利用导数研究方程的根和函数的零点(同名4227)

1、无 利用导数研究方程的根和函数的零点利用导数研究方程的根和函数的零点 5 （本小题满分 12 分） 已知函数321( ),3f xxaxbx且( 1)0f （I）试用含a的代数式表示b； （）求( )f x的单调区间；w.w.w .k.s. 5. u.c. o.m （）令1a ，设函数( )f x在1212,()x x xx处取得极值，记点1122( ,( ),(,()M xf xN xf x，证明：线段MN与曲线( )f x存在异于M、N的公共点； 5. 解法一： （I）依题意，得2( )2fxxaxb 由( 1)1 20fab 得21ba （）由（I）得321( )(21)3f xxaxa

2、x（ 故2( )221(1)(21)fxxaxaxxa 令*( )0fx ，则1x 或1 2xa 当1a 时，1 21a 当x变化时，( )fx与( )f x的变化情况如下表： x (,1 2 )a ( 2 , 1)a ( 1) ( )fx + + ( )f x 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数( )f x的单调增区间为(,1 2 )a和( 1,) ，单调减区间为(1 2 , 1)a 由1a 时，1 21a ，此时，( )0fx 恒成立，且仅在1x 处( )0fx ，故函数( )f x的单调区间为 R 当1a 时，1 21a ，同理可得函数( )f x的单调增区间为(, 1) 和(1

3、 2 ,)a，单调减区间为( 1,1 2 )a 综上： 当1a 时， 函数( )f x的单调增区间为(,1 2 )a和( 1,) ， 单调减区间为(1 2 , 1)a； 当1a 时，函数( )f x的单调增区间为 R； 当1a 时，函数( )f x的单调增区间为(, 1) 和(1 2 ,)a，单调减区间为( 1,1 2 )a （）当1a 时，得321( )33f xxxx 由3( )230fxxx，得121,3xx 由（）得( )f x的单调增区间为(, 1) 和(3,)，单调减区间为( 1,3) 所以函数( )f x在121.3xx 处取得极值。 故5( 1, ). (3, 9)3MN 所以

4、直线MN的方程为813yx 无 由22133813yxxxyx 得32330 xxx w. w.w. k.s .5.u.c. o.m 令32( )33F xxxx 易得(0)30,(2)30FF ， 而( )F x的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线， 故( )F x在(0,2)内存在零点0 x，这表明线段MN与曲线( )f x有异于,M N的公共点 解法二： （I）同解法一 （）同解法一。 （）当1a 时，得321( )33f xxxxx，由2( )230fxxx，得121,3xx 由 （） 得( )f x的单调增区间为(, 1) 和(3,)， 单调减区间为( 1,3)， 所以函数( )

5、f x在121,3xx 处取得极值， 故5( 1, ),(3, 9)3MN 所以直线MN的方程为813yx w. w.w. k.s .5.u.c. o.m 由32133813yxxxyx 得32330 xxx 解得1231,1.3xxx 1233121135119,33xxxyyy 所以线段MN与曲线( )f x有异于,M N的公共点11(1,)3 w. w.w .k.s.5.u.c. o.m 14（本小题满分 12 分） 设函数329( )62f xxxxa （1）对于任意实数x，( )fxm恒成立，求m的最大值； （2）若方程( )0f x 有且仅有一个实根，求a的取值范围 14. 解：(

6、1) 2( )3963(1)(2)fxxxxx, 因为(,)x ,( )fxm, 即 239(6)0 xxm恒成立, 所以 81 12(6)0m , 得34m ，即m的最大值为34 (2) 因为 当1x 时, ( )0fx ;当12x时, ( )0fx ;当2x 时, ( )0fx ; 所以 当1x 时,( )f x取极大值 5(1)2fa; 当2x 时,( )f x取极小值 (2)2fa; 故当(2)0f 或(1)0f时, 方程( )0f x 仅有一个实根. 解得 2a 或无 52a . 23 （本小题满分 12 分）已知函数3( )31,0f xxaxa 求( )f x的单调区间； 若(

7、)f x在1x 处取得极值，直线 y=m与( )yf x的图象有三个不同的交点，求 m的取值范围。 23. 解析： （1）22( )333(),fxxaxa 当0a 时，对xR，有( )0,fx 当0a 时，( )f x的单调增区间为(,) 当0a 时，由( )0fx 解得xa 或xa； 由( )0fx 解得axa， 当0a 时，( )f x的单调增区间为(,),(,)aa ；( )f x的单调减区间为(,)aa。 （2）因为( )f x在1x 处取得极大值， 所以2( 1)3 ( 1)30,1.faa 所以32( )31,( )33,f xxxfxx 由( )0fx 解得121,1xx 。

