线性规划灵敏度分析

1、淮北师范大学2011届学士学位论文学院、专业 研究方向 学生姓名 学 号线性规划灵敏度分析数学科学学院数学与应用数学运筹学陈红20071101008 指导教师姓名 张发明指导教师职称 副教授2011年4月10日线性规划的灵敏度分析陈红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要本文主要从价值系数”的变化，技术系数%的变化，右端常数的变化以 及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条 件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件8的一个重要应用 是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的 典型应用和从求解例题的图解法揭示了

2、最优解的一些重要特征。关键词单纯形法，灵敏度分析，最优解.，资源条件，价值系数4Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science, Huaibei NormalUniversity ,Huaibei, 235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ' cj ' the variety of technology coefficient aii , the

3、variety of the resources condition 4 bj and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis. This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the

4、 optical solution of the coefficient of the simplex table. Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources condition ' in the economic management 4shadow price problem'.Keywords simplex method, sensitivity analys

5、is, optimum solution ， resources condition, cost coefficient引言1一、价值系数的变化分析2二、技术系数的变化分析 5三、右端常数的变化分析 6四、增加新约束条件的灵敏度分析 8五、增加一个新变量的灵敏度分析9七、线性规划在经济及管理问题上的典型应用14八、从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征16结论17参考文献18致谢19引言灵敏度分析是运筹学中一个比较重要的问题，在现实生活中，尤其是在经济 管理与投资中有着广泛的应用.随着经济的发展，已有不少学者对其进行研究， 本文基于已有的研究上进行归纳总结，并在对其研究理论的基础上，对灵

6、敏度分 析的应用进行分析.在研究线性规划的灵敏度分析之前，先了解几个定义：定义线性规划的标准形：maxZ = CX(1.1)(LP ) AX =b(1.2)s.t.<X>0(1.3)其中c =亿,c，2,c“)为行向量，x =(x1,x2,.,xn)/ ,。=(4也，也J均为列向 量，A = (q )为机x矩阵；/*0,并假设A的秩为机，在问题(LP)中，约 "J /mx/r束方程(1.2)的系数矩阵A的任意一个?x?阶满秩子矩阵8 (忸性0)称为线 性规划问题的一个基解或基.这就是说，基矩阵8是由矩阵A中“个线形无关的 Cl Cl>n列向量组成的，不失一般性，可假

7、设B= ："：=(p:p”.,p“J并称Pi (i = 127)为基向量，与基向量相对应的变量X, (，= 1,2,7)称为基变 量不在8中的列向量,(/="7 + 1,? + 2,)称为非基向量，与非基变量相对应的 变量Xj(' = "? + l,z+2)称为非基变量，并记a1.加+1。】.旭N =：=(P"WP,”+2.，P“)，/ (1 m.m+1mn /则系数矩阵4可以写成分块形式，不失一般性A = (B,N),(1.4)将基变量和非基变量组成的向量分别记为Xs =(小，4)'， Xn =(小，/+2,，玉)/，则向量X相应的写成

8、分块形式X= B(1.5)1xj(x、再将(1.5)代入约束方程组(1.2)中，得(B,N) b =b,由矩阵的乘法可得 BXb + NXn=1), 乂因为3是非奇异方阵，所以87存在，将上式两边乘以8", 移项后，得Xb = B"B-'NXn现在可以把X.v看作一组自由变量（乂称独立变量），给他们任意一组值文八 则一 相应的Xs的一组值58,于是夕=丫 便是约束方程组（1.2）的一个解.特 卜"别令耳、,=0时，则用v=8-%,现把约束方程组的这种特殊形式的解乂= ”,称为基本解.满足变量非负约束条件（1.3）的基本解称为基本可行解.现在来研究线性规划的

