2014年高考数学理科（高考真题+模拟新题）分类汇编：H单元　解析几何

1、数数学学H H 单元单元解析几何解析几何H1H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程14 、2014湖北卷 设 f(x)是定义在(0，)上的函数，且 f(x)0，对任意 a0，b0，若经过点(a，f(a)，(b，f(b)的直线与 x 轴的交点为(c，0)，则称 c 为 a，b 关于函数 f(x)的平均数，记为 Mf(a，b)，例如，当 f(x)1(x0)时，可得 Mf(a，b)cab2，即 Mf(a，b)为 a，b 的算术平均数(1)当 f(x)_(x0)时，Mf(a，b)为 a，b 的几何平均数；(2)当 f(x)_(x0)时，Mf(a，b)为 a，b 的调和平均数2

2、abab.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14(1) x(2)x(或填(1)k1x；(2)k2x，其中 k1，k2为正常数)解析 设 A(a，f(a)，B(b，f(b)，C(c，0)，则此三点共线：(1)依题意，c ab，则0f（a）ca0f（b）cb，即0f（a）aba0f（b）abb.因为 a0，b0，所以化简得f（a）af（b）b，故可以选择 f(x) x(x0)；(2)依题意，c2abab，则0f（a）2ababa0f（b）2ababb，因为 a0，b0，所以化简得f（a）af（b）b，故可以选择 f(x)x(x0)202014江西卷 如图 17 所示，已知双曲线 C：x2

3、a2y21(a0)的右焦点为 F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，AFx 轴，ABOB，BFOA(O 为坐标原点)图 17(1)求双曲线 C 的方程；(2)过 C 上一点 P(x0，y0)(y00)的直线 l：x0 xa2y0y1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x32相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时，|MF|NF|恒为定值，并求此定值20解：(1)设 F(c，0)，因为 b1，所以 c a21.由题意，直线 OB 的方程为 y1ax，直线 BF 的方程为 y1a(xc)，所以 Bc2，c2a .又直线 OA 的方程为 y1ax，则 Ac，ca ，所以 kABcac2

4、acc23a.又因为 ABOB，所以3a1a 1，解得 a23，故双曲线 C 的方程为x23y21.(2)由(1)知 a 3，则直线 l 的方程为x0 x3y0y1(y00)，即 yx0 x33y0(y00)因为直线 AF 的方程为 x2，所以直线 l 与 AF 的交点为 M2，2x033y0，直线 l 与直线x32的交点为 N32，32x033y0，则|MF|2|NF|2（2x03）2（3y0）21432x032（3y0）2（2x03）29y20494（x02）243（2x03）23y203（x02）2.又 P(x0，y0)是 C 上一点，则x203y201，代入上式得|MF|2|NF|24

5、3（2x03）2x2033（x02）243（2x03）24x2012x0943，所以|MF|NF|232 33，为定值20 ， ，2014四川卷 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆 C 的标准方程(2)设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C于点 P，Q.证明：OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)；当|TF|PQ|最小时，求点 T 的坐标20解：(1)由已知可得a2b22b，2c2 a2b24，解得 a26，b22，所以椭圆 C 的标准方程是x26y221

6、.(2)证明：由(1)可得，F 的坐标是(2，0)，设 T 点的坐标为(3，m)，则直线 TF 的斜率 kTFm03（2）m.当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ1m.直线 PQ 的方程是 xmy2.当 m0 时，直线 PQ 的方程是 x2，也符合 xmy2 的形式设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得xmy2，x26y221.消去 x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以 y1y24mm23，y1y22m23，x1x2m(y1y2)412m23.设 M 为 PQ 的中点，则 M 点的坐标为6m23，2mm23 .

