高斯平面直角坐标

1、第八章 高斯平面直角坐标1 正形投影的基本公式一、地图投影的概念1.投影的必要性及其方法 投影的必要性：测量工作的根本任务，是测定地面点的坐标和测绘各种地形图。因：1）椭球面上计算复杂；2）地图是画在平面图纸上，故，有必要将椭球面上的坐标、方向、长度投影到平面上。投影的方法：按一定的数学法则，得到如下的解析关系（函数关系）xF1(B，L)yF2(B，L)式中 B，L椭球面上的大地坐标 x，y投影平面上的直角坐标按高斯投影方法得到的平面直角坐标x，y叫高斯平面直角坐标。2.投影的分类椭球面是不可展开的曲面（圆柱，圆锥面是可展开曲面）。若展开成平面，必产生变形。投影按变形的性质可分为： 等距离投影

2、投影后地面点见的距离不变 等面积投影保证投影后面积不变 等角投影投影后微分范围的形状相似3.测量采用的投影测量工作从计算和测图考虑，采用等角投影（又称正形投影、保角投影）。其便利在于：1）可把椭球面上的角度，不加改正地转换到平面上。（注：椭球面上大地线投影到平面上亦为曲线。为实用，需将投影的曲线方向改正为两点间弧线方向，称方向改化。方向改化是在平面上为实用而做的工作，非投影工作。且：改化小，公式简单；只在等级控制改化，图根控制、测图不顾及） 椭球面上 投影面上 B Bdc da dc da A C A C db db 2）因微分范围内投影前后图形相似，则大比例尺图的图形与实地完全相似，应用方便

3、。二、正形投影1.正形投影的特性有微分三角形如图：对于保角投影：AA ；BB ；CC所以长度比 故，正形投影在一个点（微分范围）上，各方向长度比相同。即投影后保持图形相似。例如下图，对一个任意形状的微小图形，总可以取一个边数极多的中点多边形逼近它，对于正形投影： a a b b o o e e c c d d 但上述特点只在微分范围内成立。在广大范围内，投影前后图形保持相似是不可能的（否则意味着椭球面可以展开）。因此，在大范围内，各处的长度比m必定不同。结论：正形投影的特性：长度比m与方向无关，但随点位而异。2.正形投影基本公式（充要条件） l+dl L G l B+dB P2 B dS P1

4、 特定子午线 设椭球面上有无限趋近的两点P1，P2椭球面上：P1(B，L)P2(BdB，LdL)大地线长度dS投影面上：p1(x，y)p2(xdx，ydy)大地线长度的投影ds x P2 ds P1 y o投影长度比为：下面分别推导上式中dS和ds：（dS和ds为曲线，但对微分线段，将其看成各自三角形的斜边）dS2(MdB)2(NcosBdl)2(MdB)2(rdl)2r2(dB)2(dl)2引入等量纬度， 则dq()dB（引入等量纬度纯粹为了推导公式方便）dS2r2(dq)2(dl)2 另： xF1(B，L)yF2(B，L) 因q与B有确定的关系，l与L有确定的关系，所以有：xf1(q，l)

5、yf2(q，l) 微分得： 故： P2 MdB A 90-A P1 rdl令： 则： ds2Edq22Fdq.dlGdl2故： 由微分三角形知： 所以： dldqtanA 将代入得：欲使投影为正形投影，长度比m应与方向(A)无关。为此：令：F0 ；EG 即： 则上式为： （可看出m与方向无关）由式可解得： 式代入得： 式开平方得： 取正号代入得： （注：式取正号意义是：选取椭球面和平面坐标轴方向时，要求在经线方向上q增加时，平面上x也增加；沿纬线方向l增加时，y也增加）故，椭球面到高斯平面上的正形投影公式（柯西黎曼方程）：（此即正形投影的充分必要条件）3.证明复变函数xiyf(qil)当f存在