9、灵敏度分析.灵敏度分析的含义是指对系统或事物因为周围条件变化显示出来的敏感度. 具体说来就是要研究初始单纯形表上的系数变化对最优解的影响，研究这些系数 在什么范围内变化时原最优基仍然是最优的.若原最优基不是最优的，如何用简 便的方法找到新的最优解.现考虑标准形线性规划问题：max Z = CX（LP）AX=bs.t.<X>0当线性规划问题中的一个或几个参数变化时，可以用单纯形法从头计算，看 最优解有没有变化.但这样做即麻烦乂没有必要，因为单纯形法的迭代过程是从 一组基向量变换为另一种基向量，每次迭代都和基变量的系数矩阵B有关，表中 每次迭代得到的数据只随基向量的不同选择而改变，因此

10、可以把个别参数的变化 直接在计算得到的最优解的单纯形表上反映出来.这样就不需要从头计算，而直 接在最优性单纯形表进行审查，看一些数字变化后，是否仍满足最优性的条件， 如果不满足的话再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解.可按下表中的几种情况进行处理:原问题对偶问题结论或继续计算的步骤可行解可行解表中的解仍是最优解可行解非可行解用单纯形法继续迭代求 最优解非可行解可行解用对偶单纯形法继续迭 代求最优解非可行解非可行解引进人工变量，编制新的 单纯形表求最优解下面就各个参数改变后的情况进行讨论:价值系数匕的变化分析（一）非基变量L的价值系数”的变化若非基变量乙的价值系数Cj的改变为。；=勺+拉小则变

11、化后的检验数为 b,'=Cj+A,G/4pj，0要保持原最优基不变，即当,变化为.后，最终单 纯形表中这个检验数小于或等于零，即因此 这就确定里在保持最优解不变时非基变量弓的目标函数“，的变 化范围，当超出这个范围时，原最优解将不是最优解了.为了求新的最优解，必 须在原最优单纯形表的基础上，继续进行迭代以求得新的最优解.例1已知线性规划问题max Z =玉 + 5x2 + 3x3 +4x42x + 3x2 +x3 + 2x4 < 8005 内 + 4x2 + 3演 + 4x4 < 12003内 + 4x2 + 5xy + 3x4 < 1000x?>0（j = l

12、,2,3,4）的最优单纯形表如下所示：（表LI）%1534000CbXBbX2与z儿V70七1001/40-13/4011/4-14%20020-2101-154100-3/4111/4003/41Z = cz1300-13/40-11/400-1/4-1（I）为保持原最优解不变，分别求非基变量为,占的系数G9的变化范围 （II）当q变为5时，求新的最优解.解 （i）由图表可知：5=73/4, 4=-11/4,于是由公式Ac产-知, 保持原最优解不变，则有 M « 13/4, Aq < 11/4 ,当 c； = c, +Aq <1 + 13/4 = 17/4 , c； =

13、 q + Ac. 43 +11 /4 = 23/4时，原最优解不变.（ii）当q=5>17/4时，已经超出了 q的变化范围，最优解发生了变化，下 面来求新的最优解.首先求出的检验数：，1/4、 b；=q'-G8"p1=5-（0,4,5） 2=3/4>0<-3/4；故再为换入基，用新的检验数b； =3/4代替原来的检验数巧=73/4,其余数据 不变，得到新的单纯形表，并继续迭代得：序号%5534000%XbbA2与%招/X、I01001/40-13/4011/4-1420020-2101-15X?100-1/4111/400-3/41Z = j-Zj-1300

14、3/40-11/400-1/4-1II07500-31/811/8-7/85王10010T201/2-1/25X21750123/80-3/85/8z = (l,-137500-2-3/80-5/8-5/8表(1.2)由表中可看出已得到新的最优解9 =(100,175,0,0,75)/ 及新的目标函数最优值Z4=1375.(二)基变量勺的价值系数%的变化若%是基变量%的价值系数，因为当g变为+小寸，就引起品的变化，则其中卜/“；，4：)是矩阵8%的第r行.于是，变化后的检验数为cr/ =Cj -ClBlpt -Acrar- = <7, -cra (j = 1, 2, ，n) 若要求最优解

