椭圆及其标准方程

1、编辑ppt天体的运行天体的运行编辑ppt如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的椭椭圆圆一一椭圆的画法椭圆的画法编辑pptF1F2编辑ppt一、椭圆的定义：一、椭圆的定义： 平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆，这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的焦点椭圆的焦点，两焦点的距离叫做两焦点的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距.问题问题1：当常数等于当常数等于|F1F2|时时，点，点M的轨迹的轨迹 是什么？是什么？

2、问题问题2：当常数小于当常数小于|F1F2|时时，点，点M的轨迹的轨迹 是什么？是什么？线段线段F1F2轨迹不存在轨迹不存在编辑ppt1、椭圆的定义：、椭圆的定义： 平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离之的距离之和和等于等于常常数数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。 这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离，两焦点间的距离叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距。1F2FM几点说明：几点说明：1、F1、F2是是两个不同的定点两个不同的定点；2、M是椭圆上任意一点是椭圆上任意一点，且，且|MF|MF1 1| + |MF| + |MF2 2|

3、 = | = 常数常数；3、通常这个通常这个常数常数记为记为2a，焦距焦距记为记为2c，且，且2a2c（？）；（？）；4、如果如果2a = 2c，则，则M点的点的轨迹是线段轨迹是线段F1F2.5、如果如果2a 2c)的动的动点点M的轨迹方程。的轨迹方程。 解：以解：以F1F2所在直线为所在直线为X轴，轴， F1F2 的中的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y) 设设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，为所求轨迹上的任意一点，则则:|MF1|+ |MF2|=2aaycxy

4、cx2)()(:2222即编辑pptOXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)两边平方得：两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为因为2a2c，即，即ac，所以，所以a2-c20，令，令a2-c2=b2，其中，其中b0，代入上式可得：，代入上式可得：12222byax2222)(2)(ycxaycx所以2222222)()(44)( :ycxycxaaycx两边平方得222)(:ycxacxa即b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以两边同时除以a2b2得：得：(ab0)这个方程叫做这个方

5、程叫做椭圆的标准方程，椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的它所表示的椭圆的焦点在焦点在x 轴上。轴上。编辑pptaA1yOF1F2xB2B1A2cb三、三、椭圆方程的几何意义：椭圆方程的几何意义：xyo1F2F0 12222babyax编辑ppt如果椭圆的如果椭圆的焦点在焦点在y轴上轴上，焦点是焦点是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎样呢？方程是怎样呢？椭圆的第二种形式椭圆的第二种形式：1oFyx2FM0 12222babxay编辑ppt0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)在轴上在轴上F(0(0，c) )在轴上在轴上a,b,

6、c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义12yoFFMx1oFyx2FM四、两类标准方程的对照表：注注: :哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！编辑pptOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（3）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数

7、a、b、c满足满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的的值。值。（2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在哪的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上。一个轴上。编辑ppt例例 写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在，焦点在 x 轴轴上上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；，焦点在坐标轴上； 11622 yx11622yx11622yx或、编辑ppt例例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)

8、两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-4，0）、（）、（4，0），）， 椭圆上一点椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。(2)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-2，0）、（）、（2，0），）， 且椭圆经过点且椭圆经过点P 。)23,25(编辑ppt(1)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-4，0）、（）、（4，0），椭），椭圆上一点圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程轴上，所以可设它的方程 为：为：)0(12222babyax2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=

9、a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：192522yx编辑ppt(2)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-2，0）、（）、（2，0），且），且 椭圆经过点椭圆经过点P 。解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：轴上，所以可设它的方程为：)0(12222babyax由椭圆的定义可知：又因又因 c=2，所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：1 16 6y y1 10 0 x x2 22 2)23,25(102)23()225()23()225(22222a1 10 0所所以以a a 故故 b2=a2-c2=10-22=6编辑p

10、pt课堂练习2：11625)1(22yx11)5(2222mymx11616)3(22yx0225259)4(22yx123)2(22yx11624)6(22kykx1.口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？22,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?编辑ppt1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件的的m的取值范围：的取值范围： 表示一个圆；表示一个圆；1m16ym25x2229 mmmmm1625016025析：方程表示圆需要满足的条件：析：方程表示圆需要满足的条件：编辑ppt1、方程

11、、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件的的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；表示一个圆；表示一个椭圆表示一个椭圆；1m16ym25x2229)1(m292516mm且mmmm1625016025析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：编辑ppt1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件的的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；表示一个圆；表示一个椭圆表示一个椭圆；1m16ym25x2229)1(m292516mm且mmmm1625016025析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：编辑p

