090712数列小结

1、第三章第三章 数列小结数列小结1 1数列的有关概念数列的有关概念2 2等差数列和等比数列等差数列和等比数列3 3数列的通项数列的通项4 4数列的和数列的和一数列的有关概念一数列的有关概念数列也可以看作是一个定义域为自然数集数列也可以看作是一个定义域为自然数集NN或或NN的有限子集的有限子集1 1，2 2，nn的函数当自变的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式就是这一函数的解析式。通项公式就是这一函数的解析式。 两种基本数列两种基本数列等差数列、等比数列等差数列、等比数列，是高考中的必考内容，要熟练掌握这两种是高考中的必考内容，要熟练掌握

2、这两种数列数列的定义、通项公式、前的定义、通项公式、前 n n 项和公式以项和公式以及其性质。及其性质。 数列是数列是按一定次序排列的按一定次序排列的一列数一列数。二等差数列和等比数列二等差数列和等比数列1. 1.通项公通项公式特征式特征)d(naan11等差数列等差数列 等比数列等比数列2.2.前前n n项项和特征和特征2)(1naaSnn ），（ 11)1 (1 qqqaSnn2) 1(1dnnnaSn ) 1( ,11 qqqaaSnn 系数系数k k就是公差就是公差 ,11nnqaabknannnkaa bnanSn 2kkaSnn 是关于是关于n n 的的不含常数项不含常数项的二次函

3、数的二次函数 a a 的的n n 次幂的次幂的系数与常数项系数与常数项互为相反互为相反 数。数。底数底数a a就是公比就是公比 3 3性质性质等差数列等差数列等比数列等比数列pknm mnaadmn mnmnaaq dmnaamn)( mnmnqaa pkmnaaaa pkmnaaaa 成成等等比比、rqpaaa成等差、rqp也也成成等等差差、nnnnnSSSSS232 也也成成等等比比、nnnnnSSSSS232 也也是是等等差差数数列列、则则是是等等差差数数列列，、若若nnnnnnbakakaba 也也是是等等比比数数列列、则则是是等等比比数数列列，、若若nnknnnnbaakaba 成成

4、等等差差、rqpaaa例例1 如果一个等差数列的前如果一个等差数列的前12项项和为和为354,前前12项中偶数项的和与项中偶数项的和与奇数项的和之比为奇数项的和之比为32:27,求公差求公差.典型例题讲解典型例题讲解例例2:an4aa8484aa 等比数列等比数列正数，且正数，且，求求中，各项均为中，各项均为41,aaaa53106nnSSSaa，求求，中中，等等差差数数列列例例113113: nnSdaaaaaaSSn1421300211141154113 ，解解得得，由由，得得解解法法一一：由由nnSBABABABASSSaBnAnSannn14141111213913132113112

5、，解解得得，代代入入得得，由由设设是是等等差差数数列列，解解法法二二：三如何求数列的通项三如何求数列的通项归纳法归纳法( (观察法观察法) ) 对于数列中所给出的一些项对于数列中所给出的一些项, ,逐项分析项逐项分析项与项数与项数n n的关系的关系, ,由此归纳出一般的公式。由此归纳出一般的公式。 在使用这种方法时要经常用到一些基本在使用这种方法时要经常用到一些基本数列的通项公式，数列的通项公式，例如：自然数列、奇偶数列、自然数平方例如：自然数列、奇偶数列、自然数平方数列、倒数数列、幂数列、符号数列等。数列、倒数数列、幂数列、符号数列等。2 3 )2()1(11nSSnSannn2.2.利用前

6、利用前n n项和与通项的关系求通项公式项和与通项的关系求通项公式nnnnaSSa求求出出方方法法一一：直直接接利利用用1 nnnnnnnnaSSSaSSa，再求的递推关系式，求出与，得出消去方法二：利用11nnnnaNnanSa，求求满满足足：已已知知例例)(21 1) 1( 22211111 aanSaSanSnnnn，nnnaaa 112相相减减得得：解：解：111212212)2(21)2(121 nnnnnnnaaaaaa为为公公比比的的等等比比数数列列是是以以nnnnaanSSa，求求，：已已知知例例1)2(122212 )2(12212 nSSSSannnnn解：解：1122222

7、 nnnnnnSSSSSS2111 nnSS整整理理得得： ) 2( ,) 32)(12(2) 1(11212) 1(1111nnnSSnSanSnSnnnnn； 3 3累加累加/ /乘法。乘法。 型型)(1nfaann （叠加）（叠加）型型)(1nfaann （叠乘）（叠乘）型型，) 01(1 qpqpaanntaptattaptannn 11)(，首首项项为为其其公公比比为为为为一一等等比比数数列列，可可得得求求出出可可设设nnnnaaaa，求求，已已知知 21111121111223112121212121212121 nnnnnnnnaaaaaaaaaa相相加加得得例例:nnnnaaa

8、a，求求，已已知知2111 1122311212,2,22 nnnnnnaaaaaaaa1211222 nnaa相乘得相乘得2)1(12122 nnn例例: 4 4利用递推关系，构造新数列。利用递推关系，构造新数列。 型11nnnppaa型111nnnpaaa型型，) 01(1 qpqpaanntaptattaptannn 11)(，首首项项为为其其公公比比为为为为一一等等比比数数列列，可可得得求求出出可可设设 nnnnaNnnaaaa，求，中，例：在)2( 43111为为首首项项的的等等比比数数列列以以为为公公比比是是以以2,32)2( 3)2(11 aaaannn24223311 ttta

9、atatannnn，解解得得令令得得：）（设设：233321 nnnnaa得：得：返回例例. .已知数列已知数列aan n 的递推关系为的递推关系为a an+2n+2-2a-2an+1n+1+a+an n=4=4，且，且a a1 1=1,a=1,a2 2=3=3，求通项公式求通项公式aan n 。解：解： 4212nnnaaa4)()(112nnnnaaaa令令b bn n=a=an+1n+1-a-an n则数列则数列bbn n 是公差为是公差为4 4的等差数列。的等差数列。 2) 1(1211aabdnbbn241naabnnn21412 aa22423 aa23434 aa2) 1(41n

10、aann两边分别相加得两边分别相加得： ) 1( 2)1(321 41nnaan3422nnan四数列的和四数列的和1 1裂项求和裂项求和3 3错位相减错位相减2 2分组求和分组求和 数列求和数列求和, ,一是把一个未知的数列变成若干一是把一个未知的数列变成若干个已知的数列个已知的数列, ,利用公式求和利用公式求和; ;二是把数列整二是把数列整理化简理化简, ,使某些项相约、相消使某些项相约、相消, ,成为关于成为关于n n的一的一个代数式。归纳起来个代数式。归纳起来, ,常用的方法有如下几种。常用的方法有如下几种。4 4倒序相加倒序相加1 1裂项相消裂项相消)12)(12()2(534312:222 nnnSn求求例例 121121211)12)(12(11nnnnan12)1(21211211211217151513131121 nnnnnnnnSn分组求和分组求和nSn 21321211例例：求求）（）（）（解解：nSn 21321211)(212)1(212nnnnn 考考虑虑到到：）（