6、、且0时亦为正形投影证明如下：基本投影公式 xF1(B，L)yF2(B，L)亦可写成 xf1(q，l)yf2(q，l)用复变函数形式写出为 xiyf(qil) （qil 复变数；）令 xiyzqilu则 zf(u) 求导 由、式可得 因 zxiy故 将、式代入式得 式虚实分开 此即柯西黎曼方程。证毕。练习及作业：1、阅读 8.1，8.22、理解： 、投影的必要性及方法。、投影的分类及测量采用的投影类型。、正形投影的特性。2 高斯投影及高斯平面直角坐标一、高斯投影的一般解释及其特性1.高斯投影的几何意义 x 中 央 子 午 线 y 边 缘 子 午 线 N p1 s P1 S p2 P2 o 赤道

7、 S 高斯投影的几何意义是横轴椭圆柱正形投影。设想一横椭圆柱面套在椭球上，与某一子午线（称轴子午线或中央子午线）相切。椭圆柱的中心轴通过椭球中心，且与椭球短轴垂直。2.高斯投影的特性高斯投影是正形投影；中央子午线投影后应为x轴，且长度不变。3.高斯投影的一般解释轴子午线投影到椭圆柱面上展开为x轴。以O为投影中心，将赤道上各点投影到椭圆柱面上，为一长度变形直线。它垂直于x轴，称为y轴。椭球上任一段大地线S，以O为投影中心在横椭圆柱上投影为s，sS。长度变形m-1恒为正（轴子午线投影除外）。椭球上大地点P的坐标(B，L)，与投影后的坐标(x，y)，在B，L和x，y之间建立函数关系，即高斯投影。将中

8、央子午线东西各一定的经差（6、3、1.5）范围投影到椭圆柱面上，展开后构成高斯平面直角坐标系；每个投影带构成一个独立的坐标系统，各带的计算具有一样性。4.控制网从椭球面上投影到高斯平面上的投影计算工作起算数据投影椭球面上已知元素：P1（B1，L1）；S；A12；投影到高斯平面上：p1(x1，y1)；s；A12；（平面上方位角为：T12A12r；r：平面子午收敛角；：方向改化） P2 S 轴 A12 P4子 午 P1线 (B1,L1) P3 道 赤 x 轴 p2 子 午 T12 线 A12 投 s p4 影 p1 (x1,y1) 赤道投影 p3 y观测数据计算：二、高斯投影正算由大地坐标B、L计

9、算平面坐标x、y1.高斯正算基本公式高斯正算公式应满足高斯投影的特性。首先，应满足正形投影。取投影基本公式为：xiyf(qil) 因l在6带里最大为3，是微小量，所以，f(qil)可用台劳级数展开：（台劳级数一般形式：f(x)f(x)f(x)(1/2)2f(x)(1/3!)3f3(x)）故有： 轴 x 子 午 线 D d X x o y 设图中，轴子午线上D投影为d；D的子午线弧长为X；d的纵坐标为x。若满足高斯投影中央子午线投影为x轴，且长度不变的特性，即：l0时，y0；且xiyf(qil)为：xf(q)X台劳展开xiyf（qil），并顾及上式：将上式虚实两部分分开，得高斯正算基本公式：2.

10、高斯正算实用公式由基本公式推导实用公式如下：一阶导数 （因dXMdB；dq()dB）二阶导数 继续求各阶导数，将X对q的各阶导数代入基本公式，得高斯正算实用公式 (8-41，8-42)式中：ttanB ；e 2cos2B由上式可知：1）当B0（X0）时，x0（赤道投影为一直线）2）当l0时，y0（轴子午线投影为一直线x轴）xX（轴子午线投影，长度不变）3）当l常数， B，y B常数， l，x（8-42式计算精度可达1mm）三、高斯投影反算（由平面直角坐标x、y反算大地坐标B、L） x Bff B(0) B d(x,y) Xo y 有时要跨带计算两点间的距离S，这时根据两点的大地坐标，在椭球上解

