暑期班第3讲.导数的应用和积分.理科.学生版

1、第三讲导数的应用和积分高考要求导数的应用和积分要求层次重难点导数的概念A导数概念及其几何意义了解导数概念的实际背景理解导数的几何意义导数的运算能根据导数定义，求函数（为常数）的导数能利用一些基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）生

2、活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题定积分与微积分基本定理了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念了解微积分基本定理的含义导数的几何意义B根据导数定义求函数，的导数A导数的四则运算C简单的复合函数（仅限于形如）的导数）B导数公式表B利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）C函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）C利用导数解决某些实际问题B定积分的概念A微积分基本定理A知识精讲板块一：导数与定积分的概念与运算（一） 知识内容1导数的概念函数的平均变化率：当时，称为函数在区间之间的平均变化率函数在一点处的导数：如果当时，趋近于一个常数，则称为函数在点的瞬时

3、变化率，也称为函数 在处的导数，记作即此时称在处是可导的导函数：若在内每一点都可导，则称在可导，此时构成的一个新的函数称为函数的导函数2导数的几何意义：曲线过点的切线的斜率等于3常见函数的导数公式：（为常数）； ； ； ； ； （，且）； ； （，且） 4两个函数的和、差、积、商的求导法则：法则1 法则2 法则3 复合函数的求导法则：5定积分定积分的概念：曲边梯形面积的极限，即和式的极限，这里分别叫做积分下限与积分上限，叫做积分区间，称为被积函数积分运算与求导运算互为逆运算微积分基本定理：，其中定积分求曲边梯形面积由三条直线，（），轴及一条曲线（）围成的曲边梯形的面积如果图形由曲线，（不妨设）

4、，及直线围成，那么所求图形的面积（二）典例分析： 【例1】 已知，则的值是（ ）A B C D（2008全国）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是（ ）（2007浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）【例2】 若，则_【例3】 已知函数在处可导，则_A B C D【例4】 （2008北京理）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；（用数字作答）【例5】 函数的导数为（ ）A B CD以上都不对已知曲线：及点，则过点可向引切线的条数为_【例6】 已知函数的图象在点处的切线方程为

5、，又点的横坐标为，则_【例7】 已知二次函数的图象经过原点、点和点（，且）求函数的解析式；设（），若，求证：在的条件下，若，则过原点与曲线相切的两条直线能否互相垂直？若能，请给出证明；若不能，请说明理由【例8】 计算下列定积分的值：；试用定积分表示由直线，及轴围成的平面图形的面积，并求积分的值【例9】 试用定积分表示由直线，及轴围成的平面图形的面积，并求积分的值【例10】 已知函数，则（ ）A BCD【例11】 （2008山东理）设函数若，则的值为_板块二：导数的应用（一） 知识内容利用导数判断单调性：如果函数在的某个开区间内，总有（），则在这个区间上是增（减）函数利用导数研究函数的极值与最值

6、：极值的定义：函数的定义域内的一点，如果对附近的所有点，都有（），则称函数在点处取极大值（极小值），记作（或），并把称为函数的一个极大（极小）值点，统称极值点求函数的极值的方法：先求方程的所有实数根，再考查每个根附近，导函数的符号是否变化，符号发生变化的对应的是极值点，否则不是求函数最大（小）值的方法：先求出函数在区间内的极值点，再比较极值与区间端点处的函数值，得到函数的最值（二）典例分析： 【例12】 若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（ ）A B C D函数的极大值为，极小值为，则的单调递减区间是【例13】 （2008新课标江苏）设函数（），若对于任意，都有成立，则实数的值为【例14】

7、 设函数，其中求证：当时，函数没有极值点；当时，求的极值求证：当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值【例15】 设函数，若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；证明：当时，没有极值若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于【例16】 （2005全国）已知函数，求的单调区间和值域；设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围【例17】 （2007浙江）设，对任意实数，记求函数的单调区间；求证：当时，对任意正实数成立有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立家庭作业习题 1. 若，则当无限趋近于时，_习题 2. 函数的导数是（ ）ABCD习题 3. （2007海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）ABCD习题 4. 若在上是增函数，则（ ）A BC D习题 5. （2007福建）设函数求的最小值；若对恒成立，求实数