年高考第一轮复习数学新编等比数列

1、3.3 等比数列知识梳理1.定义.常数叫公比.数列an从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列2.通项公式: 推广形式：an=aqn 1, an=amqn m.变式：q= nanm (n、m C N ).- am3.前n项和na1(q 1),Sn= a1(1 qn)1 qaanq1 q(q0或 q1).注：qw 1时,Sn1 qnSm4.等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且 b= ± a ac .5.三个数或四个数成等比数列且又知积时,则三个数可设为a、a、aq,四个数可设为 > > aq、 qq3qaq3为好.6.证明等比

2、数列的方法：（1）用定义：只需证（2）用中项性质：只需an+12=an an+2或、5B.arcsin 21 . 5 D.arcsin解析：设RtA ABC中，C=工，则A与B互余且A为最小内角.又由已知得sin2B=sinA,即cos2A=sinA,1 sin2A=sinA,解之得 sinA=2三5或sinA= 忑1 （舍）.答案：B2.设an是由正数组成的等比数列，公比q=2, 且 a1 a2 a3a30=230,刃B么 a3 a6 a9a30等于A.210B.220C.216D.215an 1 an 2an an 1点击双基1.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是而1 A

3、.arccos 21.5C.arccos解析： 由等比数歹U的定义，a1a2 a3=(也)3,故aa2a3a30=(-6-0-30) 3 又 q=2 ,qq故 a3 a6 a9 a30=220.答案：B3.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来白5%以下，则至少需过滤的次数为A.5B.10C.14D.15解析：由题意列式(1 20%) n<5%,两边取对数得 n> lg2 113.4.故n-14.1 3lg 2答案：C4 . ( 2004年全国，文14 )已知等比数列 an中，a3=3 , a1o=384 ,则该数列的通项 an=.

4、解析：由已知得 q7= al =128=27,故 q=2. - -an=a3 qn 3=3 - 2n 3.答案：3 - 2n 35 .如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n (nC N*)行，在这些数中非 1的数字之和是11 11 2 113 3 11 4 6 4 1解析：观察可知，第n (nCN*)行中有n个数，从左向右依次是二项式系数 C01, Cn 1 , Cn1,Cn 1,故当n>3时，除了 1外，第n行各数的和为an=Cn i+c2 1 +Cn 2=21 2.又前两行全部为数4(1 2n 2)一子1,故前 n仃非1的数子之和为 a3+a4+an=-2 (n2) =2 -2n.1

5、 2答案：2n2n典例剖析例1 已知等比数列an中，a+a2+a3=7, a1a2a3=8,求an.剖析：利用等比数列的基本量a1，q,根据条件求出a1和q.解：设an的公比为q,由题意知a 1a1 4,解得 1,或 1 .an=2n 1 或 an=23 n.q 2q -.2评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法思考讨论用a2和q来表示其他的量好解吗？该题的 an若成等差数列呢？【例2】 已知数列 an为等差数列，公差 dw0, an的部分项组成下列数列：a% , ak2 ,a kn ,恰为等比数列,其中k1 = 1, k2= 5, k3 = 17,求 kI+k2+k3+ + kn.

6、剖析：运用等差(比)数列的定义分别求得akn ,然后列方程求得 kn.解：设an的首项为ai,ak1、ak2、ak3成等比数列，(a + 4d)2=ai(ai+16d).,由a、 一信 ai = 2d, q = 3.aki a kn = ai + ( kn - 1) d,又 a kn = ai , 3n 1, - kn = 2 , 3n 1 1. -ki + k2+ - + kn=2 (1 + 3+3n1) n1 3n °=2X n=3nn1.2 3评述：运用等差(比)数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时要注意：akn是等差数列中的第kn项，而是等比数列中的第n项.-【