11、算更为方便；有时要用反算检核正算的正确性。故推导反算公式如下。见图。过d(x，y)点的纬度为B，对应纬度B，轴子午线弧长为X，有Xf(B)；对应d点的纵坐标，即d点在x轴的垂足f，纬度为Bf（称底点纬度或垂足纬度）。高斯投影反算，必满足xiyf(qil)之反函数式，即 qilj(xiy)y为小量，上式可在d的底点f处台劳展开根据高斯投影条件：中央子午线投影为x轴，且长度保持不变，有y=0，则l=0，即ql=0= j(x )，且x=Xf ，故ql=0= j( Xf )=qf ，于是上式改写成根据，推导出各阶导数代入上式，并将虚实分开得实际应用上式时，还应把q-qf换成B-Bf（过程可参见武测、同

12、济合编控测下），经整理得式中，Bf是底点f的大地纬度，可根据x值（f点的子午弧长）由子午弧长公式反解求得。子午线弧长反解公式详见朱华统教授著常用大地坐标系及其变换第二章，第五节，P47、P48;或教材P18，7.4.2式7-109，7-110。四、平面子午收敛角的计算 x 切线 坐 子 标 午 北 线 投 影 B0 平行圈投影 切线 dx P dy y o平面子午收敛角定义：通过P点的子午线投影在平面上有一切线，该切线与坐标北的夹角为平面子午线收敛角。由右图知 又 xf1(B，L)yf2(B，L)有 图中：BCt（常数）0，故dB0故 由正算公式 分别对l求导，代入上式得 为使用方便，变换形式

13、。令：tang u ，则g arctan u ，展开得g u(1/3)u3(1/5)u5即 将式代入上式，整理得平面子午线收敛角计算公式 8-81rdl=NcosBdl dy 平行圈 子 MdB 午 dx 线 dS ds （注：g 为奇函数，与l符号一致）五、长度比、长度变形及投影带的划分1.长度比和长度变形定义：投影的长度比为投影的长度变形为m1由右图微分三角形知：由正算公式 得 由子午线收敛角推导知 将、式代入m2式，则用B，L（lLl0）计算长度比的公式为 将反算公式 代入上式，得 顾及，(ecosB是微小值)；N 4R4；则用x、y计算长度比的公式为 由、式可以表明：1）长度比m随点的

14、位置而异，但在一点上与方向无关； G 0 3 6 9 12 15 18 2）当l0，y0时，m1，即中央子午线投影的长度不变；3）l0，y0时，m1，即s总是大于S（中央子午线除外）；4）变形与l2、y2成比例地增大，即愈远离轴子午线，变形愈迅速增大。2.投影带的划分投影带的划分长度变形是客观存在的，不能将它完全消除，只能对其合理地加以限制，使其在用图和测图时影响很小，以致可以忽略。为此采用分带投影，即：取轴子午线两侧适当范围（两条边缘子午线为界），投影到与轴子午线相切横椭圆柱面上。而该范围以外地区，另设中央子午线投影。以此控制投影后长度变形不超过一定限度。我国国家投影带为六度带和三度带，三度

15、带是六度带的加密，如图：根据式，长度变形m1(1/2)l2cos2B（取该式主项），算得在我国北纬B20以南地区，位于六度带边缘处（l3），长度变形可达1/820。故，只有1/2.5万至1/10万国家基本图才采用六度带。而1/万地形图在六度带边缘地区图廓长度约5km，则长度变形约6m，引起图上0.6mm变形，这是绝对不允许的，故1/万或更大比例尺地形图规定采用三度带。北纬B20处，三度带边缘地区（l1.5），变形约为1/3300，对1/2000地形图，图廓长度约1km，将引起0.3m的变形，图上变形0.15mm，勉强满足1/2000地形测图的要求。对1/1000、1/500地形图，根据其长度变

16、形情况（测区B、L），往往采用1.5度带或独立投影带。高斯投影带带号和中央子午线的关系：1）已知带号求中央子午线经度：设中央子午线经度为L0，若已知带号（六度带）N和（三度带）n，则：六度带：L06N3三度带：L03n2）已知点的经度L求其带号：六度带：N(L3)/6 三度带：nL/3（按四舍五入取整数确定带号）坐标算法的规定：为避免y值出现负号（我国位于北半球，x均为正），造成抄录成果出错，规定在y值上人为地加上500km；为了区别不同投影带，前面再冠以带号（我国领土经度自东经75135，按6带，包含1323带；按3带，包含了2446带，相互无重合。因此，观其带号，不须注明即可知是6带亦或3

