专题16常数项级数2020考研快乐人获取

1、专题 16：常数项级数的敛散性(一)级数的概念与性质1级数的定概念设un 是一数列，则表达式unn =1= u1 + u2 +L+ un +Ln称为无穷级数，简称级数. sn = ui 称为级数的部分和.若部分和数列sn 有极限 s, 即i =1lim sn = s ，则称级数un 收敛，并称这个极限值 s 为级数un 的和，记为un = s .nn =1n =1n =1 n如果极限lim s 不存在，则称级数u 发散.nnn =12级数的性质1）若级数un 收敛于 s, 则级数kun 也收敛，且其和为 ks.n=1n =12）若un 和 vn 分别收敛于 s,s ，则(un vn ) 收敛于

2、 s s .n=1n=1n =1【注】1）若un 收敛， vn 发散，则(un vn ) 必发散；n =1n=1n=12）若un 和 vn 都发散，则(un vn ) 敛散性不定.n=1n=1n =13) 在级数中去掉、加上或改变有限项，改变级数的敛散性.4) 收敛级数加括号仍收敛且和不变.【注】1)若级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛；2)若级数加括号以后发散 则原级数一定发散.5)(级数收敛的必要条件) 若级数un 收敛，则lim un = 0 .n n=1【注】1）若 lim un = 0 ，则级数un 不一定收敛；n n=112）若 lim un 0 ，则级数un 一定发散.nn=1

3、（数的审敛准则1正项级数( un , un 0 )n=1基本定理： un 收敛 sn 上有界。n=11)比较判别法：设un vn ,则 vn 收敛 un 收敛.n=1n=1un n=1发散 vn 发散.n=1un2)比较法极限形式：设lim= l(0 l +)vnn若0 l 1 时收敛，当 p 1时发散;1)pn2)aqn . 其中a 和 q 为正数，当 q 1 时收敛，当 q 1 时发散.n =1收敛,r 1,r = 1,u3)比值法:若lim n+1 = r ,则u发散,nunnn=1不一定,2收敛,r 1,r = 1,4)根值法: 若lim n un = r ,则un 发散,n不一定,n

4、=12.交错级数( (-1)n-1 u , u 0 )nnn=1莱不尼兹准则: 若(1) un 单调减;(2) lim un = 0 ,n则(-1)n-1 u 收敛.nn=1【注】u 单调减,lim u = 0 是级数(-1)n-1 u收敛的充分条件，但非必要条件.如交nnnnn=1(-1)n-11错级数收敛，但un =并不递减.n +(-1) nn +(-1) nn =1 223. 任意项级数( un , un 为任意实数)n=11)绝对收敛与条件收敛概念（1）若级数 unn =1收敛，则un 必收敛，此时称级数un 绝对收敛；n=1n=1（2）若级数un 收敛，但 un发散，此时称级数un

5、 条件收敛；n=1n=1n =12)绝对收敛和条件收敛的基本结论（1）绝对收敛的级数一定收敛,即| un | 收敛 un 收敛.n =1n =1（2）条件收敛收敛的级数的所有正项(或负项)的级数一定发散.un + | un |un - | un |un n=1条件收敛 n=1和n=1即:发散.22典型例题a【例 1】级数(-1) 1 - cos（常数a 0 ）（ ）.nn n =1（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 有关3，则级数（）.1【例 2】设u = (-+1)nln1nn （A） un =1（B） un =1 n22与u 都收敛与u 都发散n =1nnnn =1（C）

6、 un =1（D） un =1 n22收敛u 而发散发散u 而收敛n =1nnnn =1【例 3】下列选项正确的是（）.（A）若u 和v 都收敛，则(u + v )2 收敛22nnnnn =1n =1n =1（B）若 | u v |收敛，则u 与v 都收敛n n22n nn =1n =1n =11n n（）若正项级数u 发散，则u nn =1（）若级数un 收敛，且un vn (n = 1,2,L) ，则级数vn 也收敛n =1n =11【解】 因为(un + vn ) =(u + v + 2unvn ) ，又 unvnn n222(u + v ) ，所以2u v22nnnn2n =1n =1

