2020届江苏省南京市高三下学期5月模拟考试数学试题(解析版)

1、第1页共 20 页2020 届江苏省南京市高三下学期5 月模拟考试数学试题一、填空题1.设集合 M = m| 3vmv2, m Z, N= R,贝UMAN=_.【答案】 - 2,- 1, 0, 1【解析】可以求出集合 M，然后进行交集的运算即可.【详解】 M= - 2, - 1, 0, 1, N = R, MAN =-2,-1,0,1.故答案为： - 2,- 1, 0, 1.【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.2复数 z 复平面上对应的点位于第 _象限.1i【答案】一【解析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实

2、数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所i 1 i 1 i 11.|,1 i 1 i 2221 1复数对应的点的坐标是（ ，一）22复数丄在复平面内对应的点位于第一象限，1 i故答案为：一【点睛】本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，考查了复数的四则运算，属于简单题.3 某次测验，将 20 名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为 90, 6; 80, 4 .则这 20 名学生成绩的方差为 _ .在的象限.【详解】复数丄1 i第2页共 20 页【答案】51【解析】 由方差定义可得 n 个数与其平均数，方差间关系 x2x；Lx2nS

3、+nX2,利用此关 系可结合条件把 20 个数据中的前 10 个数，后 10 个数分别找出其平方和，及平均数， 进而求出 20 名学生成绩的方差.【详解】设 X1 ,X2Xn的方差 S21 -2-_(X1x)2+( X2Xn)+( XnX )1222-X1X2LXn2xn(X1+X2+-2+ Xn)+nx122 2X1+x2LxnnnX2/x1x；LX：n S2+ nX2,222222则 XiX2LX1010 36+10 902= 81360,X12LX2010 X16+10 802=64160,x1x2Lx2010 90 10 8085.2020S2 x；x2LX2020 x21281360

4、+64160 - 20 852 = 51,2020故答案是：51.【点评】本题依托平均数，方差，标准差的定义关系，考查学生的数据处理能力和计算能力，属 于中低档题.4 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为_日尸1第3页共 20 页【答案】8【解析】根据程序框图进行模拟运算即可.【详解】第 1 次循环：k= 0, S= 1;第 2 次循环：S= 1X21= 2, k= 2;第 3 次循环：S= 2X22= 8, k= 3;此时不满足循环条件 kv3,输出 S= &故答案为：8.【点睛】本题主要考查了程序框图的识别和判断问题，根据条件模拟运算是解题的关键，考查了计算能力，属于简单题.5.

5、抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1 , 2, 3, 4 的正四面体，记底面上的数字分别为x,y，则x-为整数的概率是y1【答案】丄2【解析】总数为4 4x16,为整数有(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(4,2),(3,3),(4,4)y共 8 个，所以概率是_8_11626. (2014?中山市校级三模)函数 f (x) = ( x - 3) ex的单调递增区间是 _.【答案】(2, +1【解析】试题分析：首先对 f (x) = (x - 3) ex求导，可得 f( x) = (x - 2)e，令 f(x) 0,解可得答案.解：f(x)=(x-3)ex+(x-

6、3) (ex)=(x-2)ex，令 f(x)0,解得 x2.故答案为：(2, +s).【考点】利用导数研究函数的单调性.1的离心率为-，那么此双曲线的准线方程为m 537 .已知双曲线【答案】y928第4页共 20 页【解析】第5页共 20 页41的离心率为一，求出 a, c,再求出双曲线的准线方程.3【详解】双曲线的准线方程为y【点睛】本题考查双曲线的准线方程，考查离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.48 .已知正四棱锥P ABCD的体积为一，底面边长为2，则侧棱PA的长为_3【答案】,3【解析】 先设底面正方形ABCD的中心为0，根据题意得到OA,2，再由1Vp ABCDPOS

7、ABCD求出PO，结合勾股定理即可得出结果 3【详解】设底面正方形ABCD的中心为0，又底面边长为 2 可得0A2PA .PO2AO23【点睛】 本题主要考查棱锥的结构特征，熟记棱锥的结构特征及体积公式即可，属于基础题型利用双曲线x2双曲线m 31的离心率为( m-3) (m+5)v0,a- 5vmv3,m 53 m43，169故答案为：y9.28由Vp ABCD；P0SABCD3-1PO 22PO 1第6页共 20 页9.已知函数f(x) sin( x周期为_.-)(02),若f (丁)i,则函数y f(x)的最小正【答案】 4【解析】 【详解】试题分析：2 2 f () sin()i，所以