17、带）例：y20499799.75m，该点在6带第20带， y-200.25m。y36517148.26m，该点在3带第36带， y17148.26m。投影带的重叠度为了拼图和使用方便，规定每六度带向东加宽30，向西加宽15或7.5，从而保证在重叠部分有两套坐标和两套地形图。练习及作业：1、阅读：、教材8.1-8.5。、高斯-克吕格投影坐标计算表2、思考：、高斯投影的几何意义及一般解释。、高斯投影的特性。、高斯投影的计算工作包括那些？、我国投影带采用的幅宽为多少？如何分带？、测图时如何选用投影带？、推导带号和经度的关系。、坐标写法有何规定？3、作业：已知：B350442.9854，L118224

18、9.9705，进行高斯投影正算，并以反算进行检核。（分别按克氏椭球和IAG-75椭球计算）3 椭球面上的观测结果化归到高斯平面上控制网由椭球面归化到高斯平面上的内容有：起算数据：P1(L1，B1)p1(x1，y1) A12A12 ；使用T12A12g 112S12s12观测数据：likLiklikik A A a c a c b b b B b B g a g a C C在国家三四等及城市、工程控制网中，往往起算坐标和方位角，均为高斯平面上数值。实际工作中只遇到大量方向改化的计算和一定数量的距离改化计算。一、方向改化d 的计算1.球面角超的概念对于球面闭合三角形abg180e球面角超eabg1

19、80球面角超数值的概念abc2km时，0.009abc10km时，0.22abc50km时，5.48球面角超的计算：由球面三角可知 式中 F球面三角形的面积，R球面平均曲率半径由球面三角面积公式 故 式中 R球面的曲率半径a平面归化角根据洛戎德尔定理 aa/3bb/3gg/3在计算时，平面归化角a还是未知数，故可用a代替a，两次趋近求：1）用a代替a计算的第一次近似值1，得平面归化角近似值a 1= a1/3，2）用a 1代替a计算 的第二次近似值。当17、边长90km时，式中第二项为小项，可以忽略不计，且可用a、b、g代替平面归化角a、b、g，即： 轴 子 P2 午 F2 线 F1 P12.方

20、向改化的计算方向改化近似公式(推导中有三点近似)如下：近似：设椭球为一直径为R的圆球，则：球面上四边形（两大圆弧之间）的内角和为：218012投影到平面上四边形的内角和为：21801221因为是高斯投影（正形投影）。故投影后保证 x P2(x2,y2) P1(x1,y1)2180122180|12|21|即 12|12|21|近似：设|12|21| 则 122故： 近似：设两球面面积，等于两平面面积，则 （）以上讨论的是绝对值。考虑到符号，（下式可直接加到方向值上）的计算公式如下： （上式适用三等以下网）2 B B CC 3 A A 1详细公式 （上式适用二等网）由上式可知，大地线在平面上的投

21、影凹向轴子线。为了对方向改化有一个数值的概念，参见p82，表8-5。3.方向改化的检核因 AA(1312) AABB(2123) BBCC(3231) CC所以 ABCABCABC即 180180ABC故 ABC-4.计算方向改化所需坐标x、y的精度已知 微分得 若令 d(x1x2)dymdP则 对于二等网，方向值精确到0.1，改正数取至0.01。取：d0.01；ym350km（6带边缘）；R6370 km；(x1x2)13 km算得：dP10.8 m 故：近似坐标取至10m，计算过程中取至米即可。 对于三、四等网，方向值精确到1，近似坐标取至100m，计算过程中取至10m已足够了。二、距离改