7、n =1也收敛，故（A）.p n) ，且a 收敛，常数l 0,，则级数【例 4】设an 0(n = 1,2,3,L2n =1ln =1(-n1)n tanan 2n （）（C）绝对收敛（D）收敛性与l 有关（A）发散（B）条件收敛4【解】 因正项级数an 收敛，则a2n 也收敛. 又n =1n =1ln tanan 2nl= lim n tan= l, l 0 .lima2nnnn故由正项级数的比较审敛法知结论为（C）.【例 5】设有以下命题：若(u2n -1 + u2n ) 收敛，则un 收敛n =1n =1若un 收敛，则un +1000 收敛n =1n =1u若lim n+1 1 ，则u

8、n 发散unnn =1若(un + vn ) 收敛，则un ， vn 都收敛.n =1n =1n =1则以上命题中正确的是（ ）.（A）（B）（C）（D）【解】 取u2n -1= 1,u2n = -1 ，则(u2n -1 + u2n ) 收敛，但un 发散；取un = 1, vn = -1，n =1n =1则(un + vn ) 收敛，但un ， vn 均发散，故，错误，（B） 另外，由于级数n =1n =1n =1增加或减少有限项不影响其敛散性，故正确. 若lim un +1 1 ，由性知：存在整数 N ，unn 0, lim un 0 ，从而un 发散，故正确.当 n N 时， un +1

9、 un . 所以lim unnnn =1【例 6】设a 0, n = 1,2,L，若a 发散，(-1)n-1a 收敛，则下列结论正确的是（ ）.nnnn =1n =1（A） a2n -1 收敛， a2n 发散（B） a2n 收敛， a2n -1 发散n =1n =1n =1n =15（C） (a2n -1 + a2n ) 收敛n =1（D） (a2n -1 - a2n ) 收敛n =1【解】由于收敛级数任意加括号后仍收敛， 而将 (-1)n-1a 两两加括号后即得nn =1(a2n -1 - a2n ) ，故n =1（D）.1 2n -1 2n, (a2n -1 + a2n ) 均发散，也n

10、=1特别取an = 0 (n = 1,2,) ，则a,aLnn =1n =1（）.【例 7】若级数an 收敛，则级数（ ）.n =1an + an +1（A） ann =1收敛，（B） (-1) an 收敛（C） anan +1 收敛（D） n收敛2n =1n =1n =1【解】由收敛的数项级数之和仍收敛知（D）.1n n1) an , anan +1 均发散，故（A），（B）取 an = (-1)n,(-n，则a 收敛，但n =1ann =1n =1n =1（C）均不正确.【例 8】设有两个数列an,bn ，若lim an = 0 ，则（ ）n（）当bn 收敛时， anbn 收敛（B）当bn

11、 发散时， anbn 发散n =1n =1n =1n =1n =1 n nn n nb收敛时，a b 收敛n =12 2b发散时，a b 发散n =12 2（C）当（D）当nn1n1，则bn 收敛，但anbn 发散，故（A）不正确；取an = n3 ，【解】 取an = bn = (-1)nn =1n =1b = n ，则b 及 b n n n n2 2均发散，但a b及a b 均收敛，故（B），（D）均不正确.nnnn =1n =1n =1n =1n =1因lim a = 0 ，故a 有界 设 a M ，则a b Mb . 再由2 2222b收敛知bnnnn nnnnnn =1n =1n =

12、16 n n2 2收敛. 故a b 收敛，故n =1（）.【例 9】设un 是数列，则下列命题正确的是（ ）.（A）若un 收敛，则(u2n -1 + u2n ) 收敛n =1n =1（B）若(u2n -1 + u2n ) 收敛，则un 收敛n =1n =1（）若un 收敛，则(u2n -1 - u2n ) 收敛n =1n =1（）若(u2n -1 - u2n ) 收敛，则un 收敛n =1n =1【解】由于un 收敛，则其加括号以后的级数(u2n -1 + u2n ) 也收敛，故（A）.n =1n =1(-1)nn2- a1【例 10】已知级数(-1)n =1n =1nn sin绝对收敛，级

13、数条件收敛，则na11（A） 0 a .（B） a 1.2323（C）1 a .（D） a 1, 故a .a1n22a -2n=1n(-1)nn2- a又级数n =1条件收敛，则0 2 - a 1, 即1 a 2.3综上所述， a a, 则(-1)n-1a 收敛；nn +1nn =17（B）若(-1)n-1a 收敛,则a a；nn +1nn =1（C）若a 收敛,则存在常数 p 1, 使lim npa 存在；nnnn =1（D）若存在常数 p 1, 使lim npa 存在, 则a 收敛 .nnnn =1an1【解】若存在常数 p 1, 使lim n an 存在,即lim存在，而级数收敛，由比较

