江苏省扬州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版)

1、2020-2021学年度第一学期期末检测试j高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合要求）.1.命题f+x+iNO，的否定是（）A. 3x<0, x2+x + l>0B. 3x00, x2 4-x + l <0C. Vx 4 0，x2 + x +1 < 0D. Vx>0，x2+x+l>0【答案】B【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题：v-a,并否定原结论即可.【详解】命题“VxKO, Y+x + ino”的否定为“3x<0, i+x + ivo”，故选

2、：B22.双曲线二 ）,2=1的顶点到其渐近线的距离等于（） 4 'A.至B. 1C.小ED, 255【答案】A【解析】【分析】首先求顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，直接求解，【详解】根据双曲线的对称性可设顶点A（2,0）,其中一条渐近线方程是y =2y =。，那么顶点到渐近线的距离4= ,闾/V12 + 22 5故选：A3若平面。，夕的法向量分别为4=（-124）, b=（x-1-2）,并且2/，则x的值为（）A. 10B. -10C. -D.-22【答案】c【解析】【分析】根据两个法向量共线可得X的值.【详解】因为。/，£石共线，故二=?=，故=!， -12

3、42故选：C.4.张邱建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布， 第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完.则该女子第11天织布（）【答案】B【解析】【分析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.【详解】设女子每天的织布数构成的数列为”,且=5,4 = 1,故公差"=上二=一士， 30-129u八（4-40 105故%=%+（11-1乂-29卜5-29= 29，由题设可知2为等差数列,故选：B.5.不等式

4、工 2 2的解集为（A.B FlC. (fl)【”A【解析】3,4-oO 2D. (一6/2【分析】2v-3根据分式不等式的解法转化为二一WO,解不等式.x-1【详解】>2<> -2>0,即三二40,x-l x-1X-1即伊-3）（1）«。1002所以不等式的解集为故选：A6 .己知正方体ABC。-AqGA的棱长为2,则点乂到平面4内。的距离为（）A.坐B. 72C.2D. 2>/2【答案】B【解析】【分析】由垂直关系可知AA _l平而45。，根据边长关系直接求点到平面的距离.【详解】连结AR,与AQ交于点M，A,D1AD,且A" _L平而A。

5、2 AAB± ADX,且 4。0 4百=A ,A AR L平面 ABC。，点4到平而AB,CD的距离为|AM| = 3AQ| = JT27 .在数列%中，如果对任意22（eN）都有乙丛一4=攵（卜为常数），则称数列“为比等差 Pn P-l数列，左称为比公差.则下列说法正确的是（）A.等比数列一定是比等差数列，且比公差k = l8 .等差数列一定不是比等差数列C若数列4是等差数列,也是等比数列，则数列4也 一定是比等差数列d.若数列q满足6=%=1，q+i=q+4i（之2）,则该数列不是比等差数列【答案】D【解析】【分析】根据数列新定义，由比等差数列 性质N2（wN'）有5-A

6、 = k,判断各项描述是否正确即可一P/I P -1【详解】A：若“为等比数列，公比4工。， = 7, = <7,所以一上匚=° =攵工1, A错误. 品 34%B：若2=1,a为等差数列,故有23 = °,为比等差数列，B错误，2-1鼠 a.bnC：令册=O,b“=l,则4也,=0,此时上产y无意义，C错误.D：由题设知：% = 2,4=3,故心一虫=1。5一心=一:，不是比等差数列，正确.d a 出 出 2故选：D1 7 h28.已知。，6均为正数，且2+人一,必=0,则 / + 的最大值为（）ab 4A. -9B. -8C. -7D. -6【答案】c【解析】【分

7、析】先利用条件化筒1一。2+1 4=1/+，巧用“广的代换证明24 ,再证明 a b 44 J2b'b2、b2 a+2，即得到1 一 «2+ 的取值范围，根据等号条件成立得到最值（r+->- 4cr + 4 J【详解】依题意，”>0/>。，24 + /2 ,必=0可知,+2 = 1,则' -十二一上=1一 a b a b 4=2 +3+学之2 + 2>/ = 4,当且仅当上_ =牝时，即时等号成立.2a b2a b2a2 + > 2-cr- = ab 9当且仅当时，等号成立, 422则左右同时加上1+生得，则2 a2+ >a2 +

8、+ ab = a + -444 I 2即，h2cr + >4h a + 22,当且仅当。=2时等号成立,2（ 州h故，b2 a+2）42 °，当且仅当。=时，即。=2/=4时等号成立，cr + > > = 82422故 （J+Z一生=1 -生<-7当且仅当。=2时，即4 = 2, = 4时等号成立.a /? 44 J212 h2即1一/十二L的最大值为一7. ab 4故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明。十二24和，b2 a+2,，进而突破难点，2«"+->-42取最值时要保证取等号条件成立.二