22、化的计算 x D dD s ds y 将椭球面上的大地线长度归化为平面上的弦线长度，此即为距离改化。1.投影后的曲线s与两点间的直线D的长度关系取距离的微分段如图： ；dDcosds 又： 可知： max (方向改化) 故： （此项极小）所以cos1，即Ds，亦即：大地线的投影s可做为弦线长度D。2.距离改化的计算由Simpson近似积分公式，将积分区间n 等分时将积分区间二等分时 y y0 y1 y2 yn y=f(x) h h o a b x x0 x1 x2 xn x m2 P2 s/2 mm Pm m1 s/2 P1 y o 设有大地线如图 ；dsm dS 利用Simpson积分（积分

23、区间二等分）将长度比代入上式得式中 ym(y1y2)/2 y(y2y1)故，距离改化 上式当S70km，ym350km时，计算误差1mm，适用一等边长。二等边长的实用公式，即将上式中ym4项舍去；三、四等边长的实用公式，可进一步将y2项舍去。3.计算所需近似坐标的精度由距离改化的主项微分得根据城市测量规范，取dS0.1mm（二等）；dS1mm（三等），S9km（二等）；S5km（三等），取Rm6371km，ym350km，则dym(二等)1.29m ；dym(三等)23m故，在计算近似坐标时，二等应正确至米，计算过程中取至分米；三等、四等可正确至10m，计算过程中取至米。练习及作业：1、阅读8

24、.6，8.72、思考、椭球面上元素化算到高斯平面上都有哪些？、什么是方向改化？其公式形式？、大地线投影在高斯平面上是什么形状？何以证明？、方向改化计算如何检核？、什么是距离改化？其公式形式？、方向、距离改化所用近似坐标精度如何？如何推算？4 相邻投影带的坐标换算一、相邻投影带的坐标换算的实质解决相邻带之间的联系。即：已知P点西带坐标x1、y1，求其东带坐标x2、y2；已知P点东带坐标x2、y2，求其西带坐标x1、y1。二、相邻带换算的用途1、A点的坐标换算到第带，统一到第带网中使用。（66、33）2、将较宽带坐标换算到较窄带上，得到较小的长度变形。（63、31.5、1.5独立带等） l1 l2

25、 y1 y2 x1 x2 西带轴子午线东带轴子午线边缘子午线 A 轴 边缘 轴 边缘 轴 三、坐标换算方法1.间接法坐标换算程序为：x1，y1反算B，l1B，l2正算x2，y2。 +l -l y1 y2 y2 x1 x2 x2 西带轴子午线东带轴子午线边缘子午线此方法经过正、反两次运算，工作量较大。但目前应用电算，工作量大已不成问题。2.直接法直接法公式推导思路如下：变“一点两带”问题，为“两点一带”问题选一与P1对称于边缘子午线的“对称点”P2，如图。B2B1；ll；P1点东带的坐标为x2，y2；P2点在西带的坐标为x2，y2。由图可知 x2x2；y2y2故，换带计算求x2，y2，归结为求x

26、2，y2。变坐标换算为坐标增量计算在边缘子午线上，选取辅助点M（x0，y0），辅助点是已知的。因P1、P2对分界子午线对称，所以M P1MP2S；A M P1A1，A MP2360A1 ；x0，y0及0可按半带经差及选定之B0算出。由图可知： N 分 带 子 午 B=常数 线 P2 360-A1 P1 S S A1 M x N 0 p2 (x2,y2) D2 西 p1 2 带 (x1,y1) D1 M0(x0,y0) ox1x1x0D1cosT1y1y1y0D1sinT1 (1)x2x2x0D2cosT2y2y2y0D2sinT2 (2)式中：Ti弦长Di的坐标方位角，为方便，选M点时使T12

27、70。代入（1）有x1x1x00y1y1y0-D1 (3)又 T2A202(360A1) 02(360(T10) 0290(20 2) (4)至此，求出2则由(4)式可求得T2。若再求得D2，则可由(2)式求得x2，y2，从而求出x2，y2，进而求出x2，y2。由距离改化公式； 两式相除，忽略四次方以上各项，得略去项，得 (5)将（3）（4）（5）式代入（2）式，得 (6)而 sin(202)sin20cos202 (7)又 略去项，得 2(y0/2R2)x2 (8)将（7）（8）代入（6）得同理 (9)（9）式含未知数x2，y2不能直接应用，可用逐次趋近法（以（9）右端第一项作为x2，y2的