8、由（1）中( )f x的单调性可知，( )f x在1x 处取得极大值( 1)1f ， 在1x 处取得极小值(1)3f 。 因为直线ym与函数( )yf x的图象有三个不同的交点，又( 3)193f ，(3)171f， 结合( )f x的单调性可知，m的取值范围是( 3,1)。 12 （20102010 年高考年高考湖北卷文科湖北卷文科 2121） （本小题满分 14 分） 设函数321axxbxc32f（x）=，其中 a0，曲线xyf （ ）在点 P（0，0f （ ）处的切线方程为 y=1 （）确定 b、c 的值 （）设曲线xyf （ ）在点（11xxf，（ ）及（22xxf，（ ）处的切线都

9、过点（0,2）证明：当12xx时，12()()fxfx （）若过点（0,2）可作曲线xyf （ ）的三条不同切线，求 a 的取值范围。 无 （11 天津文）天津文）19 （本小题满分 14 分）已知函数322( )4361,f xxtxt xtxR ，其中tR （）当1t 时，求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程； （）当0t 时，求( )f x的单调区间； （）证明：对任意的(0,),( )tf x在区间(0,1)内均存在零点 （19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分

10、14 分。 （）解：当1t 时，322( )436 ,(0)0,( )1266f xxxx ffxxx (0)6.f 所以曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为6 .yx （）解：22( )1266fxxtxt，令( )0fx，解得.2txtx 或 因为0t ，以下分两种情况讨论： （1）若0,2tttx 则当变化时，( ),( )fxf x的变化情况如下表： x ,2t ,2tt , t ( )fx + - + 无 ( )f x 所以，( )f x的单调递增区间是,;( )2ttf x 的单调递减区间是,2tt。 （2）若0,2ttt 则，当x变化时，( ),( )fxf x的变

11、化情况如下表： x ,t ,2tt ,2t ( )fx + - + ( )f x 所以，( )f x的单调递增区间是,;( )2ttf x 的单调递减区间是,.2tt （）证明：由（）可知，当0t 时，( )f x在0,2t内的单调递减，在,2t内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22tt即时，( )f x在（0，1）内单调递减， 2(0)10,(1)643644230.ftftt 所以对任意2,),( )tf x在区间（0，1）内均存在零点。 （2）当01,022tt即时，( )f x在0,2t内单调递减，在,12t内单调递增，若33177(0,1,10.244tfttt 2(1)

12、643643230.fttttt 所以( ),12tf x在内存在零点。 若3377(1,2),110.244ttfttt (0)10ft 无 所以( )0,2tf x在内存在零点。 所以，对任意(0,2),( )tf x在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意(0,),( )tf x在区间（0，1）内均存在零点。 10.（1616 分）分）若函数)(xfy 在0 xx 处取得极大值或极小值，则称0 x为函数)(xfy 的极值点。 已知ab，是实数，1 和1是函数32( )f xxaxbx的两个极值点 （1）求a和b的值； （2）设函数( )g x的导函数( )( )2g xf x，求(

13、)g x的极值点； （3）设( )( ( )h xf f xc，其中 22c ，求函数( )yh x的零点个数 【答案】【答案】解： （1）由32( )f xxaxbx，得2( )32f xxaxb。 1 和1是函数32( )f xxaxbx的两个极值点， (1)32=0fab，( 1)32=0fab，解得=3ab 0，。 （2） 由（1）得，3( )3f xxx ， 23( )( )2=32=12g xf xxxxx，解得123=1=2xxx，。 当2x时，( )0g x ；当21 x， =2x是( )g x的极值点。 当21 x时，( )0g x ， =1x不是( )g x的极值点。 (

14、)g x的极值点是2。 （3）令( )=f xt，则( )( )h xf tc。 先讨论关于x 的方程( )=f xd 根的情况：2, 2d 当=2d时，由（2 ）可知，( )=2f x的两个不同的根为 I 和一 2 ，注意到( )f x是奇函数，( )=2f x的两个不同的根为一和 2。 当2d ，(1)= ( 2)=20fd fdd ，于是( )f x是单调增函数，从而( )(2)=2f x f。 此时( )=f xd在2 ，无实根。 当1 2x ，时( )0f x ，于是( )f x是单调增函数。 又(1)0fd ，= ( )y f xd的图象不间断， ( )=f xd 在（1 , 2

15、）内有唯一实根。 同理，( )=f xd在（一 2 ，一 I ）内有唯一实根。 当1 1x ，时，( )0f x ， (1)0fd ，= ( )y f xd的图象不间断， ( )=f xd在（一 1，1 ）内有唯一实根。 因此，当=2d时，( )=f xd有两个不同的根12xx，满足12=1 =2xx，；当2d 时 ( )=f xd有三个不同的根315xxx， ，满足2 =3, 4, 5ix i，。 现考虑函数( )yh x的零点： ( i ）当=2c时，( )=f tc有两个根12tt，满足12=2tt1，。 而1( )=f xt有三个不同的根，2( )=f xt有两个不同的根，故( )yh

