量为，速度为，对固定点的矢径为，作用在该质点上的外力为，内力为。第个质点对固定点的动量矩定理为将上式从到求和由图12.23知右边左边可得 质点系对固定点的动量矩定理3 动量矩守恒若，常矢量若 则常量例12.10分析受有心力作用的物体的运动解：如图12.24所示，因为故常矢量，可见质点在有心力作用下运动的轨迹是平面曲线。例12.11 如图

12、12.25所示，在调速器中，除小球外，各杆重量可不计，忽略摩擦，系统绕轴自由转动。初始时，系统的角速度为，当细绳拉断时。求各杆与铅直线成角时系统的角速度。解：研究整体：因重力和轴承力对于转轴的矩为零，即 故常量时时由 得例12.12已知：不可伸长的绳子绕过不计质量的定滑轮，绳的一端悬挂物块，另一端有一个与物块重量相等的人，从静止开始沿绳子上爬，设其相对绳子的速度为，试问：物是否动？并分析绳子的速度。解：研究整体系统：因为，故常量设轮顺时针转，绳子的速度为则由 即得物上升的速度为人向上的速度为人、物向上的绝对速度大小相等，方向相同，人物同时到达顶端。五刚体定轴转动微分方程设刚体在主动力系作用下，

13、绕固定轴转动（图12.27），设刚体对轴的转动惯量为，瞬时的角速度为，刚体对转轴的动量矩为，由质点系对固定轴的动量矩定理可得刚体的定轴转动微分方程例12.13 已知复摆由绕水平轴转动的刚体构成，已知复摆的重量为，重心到转轴的距离为，如图12.28所示，设复摆对转轴的转动惯量为。求复摆微摆动的周期。解：1 研究对象：复摆2 分析受力：如图12.28所示3 分析运动：复摆作定轴转动，用表示其转角4 列动力学方程，求解：由题意，复摆微摆动时，于是有这是简谐运动的标准微分方程，此方程的解为：式中称为角振幅，为初相位他们由初始条件确定摆动周期为5 讨论1） 若测出周期T，可求出刚体对转轴的转动惯量2）

14、如果要求轴承O的约束力求，积分求求轴承的约束力刚体定轴转动微分方程组例12.14 已知：电动机将不变转矩M加在轴上（图12.29）轴通过节圆半径为的外啮合齿轮传动给轴。轴与提升重物的鼓轮固结为一体，鼓轮半径为R，轴连同其上零件对轴的转动惯量为，轴连同其上零件对轴的转动惯量为，且各自重心分别在转轴上。重物的质量为，不计摩擦。求：重物A的加速度。解：1 研究轴（图12.29） （1）2 研究轴物（图12.29） （2）3 运动学关系 （3） （4）由方程（1）、（2）、（3）、(4)，解得：五 矩心为质心的动量矩定理1 质点系对于定点”O”和质心”C”的动量矩之间的关系如图12.30所示，O为定点

15、，C为质点系的质心，质点系对于定点O的动量矩为对于任一质点，由图可见于是式中,质点系对于质心的绝对动量矩图12.30中为随质心平动的参考系，设点相对该坐标系的速度为，有式中质点系对于质心的相对动量矩有代入式，有 2 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于固定点的动量矩定理左边右边由于所以矩心为质心的动量矩定理若则 常矢量 矩心为质心的动量矩守恒试分析跳水运动的腾空动作（图12.31）刚体的平面运动微分方程设刚体具有质量对称平面，作用在刚体上的力系可以简化为在此平面内的力系，如图12.31所示。以为基点建立平动坐标系，则刚体相对于此质心的动量矩为刚体平面运动岁质心平动相对质心转动随质心平动相对质心转动刚体平面运动微分方程：例12.15 已知：质量为半径为的均质圆轮放在倾角为的斜面上，由静止开始运动。设轮沿斜面作纯滚动。求：（1）轮心的加速度，（2）轮沿斜面不打滑的条件。解：1 研究对象：轮2 分析受力：如图12.33所示3 分析运动：轮作平面运动，轮心沿斜面作直线运动4 列动力学方程求解：轮纯滚动联立解得：纯滚动的条件：5 讨论：若，由式 得，常量 轮平动 若，则轮沿斜面打滑，此时由方程 可求得例12.16 已知：均质细杆质量，长度，端用两条细绳悬挂，三者个夹角，如图12.34所示。求：剪断绳时，杆的角加速度及绳的拉力。解：1 研究对象：杆2 分析受力：如图12.34所示3