高等代数北大版教案二次型

1、第五章 二次型§1 二次型的矩阵表示一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.三 教学重点：矩阵表示二次型四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况.五 教学过程：定义：设是一数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式 (3)称为数域上的一个元二次型，或者，简称为二次型.例如： 就是有理数域上的一个3元二次型.定义1 设，是两组文字，系数在数域中的一组关系式 (4)称为到的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 ，那么线性替换(4)就称为非退化的.二次型的矩阵表示：令 ， 由于 ,

2、那么二次型(3)就可以写为+ (5)把(5)的系数排成一个矩阵它称为二次型(5)的矩阵.因为，所以.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.令,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，.故 .显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型且 ，则，线性替换的矩阵表示令,那么，线性替换(4)可以写成，或者.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设 ， (7)是一个二次型，作非退化的线性替换 (8)得到一个的二次型.现在来看矩阵与矩阵的关系把(8)代入(7)有.容易看出，矩阵也是对称的，事实上

3、，.由此，即得.定义2 数域上矩阵称为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有(1)反身性 .(2)对称性 由 ，即得.(3)传递性 由，即得.因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§2 标准形一 授课内容：§2 标准形二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.三 教学重点：化普通的二次型为标准形.四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.五 教学过程：I 导入可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型 (1)II 讲授新课定理1 二次型都可以经过非退化的线性

4、替换变为平方和(1)的形式.不难看出，二次型(1)的.=.反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理2 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定义 二次型经过非退化的线性替换所变成的平方和称为的一个标准形.例 化二次型为标准形.解：作非退化的线性替换则再令 或则.最后令 或则 是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，.用矩阵的方法来解例 化二次型为标准形.解：的矩阵为.取,则.再取，则.再取，则是对角矩阵，因此令，就有.作非退化的线性替换即得.§3 唯一性一 授课内容：§3 唯一性二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的

5、规范形，正(负)惯性指数，符号差.三 教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别.四 教学难点：实二次型的唯一性五 教学过程：在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的.例 二次型经过非退化的线性替换得到标准形.而经过非退化的线性替换就得到另一个标准形.这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.对于复数域的情形设是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，变

6、为标准形，不妨设标准形为， (1)易知，就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换 (2)(1)就变为 (3)(3)称为复二次型的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.对于实数域的情形设是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使变为标准形， (4) ，就是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所

7、以，再作一非退化的线性替换 (5)(4)就变为 (6)(6)称为实二次型的规范形.显然，规范形完全被这两个数所决定.定理4(惯性定理) 任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3 在实二次型的规范形中，正平方项的个数称为的正惯性指数，负平方项的个数称为的负惯性指数，它们的差称为的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数.§4 正定二次型一 授课内容：§4 正定二次型二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定(负定，半

8、正定，半负定，不定)二次型或矩阵.(顺序)主子式的定义，掌握各种类型的判别法.三 教学重点：正定二次型.四 教学难点：判别方法五 教学过程：定义4 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有.显然，二次型是正定的，因为只有在时，才为零.一般的，实二次型是正定的，当且仅当 .可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变.定理5 元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于.定理5说明，正定二次型的规范形为 (5)定义5 实对称矩阵称为正定的，如果二次型正定.因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同.推论 正定矩阵的行列式大于零.定义6 子式 称为矩阵的顺序主子式.定理6 实二次型是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零.例 判断二次型是否正定.解：的矩阵为它的顺序主子式， ， 因之，正定.与正定性平行，还有下面的概念.定义7 设是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数，如果都有，那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么就称为不定的.对于半正定，我们有定