8、2336-2k-,(kZ)，由此可得：36 23k1-(k Z)，又因为02,所以令k0得i-,所以函数y f (x)的22最小正周期2T4.【考点】 三角函数的性质.10 .已知等差数列an满足：ai=- 8, a2=- 6.若将 ai,a4, a5都加上同一个数m,所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为_【答案】-1【解析】由题意可得公差 d= a2- ai= 2,从而 an= ai+ ( n- 1) d= 2n - 10,设所加的这个数为 x,2根据 心4x)(ai+x) (a5+x)，解出 x 的值.【详解】已知等差数列 an中，ai=- 8, a2=- 6, 公差d=a2ai= 2

9、,-an= ai+ (n - i) d= 2n- I0.将 ai, a4, a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，设所加的这个数为x,则有(a4x)(ai+x) (a5+x)，即卩(2+x)2=( - 8+x) (0+x)，解得 x=- i. 故答案为：-i.【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，求等差数列的通项公式，求得 解题的关键，属于中档题.II设函数 f=+ $和aW =的图象在炉轴左、右两侧靠近 轴的交点分别为 M、川，已知。为原点，则.a【答案】飞an= 2n - I0,是第7页共 20 页y = 3sin TTX+ 3) ) Siil( JX - y)-* V -

10、y) 【解析】试题分析：由y=sinx)得3丿 耳3，即sin(?rx + ) = 0，所以nx + = kutkE Z，即工=一；+ 比* E Z, 则M(-空吨-刍，所 以|_ _一15.3农8訂R T7N=_石飞+豊.(孕=飞；【考点】1 三角函数的恒等变换；2平面向量的数量积；12 .设 f (x)= asin2x+bcos2x (a, b R),若 f (x)的最大值为 J5，贝Ua+b 的取值范围为_ .【答案】,10,. 10 【解析】由条件利用辅助角公式、正弦函数的最值求得a2+b2= 5,再利用基本不等式求得(a+b)2 10 从而求得 a+b 的取值范围.【详解】 f(x)

11、=as in 2x+bcos2x肠 sin(2x+0) (a,bR),若 f (x)的最大值为.a2b25，二 a2+b2= 5,( a+b)2=a2+b2+2abW2(a2+b2) =10,-.10a+b，故 a+b 的取值范围为,10 ,10,故答案为：訂 0,10.【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题.13 .在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c,已知 b= 2，且 cos2B+cosB+cos(A - C )= 1,贝Ua+2c 的最小值为 _ .【答案】4、2【解析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数，结合正弦定理

12、以及基本不等式求解即可.【详解】解：由 cos2B+cosB+cos (A C) = 1? 1 2sin B+cosB+cosAcosC+sinAsinC= 1第8页共 20 页2? 1 - 2sin B - cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC= 1 ? sinAsinC = sin2B,由正弦定理得到 ac= b2,而a 2c2 .2ac 2b , 2，当且仅当a 2 . 2, c , 2等号成立由b=2,可得(a 2c)min4.2.故答案为：4 2-【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理基本不等式的应用，考查分析问题解决问题 的能力.14 .已

13、知正实数 x，y 满足 x+ + 3y + = 10，则 xy 的取值范围为即 253x 什詈 + 143(xy)2- 11xy+8W012,由此能求了轨迹 E 的方程.y kx m(2)法一：设直线 AB 的方程为 y= kx+m，由x22，得(1+2k2) x2+4kmx+2m2乙y 1-2= 0由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出 AOB 面积 S 的最大值.y kx m(2)法二：设直线 AB 的方程为 y= kx+m，由x22，得(1+2k2) x2+4kmx+2m2Ty 1-2= 0由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知

14、条件能求出1 2k10|30 k 115-1 k2,k2解得t 20k或t60k(舍),OA 20,又当AB/ON时，OA10、2,所以10.2 OA20；综上知，当10 2OA20时，即设计出入口A 离市中心 O 的距离在10 2km到 20kmL 及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态)D( 1，0)，点 P 在直线 DM 上,0，动点 N 的轨迹为曲线 E.(2)若AB 是曲线 E 的长为 2 的动弦，O 为坐标原点,求AOB 面积 S 的最大值.【答(1)7y2 1.(2)子【解之间时，才能使高架道路第13页共 20 页 AOB 面积 S 的最大值.【详解】2第14页共 20 页uuu

15、u uuuruuu uuuu(J解：因为DM 2DP,NP DM 0,所以 NP 为 DM 的垂直平分线，所以 |ND|=|NM|,又因为CN NM 2J2,所以CN ND 2j22所以动点 N 的轨迹是以点 C (- 1, 0), D (1 , 0 )为焦点的长轴为242的椭圆.2所以轨迹 E 的方程为y21.2(2)解法一：因为线段 AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、0、B 能构成三角形,则弦 AB 不能与 x 轴垂直，故可设直线 AB 的方程为 y= kx+m,y kx m，消去 y,并整理，得(11+2k2) x2+4 kmx+2 m2- 2 = 0.4km2 12，设 A (X