16、 x有 5 个零点。 ( 11 ）当2c 时，( )=f tc有三个不同的根345ttt， ，满足2 =3, 4, 5it i，。 而 =3,( ) 4, = 5if xti有三个不同的根，故( )yh x有 9 个零点。 综上所述， 当=2c时， 函数( )yh x有5 个零点； 当2c 时， 函数( )yh x有 9 个零点。 【考点】【考点】函数的概念和性质，导数的应用。 【解析】【解析】 （1）求出)(xfy 的导数，根据 1 和1是函数)(xfy 的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得，3( )3f xxx，求出( )g x，令( )=0g x，求解讨论即可。 （3）比

17、较复杂，先分=2d和2d 讨论关于x 的方程( )=f xd 根的情况；再考无 虑函数( )yh x的零点。 13.（本小题满分 14 分） 已知函数3( )sin(),2f xaxxaR且在, 0,2上的最大值为32， （1）求函数 f(x)的解析式； (2)判断函数 f(x)在（0，）内的零点个数，并加以证明。 考点：考点：导数，函数与方程。 难度：难度：难。 分析：分析：本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。 解答：解答： （I）33( )sin22f xaxx在2, 0上恒成立，且能取到等号 ( )sin2g xxxa在2, 0上恒成立，且能取到等号 ma

18、x( )2g xa ( )sincos0( )g xxxxyg x在2, 0上单调递增 ()1222gaa3( )sin2f xxx（lfxlby） （II）3( )sin( )( )sincos2f xxxh xfxxxx 当x2, 0时，( )0( )fxyf x在(0,2上单调递增 33(0) ()0( )222ffyf x 在(0,2上有唯一零点 当x, 2时，( )2cossin0( )h xxxxfx当x, 2上单调递减 2( ) ()022ff 存在唯一0(, )2x使0()0fx 00( )0,( )02fxxxfxxx 得：( )f x在0,)2x上单调递增，0(, x上单调

19、递减 3()0,( )022ff 得：x0,2x时，( )0f x ， x0, x时，0() ( )0f xf，( )yf x在0, x上有唯一零点 无 由得：函数)(xf在), 0(内有两个零点。 1已知函数( )e ,xf xxR. () 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; () 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112yxx有唯一公共点. () 设ab, 比较2abf与( )( )f bf aba的大小, 并说明理由. 【答案】解:() f (x)的反函数xxgln)(,则 y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g. 1(1)gx1(x)gk.过点(

20、1,0)的切线方程为:y = x+ 1 () 证明曲线 y=f(x)与曲线1212xxy有唯一公共点,过程如下. 则令, 121121)()(22Rxxxexxxfxhx 0)0( ,0)0( 0)0(, 1)( )( , 1)( hhhexhxhxexhxx，且的导数此,单调递增时当单调递减时当)( 0)( 0;)( 0)( 0 xhyxhxxhyxhx0)(, 0)0( )( xRxhyhxhy个零点上单调递增，最多有一在所以 所以,曲线 y=f(x)与曲线1212xxy只有唯一公共点(0,1).(证毕) () 设)(2)()2()()2()()(2)()(abbfabafababafbf

21、bfaf aabbaeabeabababeabeab)(2)2()2()(2)2()2( 令xxxexexxgxexxxg) 1(1)21 (1)( , 0,)2(2)(则. ）上单调递增，在（的导函数0)( 所以, 0) 11 ()( )( xgexexxgxgxx,且, 0)0(,), 0()(0)( . 0)0( gxgxgg而上单调递增在，因此 0)(), 0(xg上所以在. 无 ,0)2(2)(0baexxxgxx且时，当 0)(2)2()2(aabeabeabab 所以abafbfbfaf)()(2)()(,b421bbb , (0)1fb , 所以存在1( 2 ,0)xb ,2(

22、0,2 )xb,使得12( )()f xf xb. 由于函数( )f x在区间(,0)和(0,)上均单调,所以当1b 时曲线( )yf x与直线yb有且只有两个不同交点. 无 综上可知,如果曲线( )yf x与直线yb有且只有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,). 已知函数( )1xaf xxe (aR,e为自然对数的底数). (1)若曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线平行于x轴,求a的值; (2)求函数( )f x的极值; (3)当1a 的值时,若直线:1l ykx与曲线( )yf x没有公共点,求k的最大值. 【答案】解:()由 1xaf xxe ,得 1xafxe . 又曲线 yf x在点 1,1f处的切线平行于x轴, 得 10f ,即10ae,解得ae. () 1xafxe , 当0a 时, 0fx, f x为, 上的增函数,所以函数 f