初中数学中考复习轴对称第13讲通用教师版

1、中考要求例题精讲版块一轴对称与轴对称图形轴对称的有关概念1. 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。2. 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。3. 轴对称指两个图形，轴对称图形是指一个图形。4. 成轴对称的两个图形一定是全等形；全等的两个图形不一定成轴对称。轴对称及轴对称图形的性质1 如果两个图形等。一直线对称，则对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相2 轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分；轴对称图形的对应线段相等，对应角相等。3 线段有

2、两条对称轴；角有两条对称轴；等腰三角形（非等边）有两条对称轴；等边三角形有三条对称轴；等腰梯形有一条对称轴；矩形有两条对称轴；菱形有两条对称轴；正方形有四条对称轴；圆有无数条对称；MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.几何变换之轴对称.第 13 讲(通用讲).教师版Page 1 of 15内容基本要求略高要求较高要求轴对称了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分性质；了解物体的镜面对称能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及相关性质。能运

3、用轴对称进行图案设计等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形和直角三角形的概念，会识别这三种图形，并理解这三种图形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定解决简单问题能用等腰三角形、等边三角形和直角三角形的知识解决有关问题中考复习：几何变换之轴对称【例1】 下列“表情”中属于轴对称图形的是（）【】根据轴对称的性质来】C【例2】 有下列语句：沿一条直线翻折后，能够重合的两个图形关于这条直线对称；一个轴对称图形一定能沿一条直线翻折，直线两侧部分相互重合；两个能重合的图形一定条直线对称；一个轴对称图形不一定只有一条对称轴。其中正确的有（）A.1 句】正确的有，】CB. 2 句C.

4、3 句D. 4 句【例3】 下列语句中错误的是（A.线段有两条对称轴C. 等腰三角形至少有一条对称轴）B. 角有一条对称轴D.等腰三角形只有一条对称轴【】略】 D【例4】 下列图形中对称轴最多的是（）A圆】略】AB正方形C等腰三角形D线段【例5】 如图，直线 L 是四边形 ABCD 的对称轴，若 AB = CD ，有下面的结论： AB CD AC BD AO = OC AB BC ，其中正确的结论有DlOCAB【】主要考查了轴对称的性质轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相等】【例6】 将一个正方形纸片依次按图 1，a，b 的方式对折，然后沿图 c 中的虚线裁剪

5、， 展开铺平，所得到的图形是图 2 中的（）d 样式，将纸图1MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.几何变换之轴对称.第 13 讲(通用讲).教师版Page 2 of 15图2】依题意，正方形纸片经过两次对折，因此裁剪后的图形应该是有两条对称轴的图形，图 2 中的四个图形均为有两条轴对称图形，分别作出它们的两条对称轴，取图形的 1 部分与图 1 中的d 匹配，4D 选项符合题意】D【例7】 如图 a 是长方形纸带，DEF=20°，将纸带沿 EF 折叠b，再沿 BF 折叠c，则图 c 中的CFE 的度数是（）A、110°B、120°C、140°D

6、、150°【】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变】B【例8】 如图，等边DABC 的边长为1cm ， D 、 E 分别是 AB 、 AC 上的点，将DADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A¢ 处，且点 A¢ 在DABC 外部，则阴影部分图形的 cm AEDCBA'【】利用轴对称的性质进行转化的基本思想】3 版块二垂直平分线的性质及判定垂直平分线的性质及判定性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【例9

7、】，在ABC 中，BAC=106°，EF、MN 分别是 AB、AC 的垂直平分线，点 E、M 在 BC上，则EAM= MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.几何变换之轴对称.第 13 讲(通用讲).教师版Page 3 of 15AFNMBEC【】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出ÐB + ÐC = ÐBAE + ÐCAM = 74° 是解答此题的关键】32° 【例10】已知：如图， ÐABC 及两点 M 、 N 。求作：点 P ，使得 PM = PN ，且 P

