《数与式》知识点

1、第一部分数与式知识点 定义：有理数和无理数统称实数八*有理数：整数与分数实数无理数：常见类型（开方开不尽的数、与有关的数、无限不循环小数） 法则：加、减、乘、除、乘方、开方实数运算运算定律：交换律、结合律、分配律相关概念数轴（比较大小八相反数、倒数（负倒数）科学记数法有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子a2,a,府）八*单项式：系数与次数 分类多项式：次数与项数（添括号）法则、合并同类项加减法则：加减法、去括号整式幕的运算m n ma ;amm、nmnm m. m /a、m a 0；(a ) a ,(ab) a b ;( ) ja b b1aaP单项式;单项式;单项式单项式先乘方开方

2、，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算;乘法公式平方差公式：b）叮J2完全平方公式:（a b） a 2ab b乘法运算混合运算:单项式多项式多项式；多项式多项式单项式括号优先分式的定义：分母中含可变字母分式分式有意义的条件：分母不为零分式值为零的条件：分子为零，分母不为零分式 分式的性质：a冬卫;a "（通分与约分的根据）b b m b b m分式的运算化简求值通分、约分，加、减、乘、除先化简再求值（整式与分式的通分、符号变化）整体代换求值定义：式子a（a>0叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于1二次根式的性质：（.a）2a; . a2a(a 0)a(a 0)最简

3、二次根式（分解质因数法化简） 二次根式二次根式的相关概念同类二次根式及合并同类二次根式分母有理化（“单项式与多项式型）加减法：先化最简，再合并同类二次根式二次根式的运算乘除法".b “b; !，a；（结果化简）定义：（与整式乘法过程相反，分解要彻底）提取公因式法：（注意系数与相冋字母，要提彻底）分解因式、公式法平方差公式：a b （a b）（a b） 方法完全平方公式：a2 2ab b2 （a b）2十字相乘法：x2 （a b）x ab （x a）（x b）分组分解法：（对称分组与不对称分组）第二部分方程与不等式知识点定义与解：元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系

4、1数. 化为应用：确定类型、找出关键量、数量关系定义与解：解法：代入消元法、加减消元法二元一次方程（组）方程 简单的三元一次方程组：简单的二元二次方程组：一元二次方程定义与判别式（ =b-4ac）解法：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式.分解法分式方程定义与根（增根）：解法：去分母化为式整方程，解整式方程，验. 根1. 行程问题：2. 工程（效）问题：3. 增长率问题：（增长率与负增长率）4. 数字问题：（数位变化） 类型5. 图形问题：（周长与面积（等积变换） 方程与不等式 方程与不等式方程的应用6.销售问题：（利润与利率）7.储蓄问题：（利息、本息和、利息税）8.分配与方案问题：1.线

5、段图示法：常用方法2.列表法：3.直观模型法：次不等式一条般件不不等等式式解解法法解法：（借助数轴）等式2不. 等式与方程 元一次不等式组应用 32.不. 等式与函数4最. 佳方案问题 5.最后一个分配问题第三部分函数与图象知识点各象限内点的特点:坐标轴上点的特点x轴：纵坐标y=0； y轴：横坐标x=0. 平行于x轴，y轴的线段长度的求法（大坐标减小坐标） 不共线的几点围成的多边形的面积求法（割补法）关于x轴对称（x相同，y相反） 对称点的坐标 关于y轴对称（x相反，y相同）、三象限角平分线：y=x 、四象限角平分线:y=-x关于原点0对称（x，y都相反）丄亠正比例函数：y=kx（k疋0）（点

6、求解析式） 函数表达式一次函数：y=kx+b（kO）（两点求解析式）增减性：y=kx与y=kx+b增减性一样，k> 0时，x增大y增大；kv 0,x增大y减小平移性：y=kx+b可由y=kx上下平移而来；若y=kx+b与y=k2X+d平行，则k k2,bbz.垂直性：若y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 垂直，则 k1g<21.求交点：（联立函数表达式解方程组）正负性：观察图像y>0与y<0时，x的取值范围（图像在x轴上方或下方时，x的取值范围）k表达式：y -（k0）（一点求解析式）x 区域性：k>0时，图像在一、三象限；k<0时，图像在二、四象限.k