15、不变，则必须满足b； =o(j = 1, 2,，n) 由此可以导出当与<0时，有/a；当% >0 时，有jNbJa；.因此，Ac,的允许范围是max 卜/ /%' a； >o1 < At; < min b, /qj a； < o使用此公式时，首先要在最优表上查出基变量与所在行中的元素%'(/ = 1,2,)，而且只取与非基变量所在列相对应的元素，将其中的正元素 放在不等式的左边，负元素放在不等式右边，分别求出A%的上下界.例2为保持现有最优解不变，分别求出例1中基变量乙,的变化范围.若 当品由(0, 4, 5)改变为(0, 6, 2)时，原最

16、优解是否保持最优，如果不是, 该怎么办？解 根据上述公式，利用表（L1）,为使最优基变量（孙多）不变，的变化范围是max-13/4 -1/412 ' 1> < Ac4 < min <-13/4 -1/4一3/4 '-3/4故当时.，原最优解不变，现在j变为6,已超出了的允许变化范-1 1/4 -11f-13/4 -1/41围.同样的，Aq的允许范围是maxJ-p7p-j-)K Ac? KminJ二即 故当44小不时，原最优解不变，现在Q变为2,也不在此的允许变化范围内, 当仆由（0, 4, 5）变为（0, 6, 2）即q变为6, C?变为2,都超过了它们

17、的允许变化范围，需要求新的最优解,为此用变换后的%'代替q，将表（L2）改成 表L3 （I）,在继续进行迭代求得新的最优解，由该表知，已求得最优解 寸=（0,0,0,300,200,0,100）'及目标函数最优值Z* = 1800.序号Cj12360005Xbb再X2与%儿XI0X51001/40-13/401-1/206X420020-2101/402V2100-3/4111/400-3/41Z = cZ/-1400-19/2019/200-3/20II0200-1/21-1/201-1/2063005/413/4101/400%7100-3/4111/400-3/41Z =

18、 c"-1800-13/2-4-3/200-3/20从价值系数匕的变化的分析中，现可以得到一个特征:最优解对目标函数中的价值系数”的改变不十分灵敏，而对价值系数”的 灵敏度分析的应用意义是：企业可以在不改变资源优化分配的前提下，在一定幅 度内改变价值系数Cj的值，来积极应对市场挑战.二、技术系数4的变化分析由于对价值系数Cj的分析分为基变量价值系数和非基变量价值系数,现也可 以按这种方法把对技术系数%的分析分为两类：% J（一）、非基向量列P,改变为p; p）="" 这种情况指初始表中的舄到数据改变为p;,而第/个列向量在原最终表上 是非基向量.这一改变直接影响最

19、优单纯形表上的第j列数据与第j个检验数. 最终单纯形表上的第J列数据变为斤？'，而新的检验数若 <<0,则原最优解仍是新问题的最优解.若'>0,则最优基在非退化情况下 不再是最优基.这是，应在原来最优单纯形表的基础上，换上改变后的第j列数 据夕？'和',把弓作为换入变量，用单纯形法继续迭代.（二）、基向量列"改变为巴这种情况指初始表中的P,列数据改变为而第/个列向量在原最终表上 是基向量，此时，原最优解的可行性和最优性都可能遭到破坏，需要重新计算.三、右端常数内的变化分析右端常数片的变化在实际问题中表明可用资源的数量发生变化.当第，个

20、约束方程的右端常数由原来的/乙变为"其它系数都不变，即 初始表上新的限定向量4 一'o -飞一-0b20b20/ = /? + M = + 她，其中b = b.= A.XR 0 A. 0设原最优解为Xs= 8-6 =% 9则新的最优解为60 X； = B-lbf = B7b + B-b = B-lb + 8“ hr 0若原最优基8仍是最优的，则新的最优解X； NO,即ro X； = B-b + B-i =B-lb+ d； =Xl+brDr>0 一。d'fnr其中。是的第r列，即故XB + 她4； >0(/= 1,2,/?) 因此，么的允许变化范围是： 、