8、点到ÐABC 两边所在的直线的距离相等。BBBNNPCCCAAAMMM【】本题考查了，线段的垂直平分线，角平分线的性质及判定，几何操作与尺规作图】因为是两边所在的直线，所以有两个。一： ÐABC 内角平分线与线段 MN 的垂直平分线的交点二： ÐABC 外角平分线与线段 MN 的垂直平分线的交点【例11】下列为边长为 1 的小正方形组成的网格图请画出ABC 关于直线 a 对称的图形（不要求写作法）；求ABC 的面积（直接写出即可）BBB1【】考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，及利用网格求图形的面积的能力作此题时，三角形的底和高都不太好计算，可以利用图中图形的面

9、积关系计算】如图： 112【版块三、轴对称与线段和差最值问题基本思路：通过轴对称的性质转化线段的数量关系MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.几何变换之轴对称.第 13 讲(通用讲).教师版Page 4 of 15AA1CaC1ACaNP【例12】如图，在等腰RtDABC 中， CA = CB = 3 ， E 的 BC 上一点，满足 BE = 2 ，在斜边 AB 上求作一点P 使得 PC + PE 长度之和最小，最小值为多少？AAPE'PCEBCEB【】略】如图，最小值为 13 。【例13】如图，ÐAOB = 30° ，角内有点 P ，且OP = 5 ，在

10、角的两边有两点Q 、R（均不同于O 点），则PQR 的周长的最小值为P'AAQPPROOBBP''】作点 P 关于OA 的对称点 P¢ ，作点 P 关于OB 的对称点 P¢¢ ，连接 P¢P ¢ ，交OA ，OB 于Q ，R 两点，【ÐAOP = ÐAOP¢ ，ÐBOP = ÐBOP ¢Q ，ROP = OP¢ = OP ¢ = 5则即 为 所 求 ， ÐP¢OP ¢ = 2ÐAOB = 60°

11、; ， P¢OP ¢ 为等边三角形 P¢P ¢ = 5 ，进而PQR 的周长最小值为 5】5【- BM |最大。【例14】已知： A 、 B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点 M ，使得| AMBBAAllM【】略】如图。【巩固】求在直线l 上找一点 P ，使得直线l 为ÐAPB 的角平分线AAB'PBB【】作出对称点，然后利用轴对称与等腰三角形】如图MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.几何变换之轴对称.第 13 讲(通用讲).教师版Page 5 of 15板块四等腰三角形等腰三角形1. 有两条边相等的三角形是等腰三角

12、形。2. 等腰三角形的两腰相等，两底相等。3. 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；简称三线合一。4. 等腰直角三角形的两个锐角都等于 45º。等边三角形1. 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都是 60°；三边都相等。2. 有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形。3. 有一个角等于 60º的等腰三角形是等边三角形。【例15】若等腰三角形中有一个角等于50° ，则这个等腰三角形的顶角的度数为()A 50°】分类讨论】 80° 65° 或50° 50° 或80°

13、【例16】等腰三角形一个角为 70°, 它的另外两个角为；【】分情况讨论】70° ，40° 或55° ，55°【例17】等腰三角形的一边长为 3cm,另一边长为 4cm,则它的周长是；【】分情况讨论】10cm 或 11cm【例18】等腰三角形的一边长为 3cm,另一边长为 8cm,则它的周长是。【】分情况讨论，同时注意三边关系】19cm【例19】等腰三角形两边长为4 和6 ，则它的面积为（）D. 8 2 或3 7A. 8 2】分类讨论B. 8 2 或15C.15【】当腰为 4 时，底边为6 ，它的面积为3 7 ；当腰为6 时，底边为 4 时，其

14、面积为82 ，选 D【例20】在DABC 中， AB = AC ，点 D 在 AC 边上，使 BD = BC ，点 E 在 AB 边上，使 AD = DE = EB ，则ÐEDB 等于（A. 22.5°A）B. 25°C. 30°D. 37.5°DEBC】引入未知数建立方程】 A【MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.几何变换之轴对称.第 13 讲(通用讲).教师版Page 6 of 15【例21】如图， ÐA = 15° ， AB = BC = CD = DE = EF ，那么ÐFEM 等于（）A. 9