7、所以直线 OM 的斜率 kOMm3，又直线 OT 的斜率 kOTm3，所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ.由可得，|TF| m21，|PQ| （x1x2）2（y1y2）2 （m21）（y1y2）24y1y2（m21）4mm23242m2324（m21）m23.所以|TF|PQ|124（m23）2m21124m214m214124（44）33.当且仅当 m214m21，即 m1 时，等号成立，此时|TF|PQ|取得最小值故当|TF|PQ|最小时，T 点的坐标是(3，1)或(3，1)H2H2两直线的位置关系与点到直线的距离两直线的位置关系与点到直线的距离21 、 、2014全

8、国卷 已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|54|PQ|.(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M，N 两点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求 l 的方程21解：(1)设 Q(x0，4)，代入 y22px，得 x08p，所以|PQ|8p，|QF|p2x0p28p.由题设得p28p548p，解得 p2(舍去)或 p2，所以 C 的方程为 y24x.(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直，故可设 l 的方程为 xmy1(m0)代入 y24

9、x，得 y24my40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24m，y1y24.故线段的 AB 的中点为 D(2m21，2m)，|AB| m21|y1y2|4(m21)又直线 l 的斜率为m，所以 l 的方程为 x1my2m23.将上式代入 y24x，并整理得 y24my4(2m23)0.设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，则 y3y44m，y3y44(2m23)故线段 MN 的中点为 E2m22m23，2m ，|MN|11m2|y3y4|4（m21） 2m21m2.由于线段 MN垂直平分线段 AB， 故 A， M， B， N四点在同一圆上等价于|AE|BE|12|MN|，从

10、而14|AB|2|DE|214|MN|2，即4(m21)22m2m22m2224（m21）2（2m21）m4，化简得 m210，解得 m1 或 m1，故所求直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.H3H3圆的方程圆的方程9 、2014福建卷 设 P，Q 分别为圆 x2(y6)22 和椭圆x210y21 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是()A5 2B. 46 2C7 2D6 29D解析 设圆心为点 C，则圆 x2(y6)22 的圆心为 C(0，6)，半径 r 2.设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则x2010y201，即 x201010y20，|CQ| 1010y20（y06）2

11、9y2012y0469y023250，当 y023时，|CQ|有最大值 52，则 P，Q 两点间的最大距离为 52r62.H4H4直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系10 、2014安徽卷 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a，b，|a|b|1，ab0，点 Q 满足OQ 2(ab)曲线 CP|OPacos bsin，02，区域P|0r|PQ|R，rR若 C为两段分离的曲线，则()A1rR3B1r3RCr1R3D1r3R10A解析由已知可设OAa(1，0)，OBb(0，1)，P(x，y)，则OQ( 2， 2)，|OQ|2.曲线 CP|OP(cos，sin )，02，即 C：

12、x2y21.区域P|0r|PQ|R，rR表示圆 P1：(x 2)2(y 2)2r2与 P2：(x 2)2(y 2)2R2所形成的圆环，如图所示要使 C为两段分离的曲线，则有 1rR3.19 、 、2014北京卷 已知椭圆 C：x22y24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y2 上，且 OAOB，试判断直线AB 与圆 x2y22 的位置关系，并证明你的结论19解：(1)由题意，椭圆 C 的标准方程为x24y221.所以 a24，b22，从而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故椭圆 C 的离心率 eca22.(2)直线 AB 与圆 x

13、2y22 相切证明如下：设点 A，B 的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中 x00.因为 OAOB，所以OAOB0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.当 x0t 时，y0t22，代入椭圆 C 的方程，得 t 2，故直线 AB 的方程为 x 2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d 2，此时直线 AB 与圆 x2y22 相切当 x0t 时，直线 AB 的方程为 y2y02x0t(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心 O 到直线 AB 的距离d|2x0ty0|（y02）2（x0t）2.又 x202y204，t2y0 x0，故d|2x02y20 x0|x20y204y

14、20 x204|4x20 x0|x408x20162x20 2.此时直线 AB 与圆 x2y22 相切6 、2014福建卷 直线 l：ykx1 与圆 O：x2y21 相交于 A，B 两点，则“k1”是“OAB 的面积为12”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件6 A解析 由直线 l 与圆 O 相交， 得圆心 O 到直线 l 的距离 d1k21g(x)，根据圆心(0，0)到直线 y3xb 的距离是圆的半径求得|b|912，解得 b210或 b2 10(舍去)，要使 h(x)g(x)恒成立，则 b2 10，即实数 b 的取值范围是(2 10，)122014