16、1, y1), B ( X2, y2),又厶=16k2m2- 4 (1+2k2)(2m2- 2) 0 ,x1x2 m211 2k22第15页共 20 页24km1 2k228 m 11 2k212因为1+k2i所以mv1.21因为S -AB hh,21 1所以 S2= h2= 2m2(1 - m2)2(m2_)2_L22则弦 AB 不能与 x 垂直，故可设直线 AB 的方程为 y = kx+m,y kx m，消去 y,并整理，得(11+2k2) x2+4 kmx+2 m2- 2 = 0.因为|AB|= 2,所以.1 k22 22，即1 k X2x) 4xx2设A(x1, y1), B (X2,

17、y2),又厶=16k2m2- 4 (1+2k2)(2m2- 2) 0 ,所以1 k2124，即2 1 m21 k又点 O 到直线 AB 的距离h所以0vS2-，即 S 的最大值为2(2)解法二：AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、0、B 能构成三角形,第16页共 20 页C2,所以x x4km 2 m 1所以X1/，为冷牙1 2k1 2k2因为 |AB= 2,所以.1 k2X2【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查了三角形面积的最大值的求法，解题时要注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用，要求较高的计算能力，本 题属于难题.19.设首项为 a1的正项数列 an 的前

18、 n 项和为 Sn, q 为非零常数， 已知对任意正整数 n , m , Sn+m=Sm+ qmSn总成立.(1) 求证：数列an是等比数列；(2)若不等的正整数 m, k, h 成等差数列，试比较 amm応hh与 ak2k的大小；1 1 2(3)若不等的正整数 m, k, h 成等比数列，试比较amah 与ak 的大小.amahak【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】(1)令 n =m=1,得a2= qa1,令 m= 1,得 Sn+1= S1+qSn(1),从而 Sn+2= S1+qSn+1两式相减即可得出 an+2= qan+1，进而可判断出数列an是等比数列(2)根据 m

19、, k, h 成等差数列，可知 m+h= 2k,进而可判定m2h21m h? 2k2,2进而根据等比数列的通项公式分q 大于、等于和小于 1 三种情况判断.因为k22x1x24x1x2所以k24km21 2k28 m21 2k2所以m22k212 1 k2，又点O 到直线 AB 的距离m-2，所以SAB hh所以S2= h22m1 k22k212 1 k2 2所以11 k2，则S2-t2t Ovt 1,2OvS21，即 S 的最大值为2第17页共 20 页(3)正整数 m, k, h 成等比数列，则 m?i = k2,判断出 丄m-，进而根k据等差根据等比数列的通项公式分ai和 q 大于、等于

20、和小于1 三种情况判断.【详解】(1)证：因为对任意正整数n,m,Si+m= Sm+qmSn总成立,令 n= m= 1,得 S2= S1+qS1，则a2= qai令m=1,得 Si+1= Sl+qSn( 1 ),从而 Sn+2= S1+qSn+1(2),(2) ()得an+2=qan+1, (n1综上得an+1= qan(n1),所以数列an是等比数列(2)正整数 m, k, h 成等差数列,则 m+h = 2k,所以m2212h2(m h)2k2当当当(3)所以当当当ma1q = 1 时,q 1 时,m2m h h2q cqh 2k m2h2m h4 qamm?ahh= a12k= ak2k

21、mamhah2kam2h2qm h 2 k 2k2a1q2k(討1)2k2kak0vqv1 时,正整数1 1aS；aha1= q,a1 q,a1vq,【点睛】mam2k m2a1qh22k22k(討m, k, h 成等比数列,1(a1qm 1)m(a1qh1m?i = k2,则一m1-2h1mh2akk1)2k1时,1am11a$1时,q彳v1时,1a1m1 2hq1h2ak1am丄am?1a$1a$1q2(Pq1 -q2L)1 1q2(色戶hq本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的性质,查了分类讨论思想和计算能力，属于难题.22/引卩 q2akk2akk考查了等比数列与不等式综合，考第18

22、页共 20 页已知函数二加 二:( e 是自然对数的底数).(1) 若曲线y f(x)在X 1处的切线也是抛物线y24(X 1)的切线，求a的值；(2) 若对于任意x R, f (x) 0恒成立，试确定实数a的取值范围；(3) 当a 1时，是否存在Xo(0,)，使曲线 C:y g(x) f(x)在点x Xo处的切线斜率与 f(x)在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的X。的个数；若不存在，请说明理由【答案】(1)a 1 e或a1 e；(2)a (e,0(3)相等，一个【解析】(1)求出,.,L-j-：在x 1的切线，与2y4(x 1)联立, 根据切线与抛物线只有一个交点，则0；(2)分a 0