7、例3】设各项均为正数的数列an和bn满足5 an,5bn, 5an1成等比数列,lgbn,lgan+i, lgbn+i成等差数列，且 ai =1, bi=2, a2=3,求通项an、bn.剖析：由等比中项、等差中项的性质得an+i = Jbn bn1递推出an.bn bn (n>2).解：5an , 54 , 5an1成等比数列，(5>)2=5 an - 5an 1 ,即 2bn=an + an+i.又Igbn, lgan+i, lgbn+i 成等差数列, 21g an+i=ig bn+lg bn+i,即 an+i2=bn , bn+i.由及 ai>0, bj>0 (i

8、、jC N*)可得an+i= Jbn bn i .，an= Jbn ibn (n>2).将代入可得 2bn= Jbn1一b7 + Jbnbn 1 (n > 2), 2 'bn = Jbn i + bn i (n>2). 数歹U YBn为等差数歹u .2 . .9- bi =2, a2=3, a2 =bi , b2, . b2= .2v'bn = V2 + (n 1) ( J9 -氏)1 =2，2(n+1) (n=1 也成立).b (n 1)2 bn=2:n2 (n 1)2 n 1 bn =22n（n 1）=_ n n>2）.2又当n=1时，a1=1也成立

9、.n（n 1） an.2评述：由Sn求an时要注意验证a1与S1是否一致.特别提示1 .an为等比数列是an+12=an an+2的充分但不必要条件.2 .若证an不是等比数列，只需证ak2wak1ak+1 （k为常数，kCN,且k>2）.闯关训练夯实基础1 .若等比数列an的公比q<0,前n项和为Sn,则S8a9与S9a8的大小关系是B.S8a9 < S9a8D.不确定A. S8a9 > S9a8C.S8a9=S9a8解析：由等比数列通项公式和前n项和公式得Ss , a9 S9 , a88 a1(1q ), aq39a1(1q ), aq728d (q167q ) (

10、q162 , 87 a ) a(q q ) 一=1q=a12q7.又 q v 0,则 S8 - a9 S9 , a8> 0,即 S8 , a9> So , a8. 答案：A2.银行一年定期的年利率为r,三年定期的年利率为的存款，那么q的值应略大于q,银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期A. , (1 r)C. (1 + r) 3-11 B.3 D.r(1 + r) 311解析：由题息得（1 + r） 3<1+3q,故q>-3(1 + r)3-1.答案：B3. （2003年上海，8）若首项为a1，公比为q的等比数列an的前n项和总小于这个数列的各项和,则首项a1,公比q

11、的一组取值可以是（a，q）=解析:由题意知曳(1-q-) v-aJ 且|q|v 1 对 nCN 都成立，a1>0, 0vqv1. 1 q 1 q答案:(a>0, 0<q< 1 的一组数)4.设an是首项为 1的正项数列，且（n+1） an+12 nan2+an+1an=0 （nC N*）,则它的通项公式an=an i斛析：分斛因式可得(n+1) an+1 nan an+1 + an =0,又 an>0,则(n+1) an+1 nan=0,即anai=1,由累积法可得1 an=.nJ 1答案：1 n5.定义一种运算“(1) 1 * 1=1;对于任意非零自然数n满足以

12、下运算性质:(2) (n+1) * 1=3 (n*1).试求n*1关于n的代数式.解：“n*1”是一个整体，联想数列通项形式，设n*1=an,则a1, an+1=3an,得an=31,即n*1=3n6.等比数列an的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项是 54,若该数列的前n项之和为Sn,Sn=80, S2n=6560,求：一 一(1)前100项之和Soo.(2)通项公式an.解：设公比为 q, . S?n-Sn=6480>Sn, ，q>1.则最大项是 an=aqn 1 (an> 0).又Sn =a1(1 qn) =80,1 qa1 (1 q2n)S2n=6560,由解得

13、a=2, q=3,则、，.、*2(3100 1) “c(1)前 100 项之和 S00=-()=3100 1.3 1(2)通项公式为an=2 3厂1.培养能力7.数列an的前 n 项和为 Sn,数列bn中，b1=a1, bn=anan-1 (n>2),若 an+Sn=n.(1)(1)设Cn=an- 1 ,求证：数列Cn是等比数列; 求数列 bn的通项公式.1证明： a二S1, an+Sn=n,，a1+S1=1,得 a1二一.2a 1 1 c 1又 an+1 + Sn+1=n + 1 ,两式相减得 2 (an+1 - 1) =an 1 ,即=,也即=,故数列Cn是an12Cn 2等比数列.