15、陕西卷 若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1，0)关于直线 yx 对称，则圆 C的标准方程为_12x2(y1)21解析 由圆 C 的圆心与点(1，0)关于直线 yx 对称，得圆 C 的圆心为(0，1)又因为圆 C 的半径为 1，所以圆 C 的标准方程为 x2(y1)21.14 ，2014四川卷 设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_145解析 由题意可知，定点 A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以 AB 为直径的圆周上，所以|PA|2|PB|2|AB|210.|P

16、A|PB|PA|2|PB|225，当且仅当|PA|PB|时等号成立13 2014重庆卷 已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A，B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数 a_134 15解析 由题意可知圆的圆心为 C(1，a)，半径 r2，则圆心 C 到直线 axy20 的距离 d|aa2|a21|2a2|a21.ABC 为等边三角形，|AB|r2.又|AB|2 r2d2，222|2a2|a2122，即 a28a10，解得 a4 15.21 ，2014重庆卷 如图 14 所示，设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上，DF1F1

17、F2，|F1F2|DF1|2 2，DF1F2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点， 且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径图 1421解：(1)设 F1(c，0)，F2(c，0)，其中 c2a2b2.由|F1F1|DF1|22得|DF1|F1F2|2 222c.从而 SDF1F212|DF1|F1F2|22c222，故 c1.从而|DF1|22，由 DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|292，因此|DF2|3 22，所以 2a|DF1|DF2|2 2，故 a 2，b2a2c21.因此，所求

18、椭圆的标准方程为x22y21.(2)如图所示，设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆x22y21 相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆 C 的切线，且 F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2，|P1P2|2|x1|.由(1)知 F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1P1(x11，y1)，F2P2(x11，y1)再由 F1P1F2P2得(x11)2y210.由椭圆方程得 1x212(x11)2，即 3x214x10，解得 x143或x10.当 x10 时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在当 x143时，过 P1

19、，P2分别与 F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心 C.由 F1P1，F2P2是圆 C 的切线，且 F1P1F2P2，知 CP1CP2.又|CP1|CP2|，故圆 C 的半径|CP1|22|P1P2| 2|x1|4 23.H5H5椭圆及其几何性质椭圆及其几何性质20 ， ，2014四川卷 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆 C 的标准方程(2)设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C于点 P，Q.证明：OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)；当|TF|

20、PQ|最小时，求点 T 的坐标20解：(1)由已知可得a2b22b，2c2 a2b24，解得 a26，b22，所以椭圆 C 的标准方程是x26y221.(2)证明：由(1)可得，F 的坐标是(2，0)，设 T 点的坐标为(3，m)，则直线 TF 的斜率 kTFm03（2）m.当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ1m.直线 PQ 的方程是 xmy2.当 m0 时，直线 PQ 的方程是 x2，也符合 xmy2 的形式设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得xmy2，x26y221.消去 x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0

21、.所以 y1y24mm23，y1y22m23，x1x2m(y1y2)412m23.设 M 为 PQ 的中点，则 M 点的坐标为6m23，2mm23 .所以直线 OM 的斜率 kOMm3，又直线 OT 的斜率 kOTm3，所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ.由可得，|TF| m21，|PQ| （x1x2）2（y1y2）2 （m21）（y1y2）24y1y2（m21）4mm23242m2324（m21）m23.所以|TF|PQ|124（m23）2m21124m214m214124（44）33.当且仅当 m214m21，即 m1 时，等号成立，此时|TF|PQ|取得最小值故当|

22、TF|PQ|最小时，T 点的坐标是(3，1)或(3，1)142014安徽卷 设 F1，F2分别是椭圆 E：x2y2b21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF1|3|F1B|，AF2x 轴，则椭圆 E 的方程为_14x232y21解析设 F1(c，0)，F2(c，0)，其中 c 1b2，则可设 A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|3|F1B|，可得AF13F1B，故2c3x03c，b23y0，即x053c，y013b2，代入椭圆方程可得25（1b2）919b21，解得 b223，故椭圆方程为 x23y221.19 、 、2014北京卷 已知椭圆 C

23、：x22y24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y2 上，且 OAOB，试判断直线AB 与圆 x2y22 的位置关系，并证明你的结论19解：(1)由题意，椭圆 C 的标准方程为x24y221.所以 a24，b22，从而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故椭圆 C 的离心率 eca22.(2)直线 AB 与圆 x2y22 相切证明如下：设点 A，B 的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中 x00.因为 OAOB，所以OAOB0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.当 x0t 时，y0t22，代入椭圆 C 的方程，得 t