21、.max < 14, >0><< min , I d： < 0 >f><>T 4r*<如果A超出上述范围，则新的解不是可行解.但由于。的变化不影响检验数， 故仍保持检验数b<0,即满足对偶可行性，这时可在原最终表的基础上，用对 偶单纯形法继续迭代，以求出新的最优解.一般来说，当变为Z/时，也可以直 接计算夕%,若有2 0,则原最优基8仍是最优基，但最优解和最优值要重 新计算.若8-%不恒大于零，则原最优基B对于新问题来说不再是可行基，但由 于所有检验数bNO,现行的基本解仍是对偶可行的，因此，只要把原最终表的 右端列改为,

22、就可用对偶单纯形法求解新问题.-Cb'例3线性规划问题max Z = 2x1+ 3x22x +< 12 +AZ?.4x <16 + > s/<5x2 < 15 + 4分别分析仇，打在什么范围内变化，问题的最优基不变.解 先分析的变化，由公式XjuXs+B-iMZO知，使问题最优基不变 的条件是由此推得3 同理由4 + A,3从而>0得,>0ST%44 + *3 +3四、增加新约束条件的灵敏度分析>0若在线性规划问题中再增加一个新的约束条件，即4Mx <bm+l其中(4. 1)+")，X=(xpx2,.sx/r),由于增加一

23、个约束，则可行域有可能减小，但不会使可行域增大，因此，若原问 题的最优解满足这个新的约束，则在新问题中仍是最优解；若原来的最优解不满 足这个新约束，那么现再来求新的最优解.设原来的最优基为8,各基向量集中于A的前加歹U，最优解为x =09对新增加的约束（4.1）,引进松弛变量吃 又因为47=（4+）,（4+）v），则（4.1）式变成（AhJbX8+（4i）nXn+X“x=2 田（4.2）20显然，五川是约束（4.2）的基变量.增加约束后，新的基31 （9尸及右端向量/ 如下：B'=，-i0 Pj对于新增加约束后的新问题，在现行基下对应变量。工7 + 1）,的检验数 是：=Cj -Zj

24、= Cj_C/（9尸邛=Cj -G，0） 它与不增加约束时相同.乂因为工川是基变量，故%.；=0,因此，现行的基本解 是对偶可行的，现行基本解是：XbXeB" 0-（心产1若（%（4川）*-町之0,则现行的对偶可行的基本解是新问题的可行解， 即最优解.若（%（4+1）*-町<。，则在原来最终解的基础上增加新约束（4.2）的 数据，通过矩阵的初等行变换，把原最终表上的各基向量列及新增列己,化为单 位阵，再用对偶单纯形法继续求解.五、增加一个新变量的灵敏度分析假设要增加一个非负的新变量X向，其相应的系数列向量为2+1，价值系数 为乂知原问题的最优解是8,显然，增加这个新变量，对原最

25、优解的可行 性没有影响.现计算新的检验数4+| =-CrB 12+若?”<0,则原最优解是新问题的最优解；若巴”>0则原最优解不再是最 优解.这时，把夕功”加入到原最终表内，并以新变量上/作为换入变量，按单 纯形法继续迭代，即可得到新的最优解.六、线性规划灵敏度分析的应用线性规划灵敏度分析的应用主要是资源条件的应用，而对资源条件沙的分析 的一个重要应用是：“影子价格问题”定义设线性规划对偶问题 nmax Z = Z cjxj = CXmin W = Yb,n、 i>/j=AXW4=3 = 12.,7）（YA>C（P ） s.t.< j-i（ D ） sJ.<

26、Y >0x-20（/ = 1,2广、）1 *右端常数 （i = 12,7）表示第i种资源的现有量下面讨论暂增加1个单位时所引起的目标函数最优值的变化.设8是问题（P）的最优基，则z = CBB-lb = Y*h = y；a + y2b2 + + ymbm ,当变为2+1时（其余右端常数不变，并假设这种变化不影响最优基6） 目标函数最优值变为Z' = >'i 4 + + y：（2 +1） + + ymbm ,于是目标函数最优值的改变量为zXZ*=Z,4-Z* = y；,由上式可以看出y；的意义，它表示当右端常数增加1个单位时所引起的目标 函数最优值的改变量，也可以写成

