正弦函数知识讲解

1、正弦函数、余弦函数的图像和性质【基础知识精讲】1.正弦函数、余弦函数图像的画法(1)描点法：按照列表、描点、连线的顺序可作出正弦函数、余弦函数图像的方法.(2)几何法：利用单位圆中的正弦线、余弦线来作出正弦函数、余弦函数图像的方法.(3)五点法：观察正弦函数图像可以看出，(0，0)，(，1)，(，0)，(，-1)，(2，0)这五个点在确定正弦函数图像形状时起着关键的作用.这五个点描出后，正弦函数y=sinx,x0，2的图像的形状就基本上确定了.(0，1)，(，0)，(，-1)，(，0)，(2，1)这五个点描出后，余弦函数y=cosx,x0，2的图像的形状就基本上确定了.在精确度要求不太高时，我

2、们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫做五点法.2.正、余弦函数的性质y=sinxy=cosx定义域RR值域-1,1-1,1奇偶性奇函数偶函数单调性在每个区间2k-，2k+上递增，在每个区间2k+,2k+上递减(kZ)在每个区间(2k-1),2k上递增，在每个区间2k,(2k+1)上递减(kZ)周期性22有界性当x=2k-(kZ),y最小=-1，当x=2k+(kZ)时，y最大=1当x=(2k+1)(kZ)时,y最小=-1，当x=2k(kZ)时，y最大=1(注：在单调性中，把函数说成在某象限是增函数或是减函数是不正确的).3.

3、周期函数三角函数的周期性，是角的终边位置周期性的变化的反映，这种周期性清晰地表现在三角函数的图像中，对于周期函数，只要掌握它在一个周期的性质(提供研究问题的方案：先解答一个周期上的问题，再按周期性推广)周期函数定义：设函数y=f(x)的定义域为D，若存在常数T0，使得对一切xD,且x+TD时，都有f(x+T)=f(x)成立，则称y=f(x)为D上的周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期。今后的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期，并不是所有的周期都存在最小正周期.【重点难点解析】(1)利用三角函数线可以

4、画出正弦函数、余弦函数的图像，此外，三角函数线还可用来三角函数值的大小比较，有关三角函数不等关系的证明.(2)一般地，我们常用“五点法”，画出正弦函数与余弦函数的图像.三角函数的性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等等，在其图像上都被充分地反映出来.因此，熟练掌握画三角函数图像的方法，用数形结合的方法解决有关三角函数问题是很重要的.(3)对于比较三角函数值，一般利用诱导公式将三角函数化成同名函数的同一单调区间去比较.例1(1)用“五点法”作出函数y=2+sinx在一个周期内的简图；(2)求函数的最大、最小值及取得最小、最小值时的x的集合；(3)求函数的周期.解：(1)x0234y232

5、12所作图像如图所示.(2)当sin=1时，ymax=3.即=2k+,x=4k+(kZ)时，ymax=3.当sin=-1,=2k-,x=4k-(kZ)时，ymin=1(3)T=4.评析：(1)用“五点法”作图，关键是找出函数在一个周期的五个关键点，用列表描点法画简图；(2)求函数的最值，需用正、余弦函数的值域-1,1.例2求下列函数的定义域：(1)f(x)=logsinx(1+2cosx)(2)f(x)=lg(sinx-cosx)分析：先转化为三角不等式，再利用单位圆或三角函数图像进行求解.解：(1)1+2cosx00sinx12kx2k+且x2k+(kZ).故f(x)定义域为(2k,2k+)

6、(2k+,2k+)(kZ).(2)sinx-cosx0,sinxcosx，作出y=sinx和y=cosx的图像，由图可知f(x)的定义域为(2k+,2k+).(kZ)例3求下列函数的值域(1)y=sin2x-3cosx;(2)y=(3)y=分析：转化为二次函数或利用sinx的有界性.解：(1)y=-cos2x-3cosx+1=-(cosx+)2+-1cosx1,-3y3.故函数值域为-3,3(2)ysinx+3y=2sinx-1,sinx=.sinx1,1,1+3y2-y.(1+3y)2(2-y)2,-y.故函数值域为-,.(3)2y+ycosx=sinx,sinx-ycosx=2ysin(x

7、-)=2y(tg=-)sin(x-)=,sin(x-)1,14y23+y2,-1y1.故函数值域为-1,1.例4下列函数中是奇函数的为()A.y=;B.y=;C.y=2cosx;D.y=lg(sinx+)解：lgsin(-x)+=lg(-sinx)=lg=lg(sinx+)-1=-lg(sinx+),又当xR时，均有sinx+0(为什么?)D为奇函数，应选D.说明：A、C为偶函数，而B无奇偶性.例5已知函数f(x)=logsinx-cosx,(1)求出它的定义域和值域；(2)判断它的奇偶性；(3)求出它的单调区间；(4)判断它的周期性.分析：本题是一道综合性的问题，需根据所给的函数的定义，全面

8、考察所给函数的性质.解：(1)函数f(x)的定义域由sinx-cosx0决定.即sin(x-)0,xk+(kZ).所以f(x)的定义域为xxR且，xk+,kZ.由于f(x)=logsinx-cosx=logsin(x-).f(x)的值域为-,+.(2)由于函数的定义域在数轴上关于原点不对称，故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.(3)函数f(x)=logu是单调递减函数，其中u=sinx-cosx=sin（x-）.由于函数u的单调递增区间是k+，k+(kZ),单调递减区间为k+,k+(kZ).因此函数f(x)=logsinx+cosx的单调递增区间是k+，k+(kZ),单调递减区间是k+,