24、2，故直线 AB 的方程为 x 2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d 2，此时直线 AB 与圆 x2y22 相切当 x0t 时，直线 AB 的方程为 y2y02x0t(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心 O 到直线 AB 的距离d|2x0ty0|（y02）2（x0t）2.又 x202y204，t2y0 x0，故d|2x02y20 x0|x20y204y20 x204|4x20 x0|x408x20162x20 2.此时直线 AB 与圆 x2y22 相切9 、2014福建卷 设 P，Q 分别为圆 x2(y6)22 和椭圆x210y21 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是

25、()A5 2B. 46 2C7 2D6 29D解析 设圆心为点 C，则圆 x2(y6)22 的圆心为 C(0，6)，半径 r 2.设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则x2010y201，即 x201010y20，|CQ| 1010y20（y06）2 9y2012y0469y023250，当 y023时，|CQ|有最大值 52，则 P，Q 两点间的最大距离为 52r62.20 、2014广东卷 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为53.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若动点 P(x0，y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂

26、直，求点 P 的轨迹方程9 、2014湖北卷 已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF23，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.4 33B.2 33C3D29A解析 设|PF1|r1，|PF2|r2，r1r2，椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，椭圆、双曲线的离心率分别为 e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得 r1r22a1，r1r22a2，平方得 4a21r21r222r1r2，4a22r212r1r2r22.又由余弦定理得 4c2r21r22r1r2，消去 r1r2，得 a213a224c2，即1e213e224.所以由柯西

27、不等式得1e11e221e1133e221e213e22113 163.所以1e11e24 33.故选 A.21 、 、 、2014湖南卷 如图 17，O 为坐标原点，椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e1；双曲线 C2：x2a2y2b21 的左、右焦点分别为 F3，F4，离心率为 e2.已知 e1e232，且|F2F4| 31.(1)求 C1，C2的方程；(2)过 F1作 C1的不垂直于 y 轴的弦 AB，M 为 AB 的中点当直线 OM 与 C2交于 P，Q两点时，求四边形 APBQ 面积的最小值图 1721解： (1)因为 e1e232，所

28、以a2b2aa2b2a32，即 a4b434a4，因此 a22b2，从而 F2(b，0)，F4( 3b，0)，于是3bb|F2F4| 31，所以 b1，a22.故 C1，C2的方程分别为x22y21，x22y21.(2)因 AB 不垂直于 y 轴，且过点 F1(1，0)，故可设直线 AB 的方程为 xmy1，由xmy1，x22y21得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2是上述方程的两个实根，所以 y1y22mm22，y1y21m22.因此 x1x2m(y1y2)24m22，于是 AB 的中点为 M2m22，mm22 ，故直

29、线 PQ的斜率为m2，PQ 的方程为 ym2x，即 mx2y0.由ym2x，x22y21得(2m2)x24，所以 2m20，且 x242m2，y2m22m2，从而|PQ|2 x2y22m242m2.设点 A 到直线 PQ 的距离为 d， 则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d， 所以2d|mx12y1|mx22y2|m24.因为点 A，B 在直线 mx2y0 的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而 2d（m22）|y1y2|m24.又因为|y1y2| （y1y2）24y1y22 2 1m2m22，所以 2d2 2 1m

30、2m24.故四边形 APBQ 的面积 S12|PQ|2d2 2 1m22m22 2132m2.而 0b0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_15.22解析 设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2)，点 M 是线段 AB 的中点，所以 x1x22，y1y22，且x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式作差可得x21x22a2（y21y22）b2，即（x1x2） （x1x2）a2（y1y2） （y1y2）b2，所以y1y2x1x2b2a2，即 kABb2a2.由题意可知，直线 AB 的斜率为12，所以b2a212，即 a 2b.又 a2b

31、2c2，所以 cb，e22.152014辽宁卷 已知椭圆 C：x29y241，点 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|BN|_1512解析 取 MN 的中点为 G，点 G 在椭圆 C 上设点 M 关于 C 的焦点 F1的对称点为 A，点 M 关于 C 的焦点 F2的对称点为 B，则有|GF1|12|AN|，|GF2|12|BN|，所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12.20 、2014辽宁卷 圆 x2y24 的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P(如图 16 所示

