37空间两条直线

1、平面、空间两条直线一、教学目标1.平面的基本性质，即三个公理及推论.2.公理4及等角定理.3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点.二，学法指导1三点共线问题，只需证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；2求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形.注意，异面直线所成角的范围是（0，二、教学内容1平面的基本性质与推论公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面

2、有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。1、基础训练1.若a，b是异面直线，则只需具备的条件是A.a平面，b平面，a与b不平行B.a平面，b平面，=l，a与b无公共点C.a直线c，bc=A，b与a不相交D.a平面，b 是的一条斜线2.如下图，直线a、b相交于点O且a、b成60角，过点O与a、b都成60角的直线有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条3.如下图，正四面体SABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是 4.如下图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a

3、， 那么（1）哪些棱所在直线与直线BA1成异面直线？_.（2）直线BA1与CC1所成角的大小为_.（3）直线BA1与B1C所成角的大小为_.（4）异面直线BC与AA1的距离为_.（5）异面直线BA1与CC1的距离是_.5.正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是_.2、典例剖析【例1】 如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFC=23，DHHA=23.求证：EF、GH、BD交于一点. 【例2】 A是BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点， （1）求证：直线EF

4、与BD是异面直线；（2）若ACBD，AC=BD，求EF与BD所成的角.特别提示证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算”.注意，异面直线所成角的范围是（0，.【例3】 长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且ab，求：异面直线D1B与AC所成角的余弦值.深化拓展利用中位线平移和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法.3、练习巩固：1.如下图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分

5、别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于 2.如下图，四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EFAB，则EF与CD所成的角等于_. 3.如下图，设不全等的ABC与A1B1C1不在同一平面内，且ABA1B1，BCB1C1，CAC1A1. 求证：AA1、BB1、CC1三线共点. 4.在三棱锥ABCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF=a，求AD与BC所成的角. 5.如下图，在三棱锥PABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分别是PC和AB上的点且PEEC=AFFB=32. （1）求证：PABC；（2）设EF与PA、BC

6、所成的角分别为、，求证：+=90 . 6.如下图，设ABC和A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且= .试求的值. 7.如下图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成的角. 思悟小结1.本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角.2.证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形.教学点睛首先要使学生掌握本节的重点内容：平面的基本性质、异面直线的定义及判断、异面直线所成的角，其次结合例题讲清求异面直线所成的角的方法步骤.拓展题例【例1】 设异面直线a与b所成的角为50，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是（090）的直线l有且仅有几条?