二十章曲线积分与曲面积分

1、第二十章 曲线积分与曲面积分1第一型曲线积分与曲面积分1对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质.2 计算下列第一型曲线积分：(1)(x2+y2)ds，其中L是以(0，0),(2，0)，(0，1)为顶点的三角形； l x2 y2ds，其中L是圆周x2 y2 = ax； l xyzds，其中 L 为螺线 x 二 a cost, y = asin t , z = bt(0 ： a ： b),0 _ t _ 2 二； L(x2 y2 z2)ds，其中L与相同；44222 JL(x + y3)ds，其中 L 为内摆线 x3 + y3 = a3 ； l y2ds，其中 L 为摆线

2、的一拱 x=a(t-sint), y =a(1-cost),0 乞 t 乞 2二； lxyds，其中L为球面x y - z = a与平面x y 0的交线；(8) (xy+yz+zx)ds，其中 L 同(7)；(9) xyzds，其中 L 是曲线 x =t, y =2 J2?3, z =t2(0 兰t 兰 1)；32(10) J2y2 +z2ds，其中 L 是 x2+y2+z2=a2 与 x = y 相交的圆周.3计算下列第一型曲面积分：(1) i i(x2 y2)dS，其中S是立体x2 y2 <z <1的边界曲面；S2dS 2，其中S为柱面x2 y2二R2被平面z=0和z = H所

3、截取的部分；S x y3222,|x y z|dS，其中S为曲面z =x y被z =1割下的部分；S(4)z2dS，其中S为螺旋面的一部分：Sx =u cosv, y = usi nv,z=v (0_u _a,0_v；) i i (x2 y2)dS， S 是球面 x2 y2 z2 二 R2 .S4设曲线L的方程为x cost,y 二几int,et(0罕丸 )它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点 (1,0,1)处为1,求它的质量.5.设有一质量分布不均匀的半圆弧x二r cost, y二rsin v(0 v :)，其线密度T=ar(a为常数)，求它对原点(0, 0)处质量为m的质点的引力

4、.h6 .求螺线的一支 L : x二acost, y二asi nt,zt(0_t_2二)对x轴的转动惯量2兀I = j (y2 - z2)ds 设此螺线的线密度是均匀的. 1 2 2 _7.求抛物面壳z (x y ) , 0_z_1的质量.设此壳的密度 =z .22 2 2 2&计算球面三角形 x y - z =a, x 0, y 0, z 0的围线的重心坐标.设线密度1.22999. 求均匀球壳 x y - z = a (z_0)对z轴的转动惯量./ 22 y10. 求均匀球面 z = . a -x - y (x 一 0, y 一 0, x y乞a)的重心坐标.11. 若曲线以极坐标

5、给出： P = Pp)(耳兰日W色)，试给出计算fL f (x, y)ds的公式,并用此公式计算下列曲线积分：2丄2H(1) 刊ds，其中L是曲线P = a(0兰日-)；匸4(2) xds，其中L是对数螺线P = aekB(k0)在圆r=a内的部分.12.求密度；二:?0 的截圆锥面 x 二 r cos', y 二 rsin',z = r(0_ 2二，0 ： b _ r _ a)对位于曲面顶点(0,0,0)的单位质点的引力.当b- 0时，结果如何？13.计算 F(t)f (x, y,z)dS，其中 S是一平面 x y z 二t，而Sf (x, y,z)2 2_ y z ,0,当

6、 x2 y2 z2 乞1, 当 x2 y2 z2 1.2第二型曲线积分与曲面积分1.计算下列第二型曲线积分：(1) (2a - y)dx dy ,其中 L 为摆线 x = a(t -sin t), y = a(1 -cost),(0 _t 一 2二)沿t增加的方向;孝缨ds，其中L为圆周X2 y2L x y二a2依逆时针方向;(3) Lxdx - ydy zdz，其中L为从(1,1,1 )至八2,3,4)的直线段；2 2 2(4) Jl(x 2xy)dx+(y -2xy)dy， L 为 y = x 从(1,1)到(-1,1)；(5) 丄 ydx -xdy (x2 y2)dz， L 为曲线 x

7、= g,y = e，z = at 从(1,1,0)到(e,e_1,a)；(6) Jx2 y2)dx (x2 y2)dy，L 为以 A(1,0),B(2,0), C(2,1),D (1,1为顶点的正方 形沿逆时针方向.2计算曲线积分2 2 2 2 2 2L(y - z )dx (z - x )dy (x - y )dz .2 2 2(1) L为球面三角形x y - z =1, x_0, y_0,z_0的边界线，从球的外测看去，L的方向为逆时针方向；(2) L是球面x +y +z = a和柱面x + y = ax (a a 0)的交线位于 Oxy平面上方的部分，从x轴上(b,0,0) (b a)点

8、看去，L是顺时针方向.3求闭曲线L上的第二型曲线积分ydx - xdyx2y2(1) L为圆x2 y2二a2，逆时针方向；2 2(2) L为椭圆 % 占=1，顺时针方向;a bL为以(0,0)为中心，边长为a，对边平行于坐标轴的正方形，顺时针方向；L是以(-1,-1), (1,-1), (0,1)为顶点的三角形，顺时针方向.4求力场F对运动的单位质点所作的功，此质点沿曲线L从A点运动到B点：2 2 2(1) F =(x-2xy , y-2x y) , L 为平面曲线 y=x , A(0,0), B(1,1)； F = (x y,xy) , L 为平面曲线 y=1-|1-x|, A(0,0),

9、B(2,0)；(3) F =(x-y,y -z,z_x), L 的矢量形式为 r(t)二ti t2j t3k , A(0,0,0), B(1,1,1)；(4) F =(y2,z2,x2) , L 的参数式为 x -cost, y = ： si nt,z 二 t (，：，为正数)，AC ,0,0), B(，0,2 二)5设P,Q,R在L上连续，L为光滑弧段，弧长为I，证明：| l Pdx Qdy Rdz|乞 Ml 其中 M maxP2 Q2 R2 ? (x,y,z)耳6.设光滑闭曲线L在光滑曲面S上，S的方程为z=f(x, y),曲线L在Oxy平面上的投影曲线为I，函数P(x, y,z)在L上连

10、续，证明：lP(x, y,z)dx =占以 y, f(x,y)dx 7计算| = (xyzdz，其中L : x2 +y2 +z2 =1与y = z相交的圆，其方向按曲线依次 经过1,2,7,8卦限.&计算下列第二型曲面积分：(1) 11 y(x - z)dydz x dzdx (y xz)dxdy ,其中 S 为 x = y = z= 0 , x=y = z = aS六个平面所围的正立方体的外测；(2) JJ(x+ y)dydz+(y+z)dzdx+(z+x)dxdy，其中S是以原点为中心，边长为 2的S正立方体表面的外测；x2 y2 z2(3) 11 yzdzdx , S为一222=1的上半部分的上测；sa b c(4) 11 zdxdy - xdydz ydzdx , S为柱面 玄寸二1被平面z = 0及z = 3所截部分的S外测；(5) . xydydz - yzdzdx - xzdxdy , S 是由平面 x = y = z=0 和 x，y，z=1 所围的四S面体表面的外测；(6) 11 x3dydz - y3dzdx z3dxdy , S 为球面 x2 y2 z2 = a2 的外测；S(7) 11 x2dydz