32、)双曲线 C1：x2a2y2b21 过点 P 且离心率为 3.图 16(1)求 C1的方程；(2)椭圆 C2过点 P 且与 C1有相同的焦点， 直线 l 过 C2的右焦点且与 C2交于 A， B 两点 若以线段 AB 为直径的圆过点 P，求 l 的方程20解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为x0y0，切线方程为 yy0 x0y0(xx0)， 即 x0 xy0y4， 此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为4x0，0，0，4y0.故其围成的三角形的面积 S124x04y08x0y0.由 x20y2042x0y0知，当且仅当 x0y0 2时x0y0有最大值 2，此时

33、 S 有最小值 4，因此点 P 的坐标为( 2， 2)由题意知2a22b21，a2b23a2，解得 a21，b22，故 C1的方程为 x2y221.(2)由(1)知 C2的焦点坐标为( 3，0)，( 3，0)，由此可设 C2的方程为x23b21y2b211，其中 b10.由 P( 2， 2)在 C2上，得23b212b211，解得 b213，因此 C2的方程为x26y231.显然，l 不是直线 y0.设直线 l 的方程为 xmy 3，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由xmy 3，x26y231，得(m22)y223my30.又 y1，y2是方程的根，因此y1y223mm22，y1y23

34、m22，由 x1my1 3，x2my2 3，得x1x2m（y1y2）2343m22，x1x2m2y1y2 3m（y1y2）366m2m22.因为AP( 2x1， 2y1)，BP( 2x2， 2y2)，由题意知APBP0，所以 x1x2 2(x1x2)y1y2 2(y1y2)40，将代入式整理得2m226m46110，解得 m3621 或 m621.因此直线 l 的方程为x(3621)y 30 或 x(621)y 30.62014全国卷 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为33，过 F2的直线 l 交 C 于 A，B 两点若AF1B 的周长为 4 3，则

35、 C 的方程为()A.x23y221B.x23y21C.x212y281D.x212y2416 A解析 根据题意， 因为AF1B 的周长为 4 3， 所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4 3，所以 a 3.又因为椭圆的离心率 eca33，所以 c1，b2a2c2312，所以椭圆 C 的方程为x23y221.20 、 、2014新课标全国卷 已知点 A(0，2)，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点

36、，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程20解：(1)设 F(c，0)，由条件知，2c2 33，得 c 3.又ca32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程为x24y21.(2)当 lx 轴时不合题意，故可设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将 ykx2 代入x24y21 得(14k2)x216kx120，当16(4k23)0，即 k234时，x1，28k2 4k234k21，从而|PQ| k21|x1x2|4 k21 4k234k21.又点 O 到直线 l 的距离 d2k21.所以OPQ 的面积SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.设 4k23t，则 t0，SOP

37、Q4tt244t4t.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k72时等号成立，满足0，所以，当OPQ 的面积最大时，k72，l 的方程为 y72x2 或 y72x2.20 、 、2014新课标全国卷 设 F1，F2分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b.20解：(1)根据 c a2b2及题设知 Mc，b2a ，2b23ac.将 b2a2c2代入 2b23ac，解得

38、ca12，ca2(舍去)故 C 的离心率为12.(2)由题意知，原点 O 为 F1F2的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0，2)是线段 MF1的中点，故b2a4，即 b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设 N(x1，y1)，由题意知 y1b0，y0)和部分抛物线 C2：yx21(y0)连接而成，C1与 C2的公共点为 A，B，其中 C1的离心率为32.(1)求 a，b 的值；(2)过点 B 的直线 l 与 C1，C2分别交于点 P，Q(均异于点 A，B)，若 APAQ，求直线 l的方程图 1520解：(1)在 C1，C2的方程中，令 y0，可得

39、b1，且 A(1，0)，B(1，0)是上半椭圆 C1的左、右顶点设 C1的半焦距为 c，由ca32及 a2c2b21 得 a2，a2，b1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆 C1的方程为y24x21(y0)易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 yk(x1)(k0)，代入 C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点 P 的坐标为(xP，yP)，直线 l 过点 B，x1 是方程(*)的一个根由求根公式，得 xPk24k24，从而 yP8kk24，点 P 的坐标为k24k24，8kk24 .同理，由yk（x1） （k0） ，yx21（y0） ，得点 Q 的坐标为(