9、、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分.有选错的得。分，部分选对的得3分）9.（多选题）已知。，b, c为实数，且则下列不等式正确的是（）A. -B ac1>bc1C. >yD. a2 > ab > b2a ba b【答案】AD【解析】【分析】根据所给条件，结合不等式的性质，判断选项.【详解】A.y = ：在(0,+a)上单调递减，所以当a>Z?>0时，-<p 故A正确：B.当c=0时，c2>bc2不成立，故B不正确：C.当。>匕>0时，a2>b两边同时除

10、以c心得，故C不正确： b aD.当。>>0时，两边同时乘以。得，«2 > ab,或两边同时乘以得，加>，所以。2>皿>，故D正确.故选：AD10.下列命题正确的是()A.已知，n是两个不共线的向量.若a = + n , 5 = 3u -2v» c = 2 +3n则4，b » c共面B.若向量则Z，区与任何向量都不能构成空间的一个基底C.若4(1,0,0), 8(0,1,0),则与向量而共线的单位向最为工=W£,0 乙 乙 /D.在三棱锥。ABC中，若侧棱。4, OB,。两两垂直，则底而a48C是锐角三角形【答案】AB

11、CD【解析】【分析】根据空间向量的共而定理可判断A；由构成空间向量的基底不能共而可判断B：根据单位向量的计算公式AB网可判断C；利用空间向量的数量积可判断D.【详解】对于A, ；, G是两个不共线的向量，不妨假设)，B，"共面则 c = G + B , KP c = (m + 3/z) z/ + (m -2n)v = 2u + 3v ,131可得7 = =, = 一二，存在一对实数相，使得" = +鼠 即假设成立，故A正确：对于B,向量7/B，则Z，坂与任何向量都共而， 所以£，坂与任何向量都不能构成空间的一个基底，故B正确:/、 A* ( g 应 A对于 C,

12、AB = (-1,1,0),所以一，,o对于D, /。4, OB, OC两两垂直，故C正确;二而 = （砺-砺）.（反_而1次>0,所以月耳与灰的夹角为锐角，即44C为锐角，同理NA8C, NBC4为锐角，:a48c是锐角三角形，故D正确.故选：ABCD, 、凡 i+l, = 2攵 /11 已知数列4的前项和为S“，4=l,a=" "t（ke，& i + 1, H = Z/C + 1N）.则下列选项正确的为（）A.q=14B.数列+3ke N）是以2为公比的等比数列C.对于任意的a2A =2”|-3D. S”> 1000的最小正整数的值为15【答案】AB

13、D【解析】【分析】根据题设的递推关系可得= 1,从而可得，6+2 一 项和%i的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得，&一Wi = 1，*-2%=1,因为=1, a2-a =1,故2=1+1 = 2,所以0+2 一=1，味一 2%t = 1,所以 a2k+2 - 2a2k = 2 ,所以生+2 + 2 = 2（。24+2）,因为4+ 2 = 4。，故,+2工0,所以3+2=2,所以4+2为等比数列，a2k + 2所以a+2 = 4x2i 即a" =2八|_2,故%=16 - 2 = 14,故A对，C错=2,由此可得%J的通又出 j = 27- 2 -1 = 22 一

14、3,故 、j + 3 = 2川,所以S = 2,即他j+3(人N)是以2为公比的等比数列，故B正确.“2A-1 + $S4 = a+ 氏 + +qa = q + (q +1)+ +% + (% + 1)= 2(q +%+5+%+«9+。|1+43)+ 7 = 2乂(2:1-3+233+283)+7 = 981,S15 =S14+6/15 =981 + 509 = 1490>1000,故S”> 100。的最小正整数的值为15,故D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系， 另外讨论D是否成立时注意先考虑

15、Sm的值.12.在平面直角坐标系中，P（x,y）为曲线。:/+4），2=2+2国+4以上一点，则（）A.曲线C关于原点对称B. x e -1 - JI 1 +C.曲线C围成的区域而积小于18D.尸到点（0，2的最近距离为正2）2【答案】ACD【解析】【分析】当x>0, y>0时，曲线C为止'1 +卜，一口 =1，根据点（一x,y）, （x-y）, （一乂一丁）都在曲线C上， 可得曲线。图象关于轴，）'轴和原点对称，作出其图象，即可判断四个选项的正确性，即可得正确答案一 【详解】当x>0, y>0时，曲线C:Y+4y2=2 + 2x + 4），即 1111