28、近似值代入上式）求解。由图（a）（c）可知：x2x0x2y2(y0y2) 在上面公式推导中，只推求了公式的主项，实际上公式的系数要复杂得多。为方便实用，已编制出高斯-克吕格坐标换带表，供66、63、33之间换算。四、应用换带表进行换带计算的实用公式1.查表法换带计算公式（保证1mm坐标精度）对3带换带表，y180km；对6带换带表，y160km，采用严密（修正项）公式如下x2x1m(m1m2y1)y1y1xy2y0n(n1n2y1)y1y1y对3带换带表，y180km；对6带换带表，y160km，采用修正项为公式如下x2x1（mm1y1）y1xy2y0（nn1y1）y1y 式中 x1，y1已知

29、点P的坐标x2，y2待求坐标（P点在相邻带的坐标）x0，y0辅助点在西带的坐标，x0x1，y0永为正值（以x1为引数查表方法见下）m、m1、m2、n、n1、n2换带系数，以x1为引数查表x、y、x、y坐标修正项，以x1，y1为引数查表y1y1y0 (y1即P点y坐标自然值)2.符号说明西东，规定：y1y1y0东西，规定：y1y1y0西东，计算得y2应为负值；东西，计算得y2应为正值。3.查表方法例： y0表列y0Xkmy0d(y0) （以x1为引数查表）式中 Xkm已知点的纵坐标x1，与略小于x1的表列引数之差y0对应每公里Xkm，y0 的变化值d(y0)y0的修正值参见武测、同济合编教材下册

30、P129：y180km，采用修正项的公式以3274km查取表列y0值：145353.1538；y012.9244(m)X1.110535km=1110.535m，以Xm引数查右边小表得：d(y0)=0.0020m代入上式得：y0145338.7986y1y1y090.0984344km (80km)至此，根据y1是否大于80km，确定用修正项（或）公式。练习及作业：1、阅读、参考阅读：教材8.8、孔祥元，梅是义主编控制测量学P333，7.8、借阅高斯-克吕格坐标换带表2、思考、什么是换带计算?、相邻带换算的用途、什么是间接换算方法?、如何用电算换带?、如何用查表法换带?3、参考阅读武测、同济合

31、编控测教材（下）P128“始6，按”5 工程测量投影面与投影带选择的概念一、工程测量中投影面和投影带选择的基本出发点1.投影变形的概念边长归算到椭球面上的变形影响变形 (1)式中 Hm归算边平均大地高S归算边的长度R归算边方向法截弧曲率半径相对变形 (2)上两式计算值(S1km，R6370km)列入下表：Hm/m10204080160100020003000S1/mm-1.6-3.1-6.3-12.6-25.1-157-314-472S1/S1/63.7万1/31.8万1/15.9万1/7.9万1/3.9万1/6.3千1/3.1千1/2.1千可知边长归算到椭球面上总是缩短，其影响与Hm成比例。

32、将椭球面上边长改化到高斯平面上的变形影响变形 (3)式中 ym归算边两端横坐标平均值S椭球面上边长相对变形 (4)上两式以S1km，R6375.9km(B=4152)计算值列入下表：ym/km1020304050607080150S2/mm1.24.911.119.730.744.360.3078.7276.7S2/S1/81万1/20万1/9万1/5万1/3.2万1/2.2万1/1.6万1/1.2万1/3.5千可知，边长投影到高斯平面上，总是增大。离中央子午线越远，变形越大。其影响与ym平方成正比。2.工程控制网对长度变形的要求一般施工放样方格网和建筑轴线测量精度为1/50001/20000。由归算引起的长度变形应小于其1/2，即相对变形应小于1/100001/40000，也即每公里归算长度改正数，不应大于10cm2.5cm。3.工程测量投影面和投影带选择的基本