27、卫= y；（i = l,2,，即y：表示Z.对白的变 dbi化率.在一对对偶问题（P）和（。）中，若（P）的某个约束条件的右端常数4 增加1个单位时所引起的目标函数最优值Z*的改变量），；称为第，个约束条件的影 子价格，乂称边际价格.由定义可知，影子价格上的经济意义是在其它条件不变的情况下，单位资 源变化所引起的目标函数最优值的变化，即对偶变量K就是第i个约束条件的影 子价格.影子价格是针对某一具体的约束条件而言的.而问题中所有其它数据保 持不变，因此影子价格也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数.影子价格乂称灵敏度系数，通常指线性规划对偶模型中对偶变量的最优解. 如果原规划模型属于一定

28、资源约束条件下，按一定的生产消耗生产一组产品并需 求总体效益目标最大化问题，那么其对偶模型属于对本问题中每一资源以某种方 式进行估价，以便得出与最优生产计划相一致的一个企业最低总价值.该对偶模 型中资源的估价表现为相应资源的影子价格.影子价格在经济管理中的应用很多，下面就下面这个问题进行分析： 影子价格指示企业内部挖掘潜力的方向.设线性规划模型（LP ）：max Z = £c：jXjbinZ询X/ <4(i = 12,7)S.t.< >iA； >0(7 = U2<-JZ)存在最优解.对（LP）标准化后，得：minZ = C'X'rAXf

29、= bXf>0其中c'=（Y,O）,。是卬维行向量， 4=（4/）为7*2单位阵.因为设（。）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基最优解为：Z4 = ycV = Vc；/ ,并可设= ）” b 1J-110Z，=i>X=i>；£=k；,C）”=斗:（8丁 4所以可令即因此，有>1>-1'/ 0r-1 Li.dZyi=前'了；=。(8'),(i = L2,，机)nm(6. 1)(6.2)，=1>国=£谓 j-lr-l再令了=（£，£，,城）=7'（"）,由单纯形

30、法最优原则可知:A-cYO即/(A/)<(-c*,O)= -(O)因此，有/>0(6.3)而由（6.2）, （6.3）及线性规划的对偶结构可知：y,是对偶问题的可行解.再由（6.1）及对偶定理可知：是对偶问题的最优解.可见，最优解一的不起作用约束的影子价格为零.反之就是，若影子价格 炉>0,则对应的是/的起作用约束.因此，影子价格y；=0表示第i种资源4未 得到充分利用；而£>0则表示第i种资源4已得到充分利用.影子价格直接应用到企业资源最有效的部门中去.当影子价格大于资源的市场价格时，企业应购进这种产品，使利润增加；当当影子价格小于资源的市场价 格时出现多做

31、多赔的情形，应出售这种资源.大公司还可借助资源的影子价格确 定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏.乂 如在社会上对一些紧缺资源，借助影子价格规定使用这种资源企业必须上缴的利 润额，以控制企业自觉地节约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大经济效益.“影子价格问题”：影子价格设线性规划模型（LP ） /IMax Z'jXj j-i '£。内的（，=1,2 , 7）xf > 0（j = 1,2）有最优解父，最优解为dzcbi则可令则必有z* = £口；瓦和口；2oMax CjXj j-i .SJ. < j.jXj > 0

32、(y = 1,2)存在最优解.对(LP)标准化后，得min exAx =b/>0其中£ =(局为尸(外为松弛变量,是代维列变量),c' = (-c,O),这里0是机维行 向量，而4 = (4/)为产单位阵.因为设(LP)有最优解，故由线性规划单纯 形法求解，可得最优基可行解最优解为：nnn/khiZ =£cjXjj =（cc：v）= c'b（B ） 1 h =也j-1j-11。 JiT 所以可令以=与，即环=L(b)t，a = 12,2)c/7.因此有nin=汇jx；=%叫*瓦(6.4)j-TZ-l再令，=(叼*。2*，,S/)= C)(B"