16、1_ + （）,一！丫=1，4 I 2）将三十）,2 = i中心平移到位于第一象限的部分；4k 2J因为点（T,y）, （xy），（一为一y）都在曲线。上,所以曲线c图象关于。轴,）'轴和原点对称，作出图象如图所示:对于选项A：由图知曲线C关于原点对称，故选项A正确；2对于选项B：令二+,2=1中),=0可得 = 2,向右平移一个单位可得横坐标为3,根据对称性可知 43KxM3,故选项B不正确；丫 213对于选项C：令土-+),2=1中x = o可得),=1,向上平移7个可得纵坐标最大值为7，4223 99曲线C第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为3x = ，所以曲线C围成的区域而

17、枳小于三><4 = 18,2 22故选项C正确:对于选项D：=1 中 x = 0,可得'，='±虫,221 所以到点。弓的最近距离为正,2故选项D正确,故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是去绝对值得出曲线C在第一象限的图象，根据对称性可得曲线C 的图象，数形结合、由图象研究曲线。的性质.三、填空题(本大题共4小题.每小题5分，共20分) 13.若存在实数x,使得不等式Vax + avO成立，则实数。的取值范围为【答案】(f 0)U(4,+co)【解析】【分析】结合一元二次不等式对应的二次函数图象性质直接判断=>(),比算即得结果.【详解】

18、二次函数一 6是开口向上的抛物线，故要使/(x) = V 一 .x + avo有解，则需A = a2-4a>0，即（。-4）。>0,解得<0或“>4.故实数a的取值范围为（f ,0）U（4,+s） .故答案为：（yo,0）U（4,+s）.14.已知数列4是等比数列，%=4, % =16,则% =【答案】±8【解析】【分析】利用等比数列的性质：若，+ = +夕，则=4,%,即可求解.【详解】由数列4是等比数列，的=4,小=16, 则 a； =%=4x16 = 64,所以为 =±8.故答案为：±82215.设椭圆C:二+二=1（。>人&g

19、t;0）的左焦点为F、右准线为/,若/上存在点夕，使得线段尸产的中点 a b恰好在椭圆。上，则椭圆C的离心率的最小值为.【答案】72-1【解析】【分析】利用根据椭圆的准线方程，设点尸（土,2y）,得中点坐标，代入椭圆方程，整理得/，又）*2。，解不等 C式即可得离心率的最小值.22，【详解】由C:二 + =1（。>>0）,得/（一。,0）, /： x =,a2 b2 V 7c222设点P（t,2y）,故中点为',y）,c2c又中点在椭圆上，故代入椭圆方程得（'二二厂+ E = 1，4d厂 lr整理得），2=力2.口_（。一：）-20,故i_（O 20,又©

20、 = ££（。,1）,整理得（一3）«8, 3-272 <e2 <3 + 2>/2>a即，23 - 2& = （&-1尸，>V2-b故答案为：V2-1.【点睛】椭圆 离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）,常见有两种方法：求出a, c,代入公式e = £ : a只需要根据一个条件得到关于mb, c的齐次式，结合/=/一/转化为a, c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以。或。2转化为关于。的方程（不等式），解方程（不等式）即可得的取值范围）.16.已知函数犬）=（依-4）犬+（

21、而+ 2）1 +。+ 2（。£/?）,则该函数“X）的图象恒过定点:若满足了（x）vO的所有整数解的和为-6,则实数。的取值范围是-恪案】（1）.卜同（2）.怪|）【解析】【分析】将函数/“）的解析式变形为x） = 2（a - l）x+a + 2（2x + l）,即可求得函数的图象所过定点的坐标；【详解】，. /（x） = （4a-4）x+（4a + 2）x + 4 + 2 = 2（ l）x+a + 21（2x + l）,当一1 = 0时，令/（x） =。，得K=-；4 + 21当一1工0时，令力=0,得x=2U_j）或x = _）.综上所述，函数“X）的图象必过点（-；,。.分以下

22、三种情况讨论：当一1=0时，即当“ =1时，由x） = 3（2x + l）0,可得XV-J,不合乎题意：（1 + 2（ 3 八 ” + 21当。时，即”时的一一5卜的则许,、（i + 21解不等式/（力o,可得而面工一5，由于不等式/（“0所有的整数解的和为6,则不等式/（X）。的所有整数解有一3、-2、-1,a+ 2. in 8所以，-4 2（ _ .） 3» 解得a+213 八a+21当一IvO时，即。1时，-=-O,可得/ 八 一弓I 2 J 2（1 - ）2（1 -2/ 、1。+2解不等式人力。，可得x/或2（1二“）'不等式/（x）。的解中有无数个整数，不合乎题意一