14、1(2)斛：. C1 =a1 1 =,2111, cn = , an= Cn+1=1 - , an 1 = 1 一 T .2n2n2n 111111故当 n > 2 时，bn=an an 1=1 - = f.又 b1=a1 二 一, 即 bn=-2n 12n 2 n22nlg b1 lg b28.设数列 an、bn (bn>0, nC N ),满足 an=n(nC N*).1gA (nC N*),证明:an为等差数列的充要条件是bn为等比数列.证明：充分性：若bn为等比数列，设公比为q,则an =nlgb lg(q q21)n(n 1)nlg b1lgq 2=lgb1+ (n1)

15、lgq 2 , an+1 an = |gq2 为常数, an为等差数列.必要性：由 an=毁一1gb2nlg bn .信 nan= lgb1+lgb2+ + lgbn, (n+1) an+1 = lgb1 + lgb2+ -+ lgbn+1,1 1 n (an+1 an) + an+1 = lgbn + 1.若an为等差数列，设公差为d,则 nd+a+nd = lgbn+1,a1 2nda1 2(n 1)dbn + 1 = 10 1， bn= 10b!L =102d为常数. bn (bn为等比数列.探究创新9.有点难度哟！设数列an,5a1=,右以 a 1, a2,，an 为系数的次方程：an

16、 1x anx+ 1=0 (nCN 且 n6>2)都有根B 满足 3 a a 3 +33 = 1.(1)求证：an 1为等比数列;2(3)求an 求 an的前n项和Si.(1)证明：.anan 11代入 3 a a 3 +3§=1 得 an =an 1an-1 + 一,anan 112_1213 anan 11 13 212an一1 一，1是等比数列.(2)解:21 a1 _ 一2，1、 x (一)313，-)n311(1)33nn n 1：+ =【1 2221312 3n(3)解： Sn = ( + + + 1 1 - + )+=3323n 2思悟小结1 .深刻理解等比数列的

17、定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点2 .运用等比数列求和公式时，需对q=1和qw 1进行讨论.3 .证明数列an是等差数列的两种基本方法是：(1)利用定义，证明2n_ (n>2)为常数;an 1(2)利用等比中项，即证明an2=an 1 - an+1 (n>2).教师下载中心教学点睛1 .等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应让学生熟练掌握、灵活运用2 .解决等比数列有关问题的常见思想方法：(1)方程的思想：等比数列中五个元素a1、an、n、q、Sn可以“知三求二”；(2)分类讨论的思想：当a1>0, q>1或a1<0, 0vqv1时为递增数列

18、，当 aK 0, q>1或a1>0, 0vq<1时为递减数列；当 q<0时为摆动数列；当 q=1时为常数列.3 .转化为“基本量”是解决问题的基本方法.拓展题例1an.【例1】 数列an中，a1 = 1 , an= - an 1 + 1 (n>2),求通项公式1 1 ，斛.由 an= an 1 + 1 ,佝 an 一 2= ( an 1 一 2).2 2令 bn = an 2,则 bnT=anT 2,.有 bn= bn 1.21 .11. bn=bn 1 =bn 2222, a1 =1, - b1=a1 2= 1.bn = ( ) n 1.an=2 -.22n 11=, 一 ,一bn 3519aa【例 2】 已知数列an中，a1=- , a2=一并且数列 lOg2 (a2)，lOg2 ( a3 2 ),，log2 ( an+1 63633a)是公差为-1的等差数列，而 a2 a1, a3也，an+1 an是公比为1的等比数列，求数32223列an的通项公式.分析：由数列log 2 （an+1至）为等差数列及等差数列的通项公式，可求出 an+1与an的一个递推 3a关系式；由数列an+11为等比数列及等比数列的通项公式，可求出a