40、k1，k22k)AP2kk24(k，4)，AQk(1，k2)APAQ，APAQ0，即2k2k24k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得 k83.经检验，k83符合题意，故直线 l 的方程为 y83(x1)方法二：若设直线 l 的方程为 xmy1(m0)，比照方法一给分20 ， ，2014陕西卷 如图 15 所示，曲线 C 由上半椭圆 C1：y2a2x2b21(ab0，y0)和部分抛物线 C2：yx21(y0)连接而成，C1与 C2的公共点为 A，B，其中 C1的离心率为32.(1)求 a，b 的值；(2)过点 B 的直线 l 与 C1，C2分别交于点 P，Q(均异于点 A，B)，若 APA

41、Q，求直线 l的方程图 1520解：(1)在 C1，C2的方程中，令 y0，可得 b1，且 A(1，0)，B(1，0)是上半椭圆 C1的左、右顶点设 C1的半焦距为 c，由ca32及 a2c2b21 得 a2，a2，b1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆 C1的方程为y24x21(y0)易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 yk(x1)(k0)，代入 C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点 P 的坐标为(xP，yP)，直线 l 过点 B，x1 是方程(*)的一个根由求根公式，得 xPk24k24，从而 yP8kk24，点 P 的坐标为k24k24，8kk

42、24 .同理，由yk（x1） （k0） ，yx21（y0） ，得点 Q 的坐标为(k1，k22k)AP2kk24(k，4)，AQk(1，k2)APAQ，APAQ0，即2k2k24k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得 k83.经检验，k83符合题意，故直线 l 的方程为 y83(x1)方法二：若设直线 l 的方程为 xmy1(m0)，比照方法一给分18 、2014天津卷 设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，上顶点为 B.已知|AB|32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1

43、，经过原点 O 的直线 l 与该圆相切，求直线 l 的斜率18解：(1)设椭圆右焦点 F2的坐标为(c，0)由|AB|32|F1F2|，可得 a2b23c2.又 b2a2c2，则c2a212，所以椭圆的离心率 e22.(2)由(1)知 a22c2，b2c2.故椭圆方程为x22c2y2c21.设 P(x0，y0)由 F1(c，0)，B(0，c)，有F1P(x0c，y0)，F1B(c，c)由已知，有F1PF1B0，即(x0c)cy0c0.又 c0，故有 x0y0c0.又因为点 P 在椭圆上，所以x202c2y20c21.由和可得 3x204cx00.而点 P 不是椭圆的顶点，故 x043c.代入得

44、 y0c3，即点P 的坐标为4c3，c3 .设圆的圆心为 T(x1，y1)，则 x143c0223c，y1c3c223c，进而圆的半径 r（x10）2（y1c）253c.设直线 l 的斜率为 k，依题意，直线 l 的方程为 ykx.由 l 与圆相切，可得|kx1y1|k21r，即|k2c3 2c3|k2153c，整理得 k28k10，解得 k4 15，所以直线 l 的斜率为 4 15或 4 15.21 、2014浙江卷 如图 16，设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P，且点 P 在第一象限(1)已知直线 l 的斜率为 k，用 a，b，k 表示点

45、P 的坐标；(2)若过原点 O 的直线 l1与 l 垂直，证明：点 P 到直线 l1的距离的最大值为 ab.图 1621解：(1)设直线 l 的方程为 ykxm(kb0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上，DF1F1F2，|F1F2|DF1|2 2，DF1F2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点， 且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径图 1421解：(1)设 F1(c，0)，F2(c，0)，其中 c2a2b2.由|F1F1|DF1|22得|DF1|F1F2|2 222c.从而 SDF1F2

46、12|DF1|F1F2|22c222，故 c1.从而|DF1|22，由 DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|292，因此|DF2|3 22，所以 2a|DF1|DF2|2 2，故 a 2，b2a2c21.因此，所求椭圆的标准方程为x22y21.(2)如图所示，设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆x22y21 相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆 C 的切线，且 F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2，|P1P2|2|x1|.由(1)知 F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1P1(x11，y1)，F