23、综上所述，实数的取值范围是¥，|）.故答窠为:'?。岸"【点睛】方法点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：（1）二次项中若含有参数应讨论是小于0,等于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式：（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式/与。的关系；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.四、解答题（本大题共6小题.计70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）2217.命题夕：实数次满足不等式/-3c" + 2a2v0e0）；命题q：实数小满足方程 十 L = 1

24、表 m-1 m-5示双曲线.（1）若命题q为真命题，求实数”的取值范闱：（2）若尸是q的充分不必要条件，求实数。的取值范围.【答案】（1） 1cme5； （2）【解析】【分析】（1）由题意可得（加一 1）（m一5）。，即可求解.（2）若是9的充分不必要条件，则是佃的真子集，根据集合的包含关系求出实数。的取值范闱即可.22【详解】（1）若实数“满足方程-+=1表示双曲线，m - 1 m 一 5解得1<加<5，（2）实数加满足不等式，2-3卬+ 2。2Voe>0）,解得。加<2。，若是9的充分不必要条件，则aa<m < 2a是川 < m< 5的真子集

25、，a>所以<2<5,解得lWaw|, a>0所以若是q的充分不必要条件，求实数。的取值范围是1 <“ w g .【点睛】易错点睛：若是9的充分不必要条件则。I。<?<2a是m2<m<6的真子集，一般情况下需要考虑= 0的情况，此情况容易被忽略，但题目中已经给出>0,很明显18.如图，在三棱锥M中，M为8c的中点，PA = PB = PC = AB = AC = 3, BC = 2«.（1）求二面角。一8CA的大小；（2）求异面直线AM与03所成角的余弦值.【答案】（1）?： （2）正 36【解析】【分析】（1）连接PM，则可

26、证得NPMA就是二面角尸8CA的平面角，根据勾股定理和余弦定理求解：（2）取PC中点N,连接MN,AN,则NAMN就是异而直线4W与总所成的角，根据余弦定理求解即可.【详解】解：（1）连接PM，因为M为3C的中点，PB = PC = AB = AC3,所以 PM_L 8cAM _L8C,所以NPM4就是二而角P8C A的平面角.在直角尸中，PC = 3,MC =娓,则PM=省, 同理可得AM =JJ，3+3-9 _ 12x73x73 "2在PM4中,由余弦定理得cos ZPMA =(2)取PC中点N,连接用MAN,则MN 必.故NAMN或其补角就是异面直线AM与必所成的角,因为等边P

27、4C中，PC中点为N,所以AN = 在PC = ±E 22又 MN = $BAMf)9 27所以在aAMN中cos ZAMN = 一一寺 2x>/3x-因为异而直线所成角的范围为(0,工,2x/36所以直线AM与PB所成的角的余弦值为 B.6【点睛】思路点睛：平移线段法是求异而直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异而直线的问题化归为共而直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异而直线所成的角：（2）认定：证明作出的角就是所求异而直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形：（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（0,1

28、,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异而 直线所成的角.19.设等差数列“的前项和为S”，数列6“为正项等比数列，其满足q =4 =2,1=%+4，4+ % = 8.（1）求数列为和也的通项公式；（2）若,求数列%的前”项和乙.1,a +2在二% =+ %, 口，=。也,口。=17一这三个条件中任一个补充在第（2）问中：并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）勺= + 1, 2=2"： （2）见解析.【解析】【分析】（1）由题设条件可得公差和公比的方程组，解方程组后可得两个数列的通项.（2）根据所选的数列分别选分组求和、错位相减法、裂项相消法可

29、求7； .【详解】(1)设等差数列的公差为d,公比为夕，贝人4"2 +三-*" = 2 + 4" + 2”2 + 24 + 29 = 8g = 2 ft/ = -3解得:，或丫 , (舍)，4 = 14=6故q=2 + (-l)xl = + l, " =2x2"i =2".若选，c«=7； + 2”=< + 2”,(/?+ 1)(/?+ 2n + n + 21 11 1. 1 /(I") 11”2334n+ n+21-22 n+2若选，则c”=( + l)2”，故 7； =2x 2 + 3x2?+4x2。+