9、k+(kZ).(4)f(x+)=logsin(x+)-cos(x+)=log-sinx-(-cosx)=logcosx-sinx=f(x)f(x)是周期函数，且是其一个周期.【难题巧解点拔】例1求函数y=+lg(2cosx+)的定义域.分析：求函数的定义域时，这里有两个限制条件、一是被开方式需非负；二是对数的真数要为正，因此要列出混合不等式组进行求解.解：要使函数有定义，就必须有：x=2k或2k+x2k+,kZ.故函数的定义域是xx=2k或2k+x2k+,kZ.说明：在得到了不等式组：之后，也可借助于图形(如图所示)来找角的公共范围，即不等式组的解，这样往往会使解法变得简便、直捷.例2(1)若

10、0，比较sin,sin(sin),sin(tan)的大小.(2)若0，比较cos,sin(cos),cos(sin)的大小.分析：(1)三个同名函数比较大小，可根据正弦函数的单调性，只须比较出三个角，sin,tan的大小，而由单位圆中的三角函数线可知，当0时，sintan.(2)三个对象其中的两个同名，其中两个同角，故可以两两比较，再作出最后的结果.解：(1)0，sintan(已证明过)且由单位圆中的正切线知，当0时，0tan10sintan1，而y=sinx,在x(0,1)单调递增sin(sin)sinsin(tan).(2)0时，0cos1sin(cos)cos,又当0时，sin,而sin

11、,均在(0，)里，且y=cosx在x(0,)单调递减，cos(sin)cossin(cos)coscos(sin)例3证明y=sinx的周期是2.证明：设y=sinx的最小正周期为l，则有sin(x+l)=sinx对一切x均成立，特别地，当x=0时，sinl=0,可见l=k(kZ),这说明，l=k是l为y=sinx最小正周期的必要条件.又因为最小正周期是周期中的最小正值，于是取k=1,2,3,，逐次将l=k代入sin(x+l)=sinx中检验.当l=时，因为sin(x+)=-sinxsinx(对一切x)，所以不是最小正周期；当l=2时，因为sin(x+2)sinx(对一切x)，故2是y=sin

12、x的最小正周期.例4设f(x)是定义在区间(-，+)上以2为周期的函数，对于kZ,用Ik表示区间2k-1,2k+1,已知当xI0时，f(x)=x2.(1)求f(x)在Ik上的解析表达式.(2)对于自然数k,求集Mk=a使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根.解：用图像法解甚简便.(1)作f(x)的图像(如图)，可知，f(x)=(x-2k)2,xIk.(2)作图，由图像可知0.例5若y=cos2x+2psinx+q有最大值9和最小值6；求p、q的值.解：y=1-sin2x+2psinx+p2-p2+q=-(sinx-p)2+p2+q+1,y的最小值取决于(sinx-p)2的最大值，即取决

13、于sinx-p的最大值，并且1+psinx+psinx-p,等号成立，ymin=-(1+p)2+p2+q2+1=-1-2p-p2+p2+q+1=q-2p=6.对y的最大值讨论如下：(1)当p1时，当sinx=p时，(sinx-p)2=0,ymax=p2+q+1=9.(2)当p1时，sinxp,(i)当p1时，ymax=-(1-p)2+p2+q+1=2p+q=9,(ii)当p-1时，ymax=-(-1-p)2+p2+q+1=-2p+q=9.【课本难题解答】课本第59页第7题：(1)单调增区间-+2k,+2k(kZ),单调减区间：+2k,+2k(kZ)(2)单调增区间2k,(2k+1)(kZ),单

14、调减区间：(2k-1),2k(kZ)第8题：(1)x+2kx+2k,kZ,(2)x-+2kx+2k,kZ.第9题：(1)xx+2k,kZ(2)xx2k,kZ(3)x-+2 kx+2k,kZ(4)x(2k-1)x2k,kZ.【命题趋势分析】本节内容是高考试题的“热点”，题型以选择题、填空题为主，难度为容易题或中等题，一般地，与本章其他知识综合在一起考查，重点考查正、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性，如求单调区间、最小正周期、三角函数的最大值或最小值及值域等.【典型热点考题】例1满足sin(x-)的x的集合是()A.x2k+x2k+,kZB.x2k-x2k+,kZC.x2k+x2k+

15、,kZD.x2kx2k+,kZx2k+x(2k+1),kZ分析：本题可用单位圆中三角函数线或者三角函数图像求解.解：设=x-,画图即可知：2k+2k+2k+x2k+(kZ)应选A.说明：本题可以从选择支中取值验证.例2函数y=sin(x+2)的最小正周期是.分析：利用公式y=Asin(x+)(A0,0)的最小正周期为.解：=,T=2应填2.例3函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴方程是()A.x=-B.x=-C.x=D.x=解：已知函数可化为y=sin(2x+)=cos2x.作出函数y=cos2x的图像便可以清楚地看到x=-为它的一条对称轴.应选A.说明：事实上，对称轴过图像的最高点，或最低点，用代入法，便可知x=-时，y取最小值-1.例4用减函数的定义证明y=cosx在0,上是单调递减的.证明：任取0x1x2,有y1-y2=cosx1-cosx2=-2sinsin0x1x2,0,-0,sin