高中数学3换元法

1、第 7 讲 换元法（高中版） （第课时）神经网络准确记忆！换元法重点难点好好把握！重点：1；2；3。难点：1；2；3；。考纲要求注意紧扣！1；2；3。命题预测仅供参考！1；2；3。考点热点一定掌握！换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新

2、变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4220，先变形为设2t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进行换元。例如求函数y的值域时，易发现x0

3、,1，设xsin ，0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又如变量x、y适合条件xyr（r>0）时，则可作三角代换xrcos、yrsin化为三角问题。均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t进行换元；如果遇到形如 或 这样的对称结构，可设 xt ，yt 或 ，等等。1换元法在方程中的应用我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。对

4、于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。例.（高二）如果关于x的方程 有相异的四实根，求的范围。分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。令 ，则原方程化为： 使原方程有相异的四实根等价于使方程有两不等正根。由此得 即 解之得 且 2换元法在不等式中的应用例.（高二）设对所于有实数x，不等式xlog2x loglog>0恒成立，求a的取值范围。 分析：不等式中，log、 log、log 三项有何联系？对它们进行变形后再实施换元法。解： 设 logt ，则loglog3log3log3t ，log2log2t ，代入后

5、原不等式简化为 （3t）x2tx2t>0 ，它对一切实数x恒成立， ，解之得 ， t<0 即 log<0 ，0<<1 ，解之得 0<a<1 。点评：本题使用换元法解不等式。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。3换元法在函数中的应用例.（高一）已知f(x+1)为奇函数，f（x）=x·（x+1），（x<1）求x>1时函数f（x）的解析式。解：令x=t+1（t<0）， f(x)=x（x+1） （x<1） ， f(t+1)=（t+1）（t+2） ，又f(x+1)为奇函数，故f(t+1)也为奇函数， -f（t+1）=f

6、（-t+1），f（-t+1）=-（-t-1）（-t-2），令T=-t，（T>0），则f(T+1）=-（T-1）(T-2)， ， f(x)= -（x-2）(x-3)=-x2+5x-6，（x>1） 。点评：本题使用换元法求函数解析式。4换元法在数列中的应用例.（高三）已知数列a中，a1，a·aaa，求数列通项a。解：已知式变形为 1 ,设 b ，则为等差数列， b1 ,b1(n1)(-1)n ， a 。5换元法在复数中的应用对于涉及模及多变元的复数问题，基于运算方面的考虑，可以利用换元法简解。6换元法在三角中的应用例.（高一）设a>0，求f(x)2a(sinx

7、cosx)sinx·cosx2a的最大值和最小值。解： 设sinxcosxt，则t-,，由 (sinxcosx)12sinx·cosx 得 sinx·cosx ， f(x)g(t)(t2a) （a>0） t-,，当xy t- 时， g(t)取最小值 2a2a 。当 2a 时，t，f(x)取最大值 2a2a ；当 0<2a 时，t2a ，f(x)取最大值 。 f(x)的最小值为2a2a，最大值为。点评：换元设 sinxcosxt 后，抓住sinxcosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得

8、容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t-,）与sinxcosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。例.（高一）ABC的三个内角A、B、C满足：AC2B，求cos的值。 分析： 由已知 AC2B 和“三角形内角和等于180°”，可得 ，对 AC120&#

9、176; 进行均值换元，设 ，再代入可求cos即cos。解法一： AC2B 且 AB+C180°， ,设，代入已知等式得： 2,解之得 cos ， 即 cos。解法二：由AC2B，得AC120°，B60°。 2，设 m ，m ， cosA ，cosC ，两式分别相加、相减得：cosAcosC2coscoscos ，cosAcosC2sinsinsin ，即 sin ，cos，代入 sincos1 整理得 3m16m120 ,解之得 m6 ，代入cos 得 cos 。点评： 本题两种解法由“AC120°”、“2”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三

10、角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由AC2B，得AC120°，B60°。 2，即cosAcosC2cosAcosC ，和积互化得 2coscoscos(A+C)cos(A-C) ，即coscos(A-C)(2cos1) ，整理得 4cos2cos30 ,解之得 cos 。7换元法在解析几何中的应用例.（高三）实数x、y满足1，若xyk>0恒成立，求k的范围。分析：由已知条件 1 ，可以发现它与ab1有相似之处，于是实施三角代换。解：由 1 ，设 cos ，sin ，即 ，代入不等式

11、xyk>0 得 3cos4sink>0 ，即k<3cos4sin5sin(+) ，所以k<-5时不等式恒成立。点评：本题进行三角代换，将解析几何问题化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角代换”。x+y-k>0 平面区域kxy本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式axbyc>0 (a>0)所表示的区域为直线axbyc0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。

12、此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上xyk>0的区域。即当直线xyk0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由0可求得k3,所以k<-3时原不等式恒成立。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！12345678方程不等式函数数列复数三角解析几何1.（高二）解不等式 log(21) ·log(22) 。解：设 log(21)y ，则 y(y1)<2 ，解之得 2<y<1 ，所以x(log,log3)。2.（高一）设f(x1)log(4x) （a>1），求f(x)的值域。解：设x1t (t1

13、)，则f(t)log-(t-1)4，所以值域为(,log4。点评：本题使用换元法求函数值域。3.（高一）求函数y=sin2 x- 3sinx+32 - sinx 的值域。解：原函数变形得 y=(2-sinx)2 - (2 - sinx)+12 - sinx =2-sinx-12 - sinx 1 ，令 t=2-sinx ，t1，3 ，即y=t+1t 1 ，易知当 t0，1 时为减函数；t1，+时为增函数，故当 t=1 ，即sinx=1 ，x=2k+2 kz 时， ；当 t=3 时，即 sinx=-1 ，x=2k- 2  kz 时，。故y1, 73 。点评：本题使用换元法求三角函数值域。4*.（高一.超纲）已知，且 (式)，求的值。解法一： 设 k ，则sinkx ，cosky ，且sincosk(x+y)1 ,代入式得： ，即 ，设 t ，则