14、法p1npan=1 nnn的极限形式可知级数an 收敛，故n =1（D）.【例 12】下列级数中发散的是()n11n=1（B） n ln(1+ n ).（A）n3n=1(-1)n +1n!（C） n=2n=1.（D）nln nn(-1)n准则知级数n=2【解】由交错级数的收敛，又ln n1 1ln nn而级数 1 发散，由比较法可知级数 1 发散，故级数 (-1) +1n发散，选（C）.n=2 nn=2 ln nln nn=211【例 13】级数(n=1-n) sin(n + k ) （ k 为常数）( )n +1（B）条件收敛（A）绝对收敛（D）收敛性与 k 有关（C）发散1111【解】由于

15、 (- ) sin(n + k ) -n +1n +1nnn +1 -n1=n n +1n n +1( n +1 +n )81lim n n + 1( n +1 +n )= 12而13n 2n1级数收敛，则原级数绝对收敛，故选（A）.3n=1 n 211【例 14】若级数sin- k ln(1-)收敛，则 k = ( )nnn=2（C） -1.（D） - 2.（A）1.（B） 2.sin 1 - k ln(1- 1 )【解】由于limnn = 1+ k1nn111n1nn=2n=2如果1 + k 0 ，则级数sin- k ln(1-)与级数同敛散，而级数发散，nnn=2则选项（A）(B)(D)

16、都不正确，故（C）.p【例 15】设an =tan xdx ，n401nann =1n =1（2）试证：对任意的常数l 0 ，级数(a + a) 的值；（1）求收敛.nn + 2lnp4011n【证】（1）因为 (an + an + 2 ) =tan x(1 + tan x)dxn2np40tan x = t 11n11=t ndt =n2tan x sec xdx，n(n + 1)nn= i =1n1 (a + a) = 1= 1 - 1 ，Sii + 2ni(i + 1)n + 1ii =11(an + an + 2 ) = lim Sn = 1所以n =1 nn（2）因为ptan x =

17、 tt n1n + 1112 dt t dt =nan =tan xdxn4，0 1 + t009an nl1nl (n + 1)1nl +1 1知收敛，从而收敛.l +1lnnn =1n =1【例 16 】 已知 函数 f (x) 可导， 且 f (0) = 1,0 f (x) 1 . 设数列 x 满足 n2xn+1 =f (xn ) (n = 1,2,L). 证明：（）级数(xn+1 - xn ) 绝对收敛；n=1（） lim xn 存在，且0 lim xn 2.nn【证】（）由于 xn+1 = f (xn ) , 所以f (x )(xn - xn-1 )，其中x 介于 xn 与 xn+1

18、 之间.xn+1 - xn=f (xn ) - f (xn-1 )=又因为0 f (x) 1 , 所以2n-11n=1收敛，所以级数(xn+1 - xn ) 绝对收敛.n=1x2 - x1由于级数n-12（）设级数(xn+1 - xn ) 的前 n 项和为 Sn , 则 Sn = xn+1 - x1.n=1由（）知，极限lim Sn 存在，即lim(xn+1 - x1 ) 存在，所以lim xn 存在.nnn设lim xn = a, 由 xn+1 = f (xn ) 及 f (x) 的连续性，等式两端取极限得 a = f (a).n即 a 是函数 g(x) = x - f (x) 的零点.由于

19、g (0) = -1 0, 其中h (0,2).又 g(x) = 1- f (x) 0, 所以 g(x) 存在唯一的零点，且零点位于区间(0,2) 内，于是0 lim xn 2.n【例 17】设 f (x) 在0,+) 上可导，且 f (x) 0, lim f (x) = 1.x+10（I）证明级数 f (n) - f (n - 1) 收敛，并求其和;n =1（II）证明级数 f (n) 收敛.n =1n【证】（I）令 Sn = f (k ) - f (k -1),则k =1Sn = f (1) - f (0) + f (2) - f (1) +L+ f (n) - f (n -1)= f (n) - f (0)由 lim f (x) = 1可知， lim Sn = 1 - f (0) ，则级数 f (n) - f (n - 1) 收敛，且其和为x+nn =11- f (0).（II）由 f (x) 0 可知， f (x) 在0,+) 上单调减少，又 lim f (x) = 1，则 f (x) 下x+有界.否则 lim f (x) = -, 又x+f (x +1) - f (x) = f (x )(x x x +1)（1）f (x) = 1可知， lim f ( x + 1) - f ( x) =由 limlim f ( x + 1) - lim f