15、0°B. 75°C. 70°D. 60°MECADBF【】略】 B【例22】如图，在DABC 中， AB = AC ，ÐABC ，ÐACB 的平分线相交于点 F ，过 F 作 DEBC ，交 AB于点 D ，交 AC 于 E 图中是等腰三角形有A FEDBC【】略】 DADE ， DBDF ， DEFC ， DBFC ， DABC 等腰三角形【例23】已知DABC 中，ÐA = 90° ，ÐB = 67.5° .请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种

16、不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.AABBCC【】AA67.5°45°22.5°45°22.5°67.5°22.5°22.5°BCBC【】见【例24】已知：如图， DABC 中， AB = AC ， ÐA = 36°仿照图 1，请你再设计两种不同的分法，将DABC 分割成3 个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形，作图工具不限，不要求写出画法；要求标出所分得的每个等腰三角形的三个内角的度数MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.几何变换之轴对称.第

17、13 讲(通用讲).教师版Page 7 of 1536°108°36° 36°36°36° 108°72° 72°【】略】解：36°36°36°108°36°72°72°72°108°72°72°36°108°72°72°36°36°72°36°36°36°36°36°36

18、76;108°72°72°【例25】在正方形 ABCD 所在平面上找一点 P ，使DAPB 是等腰直角三角形，这样的点 P 你能发现几个? 请作出这些点ADCB【】注意从等腰三角形边的分类入手找到完整.AD（P5）P2（P6）P3BC【】的 6 个点 P1 、 P2 、 P3 、 P4 、 P6 .【例26】等边三角形除一般的等腰三角形的性质外，它的特有性质主要有：（1）边的性质：；（2）角的性质：；（3）对称性：等边三角形是图形，它有对称轴【】略】三边相等；三个角都是60°【例27】含 30°角的直角三角形的一个主要性质是MSDC 模块化分级

19、讲义体系初中数学.中考复习.几何变换之轴对称.第 13 讲(通用讲).教师版Page 8 of 15P1P4【】略】30° 所对的直角边是斜边的一半cm2 的正三角形的边长是（【例28】面积为25 3A.15 cm）C. 5B.10cm2 cmD. 5cm【】略】如果正三角形的边长为 a ，则面积为 3 a2 ，因此 3 a2 = 253 ，a = 10 ，选 B【44【例29】已知：如图 84，ABC 和BDE 都是等边三角形（1）求证：ADCE；（2）当ACCE时，并证明AB与BE的数量关系【】（1）ABD CBE （2）在CBE 中，30° 所对的直角边为斜边的一半【

20、】（1）略；（2）AB = 2BE【例30】如图，在等边ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AB 上， BD = AE ， AD 与CE 交于点 F (1)求证： AD = CE ；(2)求DFC 的度数AEFBCD【】略】（1）证明： ABC 是等边三角形，BAC =B = 60 ， AB = AC 又 AE = BD ， AEC BDA(SAS) ， AD = CE（2）(1) AEC BDA ，得ACE =BAD ，DFC =FAC +ACE =FAC +BAD = 60 板块六全等与轴对称【例31】如图，在ABC 中， AC = BC ，ÐACB = 90° ，

21、 D 是 AC 上一点， AE BD 交 BD 的延长线于 E ，MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.几何变换之轴对称.第 13 讲(通用讲).教师版Page 9 of 15且 AE = 1 BD 求证： BD 是ÐABC 的角平分线2AAEEDDBBCFC】结论要证明：“ BD 是ÐABC 的角平分线”，而且已知条件中有“ AE = 1 BD ”，即“ BD = 2AE ”【2因此可以通过沿 BD 翻折“ DAEB ”构造“ 2AE ”，但是，问题在于“ BD 是ÐABC 的角平分线”：“延长 AE 、 BC 交于点是我们所需要证明的结论，而并非已知

22、条件，所以辅助线的描述F ”】延长 BC 、 AE 交于 F 点，先证明AFC BDC (SAS) ，得 AF = BD = 2AE ，则 AE = FE ，再证ABE FBE 【例32】如图，在ABC 中， AD BC 于 D ， ÐB = 2ÐC 求证： AB + BD = CD AABECDCDB】根据已知条件，可考虑将DACD 沿 AD 折叠，点C 落在 DB 的延长线上的点 E ，因此将求证的结论转化为 DE = BD + AB ，因此只需证明 AB = BE 即可，辅助线描述如下：延长 DB 到点 E 使得 DE = CD ，连接 AE ，易证 AD 为线段CE