7、>0在每个象限内，y随x的增大而减小； 增减性反比例函数 性质k<0在每个象限内，y随x的增大而减小. 恒值性：（图形面积与k值有关）函数 对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形.一般式：y=ax2表达式顶点式：y=a（x求交点：（联立函数表达式解方程组求交点坐标，还可由图像比较函数的大小）bx c,其中（a 0）,k）2 h,其中（a 0）,（k,h）为抛物线顶点坐标;交点式：y=a（x x）（x血）,其中（a 0）, x、x?是函数图象与x轴交点的横坐标; 开口方向与大小：a>0向上，av0向下；a越大，开口越小；a越小，开口越小. 对称性：对称轴直线x=- 2a性质增

8、减性a>0，在对称轴左侧,x增大y减小；在对称轴右侧，x增大y增大; x增大y增大；在对称轴右侧，x增大y减小;二次函数b 4ac b2顶点坐标最值:2b4ac bb当a>0时,x=-，y最小值=；av0时，x二一，2a4a2ay最大值=4ac b24a示意图：画示意图五要素（开口方向、顶点、对称轴、与x、y交点坐标）a与c：开口方向确定a的符号，抛物线与y轴交点纵坐标确定c的值；b的符号：b的符号由a与对称轴位置有关：左同右异.符号判断=/ 4ac：A>0与x轴有两个交点；4 = 0与x轴有两个交点；AV0与x轴无交点.a b c：当x=1 时，y=a+b+c的值.a b

9、c 当 x=-1 时，y=a-b+c的值.求函数表达式:函数应用 求交点坐标： 求围成的图形的面积（巧设坐标）：比较函数的大小.第四部分图形与几何知识要点直线：两点确定一条直线线射线：线段：两点之间线段最短，（点到直线的距离，平行线间的距离）角的分类锐角、直角、钝角、平角、周角角角的度量与比较0 60， 1 60；余角与补角的性质：同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等, 角的位置关系：同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角几何初步相交线对顶角：对顶角相等垂线：定义，垂直的判定，垂线段最短定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线平行线性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁

10、内角互补;同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行 判定：平行于同一条直线的两条直线平行平面内，垂直于同一条直线的两直线平行定义：在tAB中，sin的对边斜边sin30三角函数特殊三角函数值in450的邻边*的对边cos =，tan 二斜边的邻边2an30 盘232qsin6tf-，os302-,cos402,tan451;2 -L 31 .一，os60-,tan303.22应用：要构造，才能使用三角函数分类按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形刀久按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；边1 亠面积与周长C=a+b=,c

11、S=-底 咼.2三角形的内角和等于度，外角和等于6（度；角三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和； 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角一般三角形 中线：一条中线平分三角形的面积性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；角平分线判定：至V角两边的距离相等的点在角的平分线上内心：三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等三角形线段高：高的作法及高的位置（可以在三角形的内部、边上、外部） 中位线：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 中垂线判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 外心：三角形三边垂直平分线的交到三个顶点的距离

12、相等厲千等腰三角形的两腰相等、两底角相等，具有三线合一性质，是轴对称图形 性质等边三角形的三边上均有三线合一，三边相等，三角形等为等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形；判疋有一个角为0度的等腰三角形是等边三角形；有两个角是0度的三癒是等边三角形一个角是直角或两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；性质°直角三角形中I，的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方证一个角是直角或两个角互余；判定有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理：曹氏二出 则© 90

13、76;.厲壬全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长、面积也相等； 性质全等三角形全等三角形对应线段（角平分线、中线、高、中位线等）相等判定:ASA SAS AAS SSS HL.多边形：多边形的内角和为（n-2） 180°,外角和为360°.定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形直角梯形梯形特殊梯形性质：两腰相等、对角线相等，同一底上的两角相等 两腰相等的梯形是等腰梯形；判定对角线相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形;两组对边分别平行且相等性质：平行四边形的两组对角分别相等两条对角线互相平分两组对边分别平行一组对边平行且相等判定：两组对边

