椭圆的定义及几何性质

1、椭 圆【教学目标】（1）掌握椭圆的定义 （2）掌握椭圆的几何性质 （3）掌握求椭圆的标准方程【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题 （2）椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的

2、两种标准方程中，都有和；3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x换成x，或把y换成y，或把x、y同时换成x、y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|a，|y|b。（3）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆（ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆

3、的四个顶点，坐标分别为A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。因为ac0，所以e的取值范围是0e1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1），；（2），；（3）,，；知识

4、点四：椭圆与（ab0）的区别和联系标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，轴长轴长=，短轴长= 离心率准线方程焦半径，注意：椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有ab0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。二、考点分析考点一：椭圆的定义【例1】方程化简的结果是 。【例2】已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为（ ）A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线【变式训练】已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为 。考点二：求椭圆的标准方程【

5、例3】若椭圆经过点(5，1)，(3，2)则该椭圆的标准方程为 。【例4】的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹【例5】求以椭圆的焦点为焦点，且经过点的椭圆的标准方程【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为 。2、焦点在轴上，椭圆的标准方程为 。3、已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；4、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程考点三：利用标准方程确定参数【例6】若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是 .（2）表示焦点在x轴上

6、的椭圆，则实数k的取值范围是 .（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是 .【例7】椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 。【变式训练】1、椭圆的焦距为，则= 。2、椭圆的一个焦点是，那么 。考点四：离心率的有关问题一、求离心率1、用定义（求出a,c或找到c/a）求离心率（1）已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.则椭圆的离心率 。（2）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） （3）椭圆（ab0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若

7、|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_.（4）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线距离为1，则该椭圆的离心率为 。2、根据题设条件构造a、c的齐次式方程，解出e。（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. （2）在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为_.（3）设椭圆的两个焦点分别为F1.F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若三角形F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 。二）、求离

8、心率的范围（关键是建立离心率相关不等式）1、直接根据题意建立不等关系求解. （1）椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是 。（2）已知为椭圆的焦点，为椭圆短轴上的端点，求椭圆离心率的取值范围 。2、借助平面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立不等关系求解设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是 。3、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式）（1）椭圆（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则椭圆离心率的取值范围为 。（2）已知椭圆右顶

9、为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围 。（3）椭圆和圆（其中为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围 。考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用【例14】已知椭圆方程，长轴端点为，焦点为，是椭圆上一点，求：的面积（用、表示）分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积【变式训练】1、若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求的面积.2、已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 课后作业：一、选择题1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=25，则点P

10、的轨迹为( )A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线3已知方程表示椭圆，则k的取值范围是( ) A -1<k<1 B k>0 C k0 D k>1或k<-117、椭圆=1与椭圆=l(l>0)有（ ） (A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对18、椭圆与（0<k<9）的关系为（ ） (A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴二、填空题2、椭圆左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则CDF1的周长为_4、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为10，短轴长为6 (2)长轴是短轴

11、的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2) 5、若ABC顶点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，则ABC的重心G的轨迹方程为_6.椭圆的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。若F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_ _7、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_ _椭圆方程为 _.8已知椭圆的方程为，P点是椭圆上的点且,求的面积 9.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为 10.椭圆上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是 11已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则的周长 。13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为,那么这个椭圆的方程为 。14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