47、2P2(x11，y1)再由 F1P1F2P2得(x11)2y210.由椭圆方程得 1x212(x11)2，即 3x214x10，解得 x143或x10.当 x10 时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在当 x143时，过 P1，P2分别与 F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心 C.由 F1P1，F2P2是圆 C 的切线，且 F1P1F2P2，知 CP1CP2.又|CP1|CP2|，故圆 C 的半径|CP1|22|P1P2| 2|x1|4 23.H6H6双曲线及其几何性质双曲线及其几何性质9 、2014湖北卷 已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF

48、23，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.4 33B.2 33C3D29A解析 设|PF1|r1，|PF2|r2，r1r2，椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，椭圆、双曲线的离心率分别为 e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得 r1r22a1，r1r22a2，平方得 4a21r21r222r1r2，4a22r212r1r2r22.又由余弦定理得 4c2r21r22r1r2，消去 r1r2，得 a213a224c2，即1e213e224.所以由柯西不等式得1e11e221e1133e221e213e22113 163.所以1e11e24 33.故选 A.112014北

49、京卷 设双曲线 C 经过点(2，2)，且与y24x21 具有相同渐近线，则 C 的方程为_；渐近线方程为_11.x23y2121y2x解析 设双曲线 C 的方程为y24x2，将(2，2)代入得224223，双曲线 C 的方程为x23y2121.令y24x20 得渐近线方程为 y2x.92014全国卷 已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1，F2，点 A 在 C 上若|F1A|2|F2A|，则 cosAF2F1()A.14B.13C.24D.239A解析 根据题意，|F1A|F2A|2a，因为|F1A|2|F2A|，所以|F2A|2a，|F1A|4a.又因为双曲线的离心率 eca2，所以

50、c2a，|F1F2|2c4a，所以在AF1F2中，根据余弦定理可得 cosAF2F1|F1F2|2|F2A|2|F1A|22|F1F2|F2A|16a24a216a224a2a14.19 、2014福建卷 已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别为 l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线 E 的离心率(2)如图 16，O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1，l2于 A，B 两点(A，B 分别在第一、四象限)，且OAB 的面积恒为 8.试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在，说明理由图 1619解：

51、方法一：(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y2x，y2x，所以ba2，所以c2a2a2，故 c 5a，从而双曲线 E 的离心率eca 5.(2)由(1)知，双曲线 E 的方程为x2a2y24a21.设直线 l 与 x 轴相交于点 C.当 lx 轴时，若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a.又因为OAB 的面积为 8，所以12|OC|AB|8，因此12a4a8，解得 a2，此时双曲线 E 的方程为x24y2161.若存在满足条件的双曲线 E，则 E 的方程只能为x24y2161.以下证明：当直线 l 不与 x 轴垂直时，双曲线 E：x24y2161 也满足条

52、件设直线 l 的方程为 ykxm，依题意，得 k2 或 k2，则 Cmk，0.记 A(x1，y1)，B(x2，y2)由ykxm，y2x得 y12m2k，同理得 y22m2k.由 SOAB12|OC|y1y2|，得12|mk|2m2k2m2k|8，即 m24|4k2|4(k24)由ykxm，x24y2161得(4k2)x22kmxm2160.因为 4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因为 m24(k24)，所以0，即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点因此，存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E，且 E 的方程为x24y2161.方法二：(1)同方法一

53、(2)由(1)知，双曲线 E 的方程为x2a2y24a21.设直线 l 的方程为 xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意得12m12.由xmyt，y2x得 y12t12m， 同理得 y22t12m.设直线 l 与 x 轴相交于点 C，则 C(t，0)由 SOAB12|OC|y1y2|8，得12|t|2t12m2t12m|8.所以 t24|14m2|4(14m2)由xmyt，x2a2y24a21得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因为 4m212 或 k2.由ykxm，4x2y20得(4k2)x22kmxm20，因为 4k20，所以 x1x2m24k2，又因为OAB 的面积为

