浅谈确定解几问题中的参数取值范围的策略

1、浅谈确定解几问题中的参数取值范围的策略重庆一中 李红林求参数的取值范围在中学数学中比比皆是，它使函数、方程与不等式、数与形、常量与变量有机地结合在一起.这类问题不仅综合性强，而且情景新颖，能很好地考查考生的创新能力和潜在的数学素质，是历年高考命题的热点和重点.本文结合近几年的高考试题，对此问题的转化方法作简单探讨.转化策略一：构造关于目标参数的不等式建立关于目标参数的不等式，然后解出不等式，则得到所求参数的取值范围。建立目标参数的不等式有多种途径，常见的有：圆锥曲线的x,y取值范围、函数的有界性、判别式、基本不等式及位置关系（点与曲线、曲线与曲线）等。通过解不等式求参数的取值范围特别要注意必须

2、进行等价变换，不然会扩大或缩小参数的取值范围。例1（2004年高考题重庆卷10题）已知双曲线的左、右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为( )A B C D 分析：因题意涉及到双曲线的焦半径，故可考虑利用双曲线的两种定义。若用第一定义则据焦半径存在一个取值范围能列出关于离心率的不等式；若用第二定义（焦半径公式）则据双曲线上的点的坐标存在取值范围也能列出关于离心率的不等式。略解1：由双曲线的定义可得： （点P在双曲线的右支上） 所以选B. 略解2：点P（x,y）在双曲线的右支上，由焦半径公式可得： 例2(2002年高考题全国卷19题)设点到点、距离之差为，到轴、轴

3、距离之比为。求实数的取值范围。分析：显然点P是直线与双曲线的交点，其交点P的横坐标、纵坐标都与参数有，显化这种关系，则为实数的平方，根据其有界性即可列出关于参数的不等式。略解：设点P（x,y），则，即，故点P（x,y）、M（1，0）、N（1，0）三点不共线，得,所以。因此，点P在以M、N为焦点且实轴长为的双曲线上，故，则有，所以或。说明：通过构造关于目标参数的不等式来确定参数的取值范围，其关键在于利用何种途径来建立目标参数的不等式，选择方案往往灵活多变，这需要积累解题经验，反复地玩味。另外，严格地说，这样求出地取值范围还需检验，因为求参数的取值范围是寻找适合题意的充要条件。转化策略二：构造关于

4、目标参数的函数式建立关于目标参数的函数，然后求出函数的值域，则得到所求参数的取值范围。通过求函数的值域来确定参数的取值范围特别要注意函数的定义域对其值域的影响。图1例3（2000年高考题全国卷22题）如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点.当时，求双曲线离心率的取值范围.分析：显然双曲线的离心率会随着点E分有向线段所成的比的变化而变化，即是说离心率是的函数。只要能显化这种函数关系，求出这个函数的值域即为双曲线离心率的取值范围.图2略解：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD轴。因为双曲线经过点C、D，且以A、B为

5、焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称。 依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高。由定比分点坐标公式得 ，设双曲线的方程为，则离心率。由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ， 由式得，将式代入式，整理得 ，故。由题设得，。说明：这种策略的关键在于选择合适的自变量来建立函数关系，自变量的选择往往决定着这种策略是否成功及其难易的程度，还要特别注意函数的定义域对值域的影响。自变量的选择标准是：与目标参数的依存关系很明显；构造出的函数关系式简洁而较为容易求出值域；容易找出自变量的取值范围。另外，本题中的两个参数e与之间的关系也可以用参数e来表示，从而根据已知条件的

6、取值范围可建立参数e的不等式。 转化策略三：数形结合 图3数与形是一对孪生的姊妹，若题目的几何意义很明显，则利用数形结合的手段处理往往能大大地简化计算，有意想不到地简洁效果。例4（2004年高考题重庆卷16题）对任意实数k，直线：与椭圆： 恒有公共点，则b取值范围是_。分析：由所给已知条件知：无论直线的斜率如何变化，直线与椭圆恒有公共点，当且仅当该直线必过椭圆内或椭圆上的定点，所求参数b的几何意义是直线在y轴上的截距，即直线与y轴的交点必在椭圆内或椭圆上.略解：整理椭圆的方程可得图3，如图3所示：令x0可得到椭圆与y轴得交点坐标：（0，3）、（0，1），又结合椭圆的图形可得：.说明：数形结合思想方法解决问题的关键是能够根据题目所给条件的结构特征把它正确地图形化，所以要熟习常见的代数式的几何意义和由式子的结构联想到某个公式的结构特征，如各种常见曲线方程的形式、距离公式的结构根式特征、斜率公式的分式结构特征等。请读者不妨尝试从其他角度解决本题，以体会数形结合的简洁之处。在高三复习中，我们需要研究典型问题的典型解法，如果能够这样研究，往往需要自动地疏理知识，有助于形