高等数学第二学期期末复习题

1、第八章 空间解析几何与向量代数1、求过点M（0,0，1）且垂直于平面的直线的方程. （07级下A第一1题7分）解： 3分直线方程为： 7分2、设求（07级下A第二1题7分）解： 4分 7分第九章 多元函数微分学及其应用3、设，求,4、设求. （05级下第一1题6分）解： 2分 4分 6分5、设其中具有二阶连续偏导数，求（05级下第一2题6分）解： 3分 6分6、设，求.（07级下A第二2题7分）解： 4分 7分7、设，其中具有连续二阶偏导数，求.（05级下补第一1题6分）解： 3分 6分8、设其中具有二阶连续偏导数，求9、求旋转抛物面在点（2，1，4）处的切平面及法线方程. （07级下A第三1

2、题7分）解： 3分切平面方程为：或 5分法线方程为： 7分10、求在点（0，0）处的梯度及沿梯度方向的方向导数解：11、求在点M（1，1，1）沿从M到N（2，3，-1）的方向的方向导数. （07级下A第二2题7分）解： 3分 5分 7分12、欲制造一个体积为的无盖长方体形水池，试设计水池的尺寸，使其表面积最小. （07级下A第四题8分）解：设长为，宽为，高为，表面积 3分 5分 8分13、已知曲面方程，（1）求其在第一卦限内的点处的切平面方程；（2）求该切平面与三坐标面所围立体的体积的最小值. （05级下第六题8分）解：法向量切平面方程或 3分切平面在三个坐标轴上的截距分别为 5分令解方程组得

3、的最小值为 8分第十章 重积分14、设D: 求（05级下第一3题6分）（07级下A第一3题7分）解： 3分 4分 6分 7分15、已知在上连续，证明：.（07级下A第三2题7分）证明： 4分 7分16、计算二重积分，其中为所围区域.17、计算二重积分,其中 为所围区域.18、计算三重积分其中为球体.（05级下第一4题6分）解： 3分 6分19、计算三重积分其中为球体所围区域.20、证明：证明：21、设有平面区域，（1）计算二重积分；（2）设函数在上连续，试给出一个所满足的一般条件，使得.22、设有平面区域，（1）计算二重积分；（2）设函数在上连续，试给出一个所满足的一般条件，使得 （05级下第

4、二题8分）解：（1） 4分（2）由于积分区域关于直线对称，则当时 8分注：本题答案不惟一，如：等说明：积分域的轮换对等性（或称为轮换对称性）是把刻画积分域的不等式或不等式组中的坐标进行轮换或对换后，积分域不改变的性质.对于平面上的积分域来说，轮换对称性就是关于直线的对称性；对于空间域来说，与的轮换对称性是关于平面的对称性.积分域的轮换对称性与被积函数的轮换对称性（以三元函数为例）：若积分域的边界曲面方程中的依次轮换，方程的形式不变，则称具有轮换对称性.若被积函数中的依次轮换，方程的形式不变，则称具有轮换对称性.第十一章 曲线积分与曲面积分23、计算对弧长的曲线积分其中为曲线从到的一段弧. （0

5、5级下第一5题6分）解： 3分 6分24、计算对弧长的曲线积分其中为曲线从到的一段弧.25、计算对弧长的曲线积分其中为曲线从到的一段弧.26、计算对弧长的曲线积分其中为抛物线 从点O（0，0）到B（1，1）之间的一段弧. （07级下A第三3题7分）解： 4分 7分27、计算对坐标的曲线积分,其中是由抛物线和所围区域的正向边界. （07级下A第二3题7分）解： 3分 5分 7分28、计算对坐标的曲面积分其中为圆柱体的外侧表面. （07级下A第一4题7分）解： 4分 7分29、计算对坐标的曲面积分其中为圆柱体的外侧表面.30、计算对坐标的曲面积分其中为圆柱体的外侧表面. （05级下第一6题6分）解

6、： 3分 6分31、计算对坐标的曲面积分其中为球面的外侧.32、证明曲线积分在全平面上与路径无关；并计算，其中 为曲线从到的一段弧.33、证明对坐标的曲线积分在全平面上与路径无关；计算，其中 为曲线从到的一段弧. （05级下第四题8分）证明:因为所以曲线积分在全平面上与路径无关 4分 8分第十二章 无穷级数34、判别正项级数的收敛性.解：由比值审敛法知收敛.35、判别正项级数的收敛性. （05级下第一7题6分）解： 4分由比值审敛法知发散 6分36、判别正项级数的收敛性（07级下A第二4题7分）解：（1）当时，发散 2分（2）当时， 发散 4分（3）当时，, 收敛，收敛 7分37、判别正项级数

7、的收敛性.解：，而级数收敛，由比较审敛法，收敛.38、已知幂级数.试求其收敛区间. （07级下A第一5题7分）解： 3分收敛半径 5分收敛区间为 7分39、求级数的和. 解：令因为所以故40、将函数展开成的幂级数解：（直接将展开办不到，但易展开）积分得因为右端级数在时均收敛，又在连续，所以展开式在收敛区间端点成立.41、已知幂级数. 求其收敛域；利用逐项积分法，求其和函数（05级下第三题8分）解： 收敛半径当时级数发散，收敛区间为 4分 8分42、已知函数以为周期，且，其傅里叶级数的和函数记为计算43、已知函数以为周期，且，其傅里叶级数的和函数记为计算（05级下第一8题6分）是的第一类间断点解： 3分是的连续点 6分