14、分别相等 的四边形是平行四边形 两组对角分别相等对角线互相平分共性：具有平行四边形的所有性质性质四边形个性：对角线相等，四个角都是直角矩形先证平行四边形，再证有一个直角；判定 先证平行四边形，再证对角线相等；三个角是直角的四边形是矩形.共性：具有平行四边形的所有性质. 性质个性：对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，四条边相等菱形先证平行四边形，再证对角线互相垂直；判定 先证平行四边形，再证一组邻边相等；四条边都相等的四边形是菱形.性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质正方形剧宀证平行四边形矩形正方形判疋证平行四边形菱形正方形梯形：s=-（上底 下底）高=中位线 高2面积求法平行四边形：

15、5=底高 矩形：S长宽菱形：5=底 高=对角线乘积的一半 正方形：S边长 边长= 对角线乘积的一半点在圆外:d>r点与圆的三种位置关J点在圆上:d=r点在圆内:dvr弓形计算：（弦、弦心距、半径、拱高）之间的关系圆的轴对称性垂径定理定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分线所对的弧五组量的关系在同圆或等圆中'两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、 两条弦心距中有一组量相等，贝y其余的各组两也分别同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；圆的中心对称性圆周角与圆心角半圆（或直径）所对的圆周角是90°的圆周角所对的弦是

16、直径，所对的弧是半圆相交线定理：圆中两A苕、CD相交于点，贝pAgA PCPD. 圆中两条平行弦所夹的弧相等d>rd=r（距离法）dvr相离 直线和圆的三种位置关J相切相交 團的切线性质：圆的切线垂直过切点的直径（或半径）直线和圆的位置关系'"判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线弦切角：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角切线长定理：如图PA=PB PO平分4APB 切割线定理：如图pA2 PCPD.外心与内心：相离：外离d>R+r，内含dvR-r）圆和圆的位置关系相切：外切d=R+），内切d=R-i）相交：R-rvdvR+）弧长公式：弧长n2 r360

17、n180圆的有关计算扇形面积公式：爲2l弧长r圆锥的侧面积：侧1 2 r lrl（r为底面圆的半径|为母线）圆锥的全面积：全r2 rl第五部分图形的变化知识点 轴对称指两个图形之间的关系，它们全等轴对称（折叠）轴对称 对应点的连线段被对称轴垂直平分 对应线段所在的直线相交于对称轴上一点（或平行） 图形折叠后常用勾股定理求线段长轴对称图形 指一个图形 轴对称图形被对称轴分成的两部分全等平移前后两个图形全等平 移 平移前后对应点的连线段相等且平行（或共线）移平移前后的对应角相等，对应线段相等且平行（或共线）平移的两个要素：平移方向、平移距离 旋转前后的两个图形全等 旋转前后对应点与旋转中心的连线段

18、相等，且它们的夹角等于旋转角 旋转 旋转前后对应角相等，对应线段相等 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角视图的画法大线比线要适中视图与投影投影平行投影：平行光线下的投影，物体平行影子平行或共线 中心投影：点光源射出的光线下的投影，影子不平行 视点、视线、盲区图形的变化基本性质:acad bebd比例的性质 合比性质:acabedbdbd等比性质:acm ,a b .k.m k，(条件b d .n工0)bdnb d .n投影的计算：画好图形，相似三角形性质的应用黄金分割：线段AB被点C分成AC、BC两线段（AC>BC），满足AC2=BCgB，贝9点C为AB的一个黄金分割点相似形性质：相似多边形的对应边成比例、对应角相等判定：全部的对应边成比例、对应角相等对应角相等、对应边成比例性质 对应线段（中线、高、角平分线、周长）的比等于相似比面积的比等于相似比的平方相似图形有两个角相等的两个三角形相似相似三角形判定 两边对应成比例且夹角相等的两个