浅谈数形结合思想在高中数学的应用

1、浅谈数形结合思想在高中数学的应用 著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。自从勒内·笛卡尔创立了解析几何，代数和几何这两个数学最大的分支开始变得密不可分。正是由于数和形的结合，此后的数学才发展得如此迅速。 即使在高中阶段，所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。数形结合也可以巧

2、妙地解决一些看似复杂的难题，所以我们必须掌握好数形结合的思想。一.由形知数 所谓由形知数就是指把抽象的代数问题通过定理、公式、解析几何等转化成直观的几何图形来解决问题。我们先看这道题1. 设函数(x)= ，集合，若，则实数的取值范围是（ ）。A B. C. D. 解析：这道题如果直接求，会非常麻烦，因为步骤多还容易出错。仔细分析，不难化出，这是一个反比例函数平移的结果，因为，所以是增函数，且，画出图像，很容易看出选C2. 已知复数的模为，求的最大值为 。P0yXC解析：因为，所以，不难想到这是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上点与原点连线的斜率。如图由平面知识，知的最大值为。3. 计算：解析：本

3、式由三角公式直接算非常麻烦，仔细分析，可以看出该式类似，所以我们不妨把本式看成A，B两点的连线的斜率，如图所示，由平面几何知识易得 由以上三道题可以看出如果我们碰到一些较为复杂的式子时，应首先对问题的结构进行分析，分解成已知是什么（条件），要求得到的是什么（目标），然后再把条件与目标相互比较，找出它们之间的内在联系。因此，对于由形知数这类问题，解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的

4、目标去解决问题。二.由数见形 所谓由数见形，实际上就指的是数学的数量关系，数学表达式，它反映了图形的什么特点，根据这样的特点，我们最后再判断正确的结论应该是什么。1.已知是直线上的动点，是的两条切线，是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。解析：因为要使面积最小，只需最小，即定点到定直线上动点距离最小即可即点到直线的距离，而2.若a1，求证解析：构造直线l：x+y+1=0，则A(a2，b2+1)、分别在l外和l上由于ABd(d为点A到直线l的距离)，所以即3.在ABC中，巳知ABAC，AD是中线，AE是角A的平分线，求证：解析：此题用三角法证明较难寻找解题途径，用解析法则非常巧妙如图所示，建立直

5、角坐标系，以A为原点，角平分线AE所在直线为x轴，则B点坐标可表示为，C点坐标可表示为，D是BC中点，所以D的坐标为，所以 4. 已知实数x、y满足不等式组，求函数的值域解析：由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x2y2=4的右半圆（含边界），可改写为y3=z（x1），把z看作参数，则此方程表示过定点P(-1，-3)，斜率为z的直线族则所求问题的几何意义是：求过半圆域x2y24(x0)内或边界上任一点与点P(-1，-3)的直线斜率的最大、最小值由图显见，过点P和点A（0,2）的直线斜率最大，过点P向半圆作切线，切线的斜率最小设切点为B(a，b)，则过B点的切线方程为axby=4又B在半圆周

6、上，P在切线上，则有解得因此。综上可知函数的值域为。由以上四题可以得出由数见形解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。总结1.由形知数和由数见形，都是数形结合应用时候的一个问题或者一个方法的两个方面，我们在具体应用的时候常常也是综合使用的。数形转化的三条途径。 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。2.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位，认真掌握好，会给我们解