54、 8，所以12|OA|OB| sinAOB8，又易知 sinAOB45，所以25x21y21 x22y228，化简得 x1x24.所以m24k24，即 m24(k24)由(1)得双曲线 E 的方程为x2a2y24a21，由ykxm，x2a2y24a21得(4k2)x22kmxm24a20.因为 4k20，直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当4k2m24(4k2)(m24a2)0，即(k24)(a24)0，所以 a24，所以双曲线 E 的方程为x24y2161.当 lx 轴时，由OAB 的面积等于 8 可得 l：x2，又易知 l：x2 与双曲线 E：x24y2161 有且只有一个公

55、共点综上所述，存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E，且 E 的方程为x24y2161.4 2014广东卷 若实数k满足0k9， 则曲线x225y29k1与曲线x225ky291的()A焦距相等B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等4A解析 本题考查双曲线的几何性质，注意利用基本量的关系进行求解0k0，25k0.对于双曲线x225y29k1，其焦距为 2 259k2 34k；对于双曲线x225ky291，其焦距为 2 25k92 34k.所以焦距相等21 、 、 、2014湖南卷 如图 17，O 为坐标原点，椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率

56、为 e1；双曲线 C2：x2a2y2b21 的左、右焦点分别为 F3，F4，离心率为 e2.已知 e1e232，且|F2F4| 31.(1)求 C1，C2的方程；(2)过 F1作 C1的不垂直于 y 轴的弦 AB，M 为 AB 的中点当直线 OM 与 C2交于 P，Q两点时，求四边形 APBQ 面积的最小值图 1721解： (1)因为 e1e232，所以a2b2aa2b2a32，即 a4b434a4，因此 a22b2，从而 F2(b，0)，F4( 3b，0)，于是3bb|F2F4| 31，所以 b1，a22.故 C1，C2的方程分别为x22y21，x22y21.(2)因 AB 不垂直于 y 轴

57、，且过点 F1(1，0)，故可设直线 AB 的方程为 xmy1，由xmy1，x22y21得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2是上述方程的两个实根，所以 y1y22mm22，y1y21m22.因此 x1x2m(y1y2)24m22，于是 AB 的中点为 M2m22，mm22 ，故直线 PQ的斜率为m2，PQ 的方程为 ym2x，即 mx2y0.由ym2x，x22y21得(2m2)x24，所以 2m20，且 x242m2，y2m22m2，从而|PQ|2 x2y22m242m2.设点 A 到直线 PQ 的距离为 d， 则点 B

58、 到直线 PQ 的距离也为 d， 所以2d|mx12y1|mx22y2|m24.因为点 A，B 在直线 mx2y0 的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而 2d（m22）|y1y2|m24.又因为|y1y2| （y1y2）24y1y22 2 1m2m22，所以 2d2 2 1m2m24.故四边形 APBQ 的面积 S12|PQ|2d2 2 1m22m22 2132m2.而 00)的右焦点为 F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，AFx 轴，ABOB，BFOA(O 为坐标原点)图 17(1)求双曲线 C 的方程；(

59、2)过 C 上一点 P(x0，y0)(y00)的直线 l：x0 xa2y0y1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x32相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时，|MF|NF|恒为定值，并求此定值20解：(1)设 F(c，0)，因为 b1，所以 c a21.由题意，直线 OB 的方程为 y1ax，直线 BF 的方程为 y1a(xc)，所以 Bc2，c2a .又直线 OA 的方程为 y1ax，则 Ac，ca ，所以 kABcac2acc23a.又因为 ABOB，所以3a1a 1，解得 a23，故双曲线 C 的方程为x23y21.(2)由(1)知 a 3，则直线 l 的方程为x0 x3y0

60、y1(y00)，即 yx0 x33y0(y00)因为直线 AF 的方程为 x2，所以直线 l 与 AF 的交点为 M2，2x033y0，直线 l 与直线x32的交点为 N32，32x033y0，则|MF|2|NF|2（2x03）2（3y0）21432x032（3y0）2（2x03）29y20494（x02）243（2x03）23y203（x02）2.又 P(x0，y0)是 C 上一点，则x203y201，代入上式得|MF|2|NF|243（2x03）2x2033（x02）243（2x03）24x2012x0943，所以|MF|NF|232 33，为定值42014新课标全国卷 已知 F 为双曲线