30、+ (+ 1)2”,所以 24 =2x2?+3x2,+4x24+ + (+ 1)2”“,所以一4 = 4 + 2? + 23 + , + 2” 一 ( +1) 2.=-n - 2 即 7；= - 2川. + 311若选，则q = ( +1)(+ 2)2向=5 + 1)2" -5 + 2)2"”，T11111111W n 2x2j 3x22 3x22 4x23(n + l)2n ( + 2)2'向 4 ( + 2)2”【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法：如果 通项是等差数列与等比数列的乘枳，则用错位相减法：如果通项可

31、以拆成一个数列连续两项的差，那么用 裂项相消法：如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20.如图，在直三棱柱ABC -AMG中，AAy=AB = AC = 29 43, AC, M是棱的中点，点?在线段乂淀上.（1）若尸是线段A声的中点，求直线MP与平面AB片人所成角的大小；（2）若N是。G的中点，平面尸MN与平面CMN所成税二面角的余弦值为七昼，求线段8产的长度.37【答案】（1） -：（2）. 43【解析】【分析】（1）过M作于H连接PH，由己知条件知尸"/44且即尸初"与而A8B4所 成角为，0H,即可求其大小.（2）构建空间直角坐标系，由已知线段长度标识M,N

32、,C的坐标，令。（,0,2-），由向量坐标表示而，丽，近，限，进而求得面八创与而CMV的法向量，由二面角余弦值即可求参数，即可求取的 长度.【详解】（1）过初作于用 连接尸凡 又,M/AC, M是棱8c的中点，所以H是,抗的中点，而尸是线段的中点, . PH/A4且P”=g/L4,ACMH F4PM与面4881Al所成角为"尸”，设8 ="尸则tanJnonWnl, e0,-,PH2F(2)构建以上为原点，而，/，丽 分别为x、六z轴正方向，贝iJ(l,0),N(0,2),C(0,2,0),由等腰RtAiAB ,可令尸(。,0,2 。)，而=(,-2,1-)，丽=(-1,1

33、/)，近=(0。-1),庆=(-1,1,0),一ax-2y + (-a)z = 0一若? = (x,y,Z)为面的一个法向量，则， + +z 0，令)'=1，有? = (3-4,1,2-4),若H=(X，y,%)为面CMA的一个法向量，则；： = 0，令玉=1，有3=(1,1,0),由题意，知： 丁匚= / "4 =:=Z.,整理得2k/-68a + 36 = 0，I in II n I V2-10a + 1437iq222 4解得=或。=一,而尸在线段48上，有。=一则P(一,0,),73333【点睛】关键点点睛:（1）根据线面角的几何定义，找到直线MP与平而A844所成角

34、的平而角，进而求角.（2）构建空间直角坐标系，设尸（4,0,2-0,求二而角的两个半面的法向量，根据二面角的余弦值求参数 a，进而求线段长.21.设抛物线f =2»（>0）的焦点为尸，其准线与丁轴交于抛物线上一点的纵坐标为4,且该点 到焦点F的距离为5.（1）求抛物线的方程：（2）自M引直线交抛物线于P,。两个不同的点，设声=2而.若字,求实数4的取值 范围.【答案】/=4），：；卜。，3【解析】【分析】（1）根据抛物线定义：抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，得4 + 2 = 5化简即可： 2（2）设尸。：），=京1,联立直线与抛物线方程设尸（再,）,。（七,当），用弦长

35、公式表示|PQ|，由 4</7= 及韦达定理将出用力表示出来，此时|PQ|用;1表示，结合|尸。归。,三一解不等式. J【详解】解：（1）根据题意作图如下：因为抛物线上一点的纵坐标为4,且该点到焦点尸的距离为5,又抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，所以4 + 2 = 5= = 2,故抛物线的方程为=4,，. 2（2）由题意直线。斜率存在，设尸。：），=6一1,y = kx-,由，,=厂-4"+ 4 = 0, = 16A-16>0 = A >1,厂=4y 设产即%），。（“2，力），则.所以 PQ = Jl + 公卜 _| = Jl + 6- J16攵216 =

36、 44k2 +4 J4G-4 ,因 MP =,所以（为,X +1） = 乃+1）=%=无心代入化简得4k2 =（'"）2令，=止=回匕则 pq = J7TZ- =4-16因为|P04O,乎,所以0v|pq<9，即0<产164上= 16v <=>4<r< , 993.,(2 + 1)2 16 f A2-22 + l>0/423l322-102 + 3<0-<2<3l131 、即-J U(L3-3 /"1、所以实数2的取值范围-J =(1，3.【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到： 二凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”： 二“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.22.已知直线，：）, =依, + 】与椭圆。：£ +a=1（“>>0）交于£ 8两个不同的点，点河为K3中点,点。为坐标原点.且椭圆c的离心率为,长轴长为4.2（1）求椭