极限练习总结

1、极限一、极限运算的法则若均存在，且分别等于a和b，则：二、无穷小量 1、性质： 若，则 均为无穷小量； 若f(x)为无穷大量，则为无穷小量；若f(x)为无穷小量，且f(x)0,则为无穷大量。2、比较（阶） ，称较高阶,记为=o(); ,称较低阶；，称与同阶；，称与等价，记作（求极限时会用到）。3、常用的等价无价小量 当x0时，有 sinxx, tanxx, ln(1+x)x, 1-cosx, ex-1x, 例1：已知当x0时，a(1-cosx)与xsinx是等价无穷小，则a = 2 . 解： 令，解得a=2 (06、7) 例2：已知当x0时，x2ln(1+x2)是sinnx的高阶无穷小，而si

2、nnx又是1-cosx的高阶无穷小，则n = 3 （07、2） 解：要使 要使 综上所述，得n = 3.三、两个重要极限 四、求极限的常用方法 1、极限存在的充要条件： 2、无穷小量与有界函数之积仍为无穷小量： 3、无穷小量的倒数为无穷大量，无穷大量的倒数为无穷小量； 4、用极限的四则运算法则； 5、利用两个重要极限。五、几种特殊类型的极限求法 （一）型 1、消去“零”因子法：如 又如 2、有理化：如 3、利用等价无穷小代换：如 （二）型 有理分式函数的分子、分母同除以分子分母中的最高次幂。如 （三）型 将其化为。如 又如 （四）型 通过通分化为。如 （五）型 利用重要极限例1 求解：原式，一

3、般地：0， m<n =例2 讨论的正确性。（错，数列，先求前n项的和，再求极限）解：原式例3 求（分子、分母同时有理化）解：原式例4 求的常数）解：原式例5 求 （cos-cos=-）解：原式例6 求解：原式 例7 求 （先化成部分分式）解：原式例8 求 （变量替换）解：令原式 例9 求 （用等价无穷小代换） 解：当x0时，sinxx 原式 例10 求 （用等价无穷小代换） 解：当x0时，-1 原式例11判断的正确性。 （错，加减运算不能用等价无穷小替换） 解：原式例12 求解：法一 原式 （提取公因子，用等价无穷小替换） 法二 原式 （添项后用等价无穷小替换）例13 求解：原式 例14

4、 求 （先通分，化成） 解：原式 例15 求 (n为正整数，x>0且x0) 解： （利用） 原式 例16 若，求c 解：左 ,由左=右，得： 3x+2, x0 x2+1, 0<x<1例17 设f(x)= ,求解： 例18 若，试求a,b (05、13)分母零因子解：因 所以例19 计算 （06、13）分子分母同时因式分解或有理化解：原式例20 已知解：设，则当x0时，u，代入已知极限得： 即例21 求极限 （08、13）利用两个重要极限解：原式连续一、 概念1、在x0处连续的定义：f(x)在x0邻域内有定义，且；或。 2、间断点的定义：f(x)在x0邻域内有定义(也可没有定义

5、)，若x0处不连续，称x0为间断点（一般是使函数无意义的点）。 3、间断点的分类：第一类：均存在，但不相等（又称跳跃间断点）；（又称可去间断点）； 第二类：至少有一个单侧极限不存。二、几个定理 1、最值定理：若f(x)在a,b上连续，则y=f(x)在a,b上一定有最大值与最小值。（证明不等式） 2、介值定理：若f(x)在a,b上连续，m与M是其在a,b区间上的最小值与最大值，且m<u<M,则在a,b上至少存在一点，使f()= u。 3、零点定理：若f(x)在a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则在（a,b）内至少存在一点，使f()= 0。（确定方程的根） 应用此定理需要注意以下

6、几点： 如何定义。区间的选择，在证明题，有明确的线索。 验证在闭区间上的连续性， 验证在两端的符号。 此定理不能确定是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证 在内的单调性（参见导数应用部分）三、分段函数在其分段点处的连续性x+1, x0 1、在分段点处的两侧的表达式不同，要分左右极限来讨论；ex , x>0 例1 讨论f(x)= 在x=0处的连续性。 解： 故f(x) 在x=0处的连续。 2、在分段点处的两侧的表达式相同，不必分左右极限来讨论（指数函数的某种情况除外）；1, x=0 x=0例2讨论f(x)= 在x=0处的连续性。解：故f(x) 在x=0处间断。3、在分段点的两侧的表达

7、式虽相同，但需分左右极限来讨论；0, x=1 x=0例3 讨论f(x)= 在x=1处的连续性。解：四、求间断点及判断类型 （依所给函数而定，不能化简） 例4 求的间断，并判断其类型。解：间断点：x=0,x=1,x=-1 在x=0处，故x=0为第一类间断点，且为可去间断点。 在x=1处，故x=1为第一类间断点，且为可去间断点。 在x=-1处，故x=-1为第二类间断点。例5 x=0是函数的（ A ） （05、1）A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、第二类间断点 D、连续点x+2a , x0例6 函数f(x)= ,若f(x)在x=0处连续，求a.（05B、8）解： f(0)=0+2a=2a ,故2a

8、=2 ,解得a = 1.例7 若且f(x)在x=x0处有定义，则当A= f(x0) 时f(x)在x0处连续。 （06、8）解：要使f(x)在x0处连续，必有，而f(x)在x=x0处有定义，即f(x0)存在，故只要A= f(x0)时，f(x)在x0处就连续。2 , x=0例8 设函数f(x)= 在点x=0处连续，求常数k.（07、7）解： 所以，k=ln2例9 函数的第一类间断点是 x=1 (08、7)例10 函数f(x)= 在x=0处连续，则a = 3 .（08、8）例11 证明方程至少有一个实根介于1和3之间。证：令，f(1)=-1.f(3)=27,由零值定理知在(1,3)内至少有一点，使f()=0,即方程至少有一个实根介于1和3之间。例12 设f(x)在0,2a上连续，且f(0)=f(2a)f(a),证明在0,a上至少存在一点,使f()=f(+a). 08、23） 证：令(x）=f(x)-f(x+a),则(x）在0,a上连续