23、 的垂直平分线，【 AC = AB ， ÐC = ÐE ， ÐABC = 2ÐC CD = DE = DB + BE = DB + AB ÐABC = 2ÐE ÐE = ÐBAE AB = BE也可以，延长 DB 至 E ，使 BE = BA ，连接 AE 易证ÐABC = 2ÐE ，所以ÐC = ÐE ，进而ACE是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一性质可知CD = DE = DB + BE = DB + AB】略【例33】 遇到一个有趣的问题：在矩形 ABCD 中， A

24、D = 8 cm ， AB = 6 cm 。现有一动点 P 按下列方式在矩形内运动：它从 A 点出发，沿着 AB 边夹角为 45° 的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为 45° 的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当 P 点碰到 BC 边，沿着 BC 边夹角为45° 的方向作直线运动，当 P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45° 的方向作直线运动，如图 1 所示，问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次， P 点第一次与 D 点重合时所经过的路线的总长是多少。的思考是这样开始的：如图 2

25、，将矩形 ABCD 沿直线CD 折迭，得到矩形 A1 B1CD ，由轴对称的知识，发现 P2 P3 = P2 E ，P1 A = P1E 。请你参考的思路解决下列问题： P 点第一次与 D 点重合前与边相碰次；P 点从 A 点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是cm ；近一步探究：改变矩形 ABCD 中 AD 、 AB 的长，且满足 AD > AB ，动点 P 从 A 点出发，按照MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.几何变换之轴对称.第 13 讲(通用讲).教师版Page 10 of 15阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD

26、相邻的两边上。若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰7 次，则 AB : AD 的值为。P3P3DEAA1ADP2BB1BCPC图 2P11图 1【】5； 24 2 ；解题思路示意图：A1D1DA2ABB2CB1C1【例34】如图，在DABC 中， AB = AC ， D 是DABC 外的一点，且ÐABD = 60 ， ÐACD = 60 求证： BD + DC = AB AADDBBECC【】本题辅助线的思路隐含在结论“ BD + DC = AB ” 以及ÐABD = 60° 中，很容易让人联想到等边三角形，因此也只需将这个等边三角形补全即可【】延长

27、 BD 至 E ，使 BE = AB ，连接 AE,CE ÐABE = 60 , BE = AB ， DABE 为等边三角形 ÐAEB = ÐACD = 60 , AE = AB = AC ÐACE = ÐAEC ， ÐDCE = ÐDEC ， DC = DE ， AB = BE = BD + DE = BD + DC ，故原题得证【例35】问题：已知DABC 中， ÐBAC = 2ÐACB ，点 D 是DABC 内的一点，且 AD = CD ， BD = BA 。探究ÐDBC 与ÐA

28、BC 度数的比值。B请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。当ÐBAC = 90° 时，依问题中的条件补全右图。观察图形， AB 与 AC 的数量关系为；当推出ÐDAC = 15°时，可进一步推出ÐDBC 的度数为； 可得到ÐDBC 与ÐABC 度数的比值为；当ÐBAC ¹ 90° 时，请你画出图形，研究ÐDBC 与ÐABC 度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。CAMSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.

29、几何变换之轴对称.第 13 讲(通用讲).教师版Page 11 of 15PPP2】相等；15° ；1: 3 。猜想： ÐDBC 与ÐABC 度数的比值与中结论相同。证明：如图 2 ，作ÐKCA = ÐBAC ，过 B 点作 BKAC 交CK 于点 K ，连结 DK 。 ÐBAC ¹ 90°四边形 ABKC 是等腰梯形， CK = AB ， DC = DA ， ÐDCA = ÐDAC ， ÐKCA = ÐBAC ， ÐKCD = Ð3 ， DKCDDBAD

30、 ， Ð2 = Ð4 ， KD = BD ， KD = BD = BA = KC 。 BKAC ， ÐACB = Ð6 ， ÐKCA = 2ÐACB ， Ð5 = ÐACB ， Ð5 = Ð6 ， KC = KB ， KD = BD = KB ， ÐKBD = 60° ， ÐACB = Ð6 = 60° - Ð1 ， ÐBAC = 2ÐACB = 120° - 2Ð1 ， Ð1+ (60