33、)T由单纯形法最优准则可知，4一。'=或()-|4'一/<0(6.5)即gt*(A,/) < (-c,0) = -(c,0)因此有gt" > 0(6. 6)而由(6. 5)和(6. 6),由线性规划的对偶规划结构可知:，是对偶规划的可 行解，再由(6. 4),以及对偶定理可知：，是对偶规划的最优解.)称。为第i种 资源的影子价格，少=3。喏；)为影子价格向量.。表示，第i种资源加对 最优值的边际贡献.从线性规划对偶理论易见，影子价格就是对偶规划的最优解.而由前述对资 源条件的灵敏度分析可知，对于最优解/的不起作用约束而言，若此约束的资 源条件历在灵敏

34、度范围内变动时，则最优值/不变，所以* &* n= 0dbj可见，最优解丁的不起作用约束的影子价格为零。反之而言就是，若影子价 格，0,则对应的是/的起作用约束。因此，影子价格，=0表示第i种资源4未得到充分利用；而，0则表示 第i种资源我已得到完全利用影子价格直接应用到企业资源的最有效利用中去.当影子价格大于资源的市 场价格时，企业应购进这种产品，使利润增加；当影子价格小于市场价格时，出 现多做多赔的情形，应出售这种资源.大公司还可借助资源的影子价格确定一些 内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏.乂如在社 会上对一些紧缺资源，借助影子价格规定使用这种资源单位必

35、须上缴的利润额， 以控制企业自觉地节约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大经济效益.七、线性规划灵敏度分析在经济与管理问题上的典型应用一般应用问题的线性规划模型为：Maxexsi.Ax< hx>0其中c = (cpc2-,c/f), b = (bb2-bn)>o线性规划的灵敏度分析有两个主要方面：第一、对价值系数的灵敏度分析在资源条件匕不变的前提下，问最优解保持不变时，每个价值系数可以变动的 范围.第二、对资源条件的灵敏度分析在价值系数C不变的前提下，问最优解保持不变时，每个资源条件历可以变动的 范围.线性规划的灵敏度分析有重要的经济与管理的应用背景，现通过一个例子来 了解有关的

36、概念.现来考虑AB公司的例子.AB公司在一周内只生产两种产品：产品4和8 .产品A和广”品B由多 种材料混合生成，这些材料都从仓库中提取.可供一周使用的三种原料数量如下:原料1 1200Wg原料2 400供g原料3 6000kg产品A 111 60%的原料1和40%的原料2制成,产品B由50%的原料1, 10%的原 料2和40%的原料3制成.产品A的边际贡献率为每公斤25元，产品8的边际 贡献率为每公斤10元.管理部门必须决定每种产品各生产多少公斤，使得在原料 供应计划下产品的总贡献最大.这个决策问题的线性规划模型为：max贡献= 25 A +10 80.6A + 0.5B< 12000

37、SJ. < 0,4A + 0.1B <40000.48 < 6000 .其中A>0, B>0应用图解法解此线性规划问题，可见下图：原料3的约束43000（图 1.0）本例的最优解为：4 = 6250, 8 = 15000八、从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征特征1最优解对目标函数中的价值系数（Cj）的改变不是十分灵敏以上例来说，对于A8公司，在保持（A = 6250, 6 = 15000）仍为最优解的 前提下，如果现增加产品A的贡献，目标函数的斜率会变得越来越小（目标函数 线变得更加垂直）.（图1.0）表明，最终目标函数将会达到一个与约束条件2 平行的斜率.那时，最优解即是包括从当前顶点到顶点（力= 1000, 8 = 0）的线 段上的所有点.运用下面的代数方法，现能计算出这时A的单位贡献为每公斤40 元6250必 +15000 xl0 = l0000/V1150000 = （10000-6250） PAPA = 150000/3750 = 40 （元）现可得到结论：若A的单位贡献为25美元到40美元之间（B的单位贡献保 持10美元不变），产生最大贡献的最优解始终是生产6250kg的产品A和15000依 产品庆注意