12、pt1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件的的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；表示一个圆；表示一个椭圆；表示一个椭圆；表示焦点在表示焦点在x轴上的椭圆。轴上的椭圆。1m16ym25x2229)1(m292516)2(mm且2916m析：表示焦点在析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：轴上的椭圆需要满足的条件：mmmm1625016025编辑ppt_,1A22轴上的充要条件是表示焦点在表示椭圆的充要条件是思考：方程yByx解题感悟：解题感悟： 方程表示椭圆时要看清楚限方程表示椭圆时要看清楚限制条件，焦点在哪个轴上。制条件，焦点在哪个轴上。0, 0, 0BABA

13、BA编辑ppt练习练习3：若方程：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在表示的曲线是焦点在y轴轴上的椭圆，求上的椭圆，求k的取值范围。的取值范围。1141142222kyxkyx得解：由方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆41k1解之得：0k4k的取值范围为0k|BC|,点点A的轨迹是以的轨迹是以B C为焦点的椭为焦点的椭圆圆(除去与除去与x轴的交点轴的交点).且且2a=12,2c=8,及及a2=b2+c2得得a2=36,b2=20.故点故点A的轨迹方程是的轨迹方程是 (y0).2213620 xy例例4:已知已知ABC的一边的一边BC长为长为8,周长为周长为20,求顶点求顶点A的的轨迹方程

14、轨迹方程.解解:以以BC边所在直线为边所在直线为x轴轴,BC中点为原点中点为原点,建立如右图所示建立如右图所示的直角坐标系的直角坐标系,则则B C两点的坐标分别为两点的坐标分别为(-4,0) (4,0).定义法定义法编辑ppt练习：已知A(1,0),B(1,0)，线段CA、AB、CB的长成等差数列，则点C的轨迹方程是_.x2/4+y2/3=1编辑ppt椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程(2)编辑ppt2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的

15、和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO复习旧知编辑ppt 例1求焦点在坐标轴上，且经过两点 的椭圆的标准方程。) 1 , 32(),2, 3(BAx2/15+y2/5=1分析一：当焦点在x轴上时，设方程x2/a2+y2/b2=1 当焦点在x轴上时，设方程x2/b2+y2/a2=1分析二：设方程mx2+ny2=1(m0,n0)编辑ppt

16、(2)求与椭圆x2/5y2/41有公共焦点，且过点(3,0)的椭圆的标准方程。 x2/9y2/81 (3)已知椭圆x22y2a2(a0)的左焦点到直线l：xy20的距离为 ，求椭圆方程。 x2/8y2/412211222222cmymxymycmxx轴上可以设方程为若知椭圆的焦点在轴上可以设方程为若知椭圆的焦点在编辑ppt 例例2、在圆上任取一点、在圆上任取一点P，过点，过点P作作x轴轴的垂线段的垂线段PD,D为垂足。当点为垂足。当点P在圆上运动时，线在圆上运动时，线段段PD的中点的中点M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？422 yxoxyPD相关点法相关点法(转移法转移法):即利用

17、中间变量求曲线方程即利用中间变量求曲线方程.编辑ppt的轨迹。求点上，并且在点垂线段轴作向从这个圆上任意一点变式：已知圆MMPPMPPMPPxPyx, 2, 922yxoPPM2219xy编辑pptP的最大值）（的面积）三角形（求若是两个焦点上的一点，是椭圆：例212102121222160,1641003PFPFPFFPFFFFyxP编辑ppt100100)2(22010)2(3364sin2132561443201443)(1441260cos2-) 1 (2021212212121212121212121221221212221202122212121的最大值为”成立时“当且仅当，又中由

18、余弦定理知在，解：由椭圆定义知PFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFaPFFPFPFSPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFFPFPF2tan1221PFFbPFFS焦点三角形面积公式：编辑ppt的最大值。）求（面积，求）若（椭圆上任一点。是的两个焦点，是椭圆、已知的周长。构成与椭圆的另一个焦点、两点，求、的直线与椭圆交于的一个焦点、过椭圆练习211212221,22122PFPF2PFF6PFF1P, 164100FF2ABFFBABAF141;yxyx编辑ppt的轨迹方程。，求点之积是，且他们的斜率相交于点直线），的坐标分别为（、：如图，设例M94-MBMAM,).