31、° - Ð1) + (120° - 2Ð1) + Ð2 = 180° ， Ð2 = 2Ð1， ÐDBC 与ÐABC 度数的比值为1: 3 。【KB61245D3AC图 2课堂检测1如图，正方形纸片 ABCD 的边长为1 ， M 、 N 分别是 AD 、 BC 边上的点，将纸片的一角沿过点 B 的直线折叠，使 A 落在 MN 上，落点记为 A' ，折痕交 AD 于点 E ,若 M 、 N 分别是 AD 、 BC 边的中点， 则 A' N = ; 若 M 、 N 分别是 AD 、 B

32、C 边的上距 DC 最近的n 等分点（ n ³ 2 ,且n 为整数），则 A' N =（用含有 n 的式子表示）MAEDBCN【】折叠-勾股定理问题，基本思想：引入未知数，通过勾股定理建立方程3 、 2n - 1】2n2取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.几何变换之轴对称.第 13 讲(通用讲).教师版Page 12 of 15A'EECCCEBBCANMNMNNB'FDADDAFDA第一步：先把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN ，如图；第二步：再把 B 点叠在折痕线 MN 上，折痕为 AE ，点 B 在

33、 MN 上的对应点为 B ' ，得 RtDAB ' E ， 如图第三步：沿 EB' 线折叠得折痕 EF ，如图 利用展开图探究： DAEF 是什么三角形？证明你的结论对于任一矩形，按照上述方法是否】略】 DAEF 是等边三角形由平行线分线段定理知 PE = PA PA = PB ' ， Ð1 = Ð3又 PNAD ， Ð2 = Ð3而 2Ð1 + Ð2 = 90° ， Ð1 = Ð2 = 30°在 RtDAB ' E 中， Ð1 + Ð

34、AEF = 90° ÐAEF = 60° ， ÐEAF = Ð1 + Ð2 = 60° DAEF 是等边三角形折出这种三角形？请说明理由【ECBMNDAF不一定由以上推证可知， 当矩形的长恰好等于等边= AB : AF = sin 60° = 3 : 2 时，正好能折出。DAEF 的边 AF时， 即矩形的宽 : 长如果设矩形的长为 a ，宽为b ，可知当b £3 a 时，按此法一定能折出等边三角形；当 3 a < b < a22时，按此法无法折出完整的等边三角形课后作业已知等边三角形纸片 AB

35、C 的边长为 8 ， D 为 AB 边上的点， 过点 D 作 DG BC 交 AC 于点1G DE BC 于点 E ，过点G 作GF BC 于点 F ，把三角形纸片 ABC 分别沿 DG，DE，GF 按图1所示方式折叠，点 A，B，C 分别落在点 A¢ ， B¢ ，C¢ 处若点 A¢ ， B¢ ，C¢ 在矩形 DEFG 内或其边上， 且互不重合，此时我们称A¢B¢C¢ （即图中阴影部分）为“重叠三角形”MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.中考复习.几何变换之轴对称.第 13 讲(通用讲).教师版Page

36、 13 of 15PB'312B'PB'AADGDGA¢EB¢ F图 2C¢CBE C¢ B¢F图 1CB若把三角形纸片 ABC 放在等边三角形网格中（图中每个角形都是边长为 1 的等边三角形），点 A，B，C，D 恰好落在网格图中的格点上如图 2 所示，请直接写出此时重叠三角形 A¢B¢C¢ 的面积；实验探究：设 AD 的长为 m ，若重叠三角形 A¢B¢C¢ 存在试用含 m 的代数式表示重叠三角形A¢B¢C¢ 的面积，并写出 m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）AACCBB备用图重叠三角形 A¢B¢C¢ 的面积为；备用图用含 m 的代数式表示重叠三角形 A¢B¢C¢ 的面积为； m 的取值范围为】重叠三角形 A¢B¢C¢ 的面积为 3 用含 m 的代数式表示重叠三角形 A¢B¢C¢ 的面积为 3(4