23、，a0，a0根据导数讨论；(3)转化为函数的零点通过导数求解【详解】(1)f (x) exa,fe a，所以在x 1处的切线为y(e a) (e a)(x1)即：y (e a)x与y24(x 1)联立，消去y得(e a)2x24x40，由0知，a 1 e或a1 e(2)f (x) exa当a 0时，f (x)0, f (x)在R上单调递增，且当X时，ex0, axf (x)，故f (X)0不恒成立，所以a0不合题意；2当a 0时，f(x) ex0对x R恒成立，所以a 0符合题意;3当 a 0 时令f (x) exa 0，得x ln( a)，当x ( , ,ln( a)时，f (x) 0，当x

24、 (ln( a),)时，f (x)0，故 f(x)在(，ln( a)上是单调递减，在(ln( a),)上是单调递增所以f(x)minf (ln( a) a aln( a) 0,第19页共 20 页x1(X)o,故方程e (lnx 1)0有唯一解为 1,x所以存在符合条件的xo，且仅有一个x 1 .【点睛】本题考查导数的综合应用复杂方程的根问题：1、转化为函数的交点求解；2、转化为函数的零点求解21 设矩阵 A1 2，求矩阵 A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量.2 1=0,求得矩阵的特征值，代入求得特征向量.a e,又 a 0 ,a ( e,0),综上：a(e,0当a1时，由(2) 知f (x

25、)minf(ln( a)a aln( a) 1,设h(x)g(x) f (x)exIn xxe x,则h (x)xxe In x e1x彳e 1xexIn x11 1,x假设存在实数xo(0,),使曲线 C:yg(x) f (x)在点xX0处的切线斜率与在R上的最小值相等，x0即为方程的解，令h(x)1得：ex(lnX11)x0,因为ex0,所以Inx 1 1x0.x 12，x令(x)1In x1x,则(x)1 1 _ 2 xx当0 x1是(x)0，当x1时(x)0,所以(x)1 In x 1在(0,1)上单调递减, 在(1,)上单调递增，f(x)【答案】入1= 1,对应的一个特征向量为11，

26、匕丄，对应的一个特征向量为1131【解析】由矩阵 A,求得丨 A 丨及 A, A1A,求得 A1，由特征多项式 f (入)第20页共 20 页【详解】第21页共 20 页121 2丨 A 丨1 -4=_ 3,A2 12 112133A 的逆矩阵为A1-A1 A211421则特征多项式为 f（ =（入一）2於入，3933令 f （入）=01解得：入1=-1,肚1 3，12x33xx设特征向量为，则C3y21yy331可知特征值 入一=-一对应的一个特征向量为【点睛】本题考查求矩阵特征值及特征向量，考查逆矩阵的求法，考查计算能力，属于中档题.【答案】=2sin【解析】将曲线和直线的极坐标方程转化成

27、直角坐标方程，从而求得对称曲线的直角坐标方程，再转化成极坐标方程.【详解】以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线=2cos的直角坐标方程为（x 1）2y21，且圆心 C 为（1,0）.直线二一的直角坐标方程为yx,4因为圆心 C（1,0）关于y x的对称点为（0,1）,所以圆心 C 关于y x的对称曲线为x2（y 1）21.同理可得特征值心一，对应的一个特征向量为322 .在极坐标系中，求曲线=2cos关于直线（R）对第22页共 20 页所以曲线=2cos关于直线=一（R）对称的曲线的极坐标方程为=2sin.4【点睛】 本题考查极坐标方程与普通方程的互化问题，考查函数与方程思想、

28、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力23.若关于 x 的不等式 x2-ax+bv0 的解集为(1,2)，求函数 f(x) = (a- 1)、X3(b - 1)4 x的最大值.【答案】.5 .【解析】由题意可得 1, 2 是方程 x2- ax+b= 0 的两根，运用韦达定理可得a = 3, b= 2,即有 ffx)= 2、,门，运用柯西不等式即可得到所求最大值.【详解】关于 x 的不等式 x2- ax+bv0 的解集为f1, 2),可得 1, 2 是方程 x2- ax+b = 0 的两根，即有 1+2= a, 1X2= b,解得 a = 3, b = 2,则函数 f(x)= ( a- 1)、x3(b- 1).、4_x2._3 4_x,由 x-30,4-x0 可得 3$W4,由柯西不等式可得，(2 .x 3 . 4 x)22的值，再根据 P (X2 P (Y