直线参数标准方程转换

1、X = Xo+tCO叫y = yo +tsina.(I)这是过定点Po（ xo,yo）,倾角为U的直线的参数方程，t为参数，t的几何意义是直线上一动点 P（x，y）到定点 Po（xo,yo）的有向距离。对于方程（I）的应用本刊1985年第5期谈直线的 参数方程及其应用一文较详尽的论述过。本文将介 绍直线的另一种形式的参数方程。x = x + at,oy = y + bt.Lo（高中平面解析几何甲种本P161 第1(3)题)为了和方程（I）的参数区别开来，不妨把上述参数方程表为x = Xo aT,卜=yo+bT.（T为参数）（n）通过消去参数T易知方程（n）表示是过定点bP（xo,yo）,且斜率

2、为a的直线方程。下面我们借助于方程（I）来探求方程（n）的参数t的几何意义对于常数a.b,我们总可以找到一个实数K使得 a2=b2=K2成立，则不妨设 a= Kcos“，b= Ksin“（0 W a <n ）。从而（n）变为；x = xo +TK 8say = yo +TK sin a（田）比较（i）、（n）可知，（田）是过定点 固/）,且 倾角为口的直线方程，其中参数TK为直线上一点P（x, y）到定点Po（ Xo，yo）的有向距离，又K=± J/'Y , sin一口K ,且 0W 口 <冗。.K与b同号，即土 E2的士号的选取与b的符号 一致。故方程（n ）的

3、参数T的几何意义是直线上一点P（x，y） i到定点Po（Xo,yo）的有向距离的士招+b2 （其中土号的选取 与b的符号一致）。即有向距离平=:。下面举例说明方程（E）的应用。1 计算有关线段长3例1过抛物线y2=4X的焦点作斜角为丁的直线交于A、B两点，求|AB| 。3解因直线的倾角为丁，则斜率为一1,又抛物线的焦点F(1 , 0),则可设AB的方程为x =1 +T,(T为参数)代入y2 =4x得2 2T -4T 4 =0 O由书达定理得Ti + T2=4, TiT2=-4。于是(Ti- T2) 2=(Ti + T2)2 4TiT2=32o |AB 尸、12 (-1)21Tl -T2 | =

4、 J2 .32 =8.例2已知过点P1(0 , 3)和P2(3 , -3)的直线与椭22L 匕=1、圆 4 16 交于 A、B 两点，求 |P1A| |P1B|。解 因直线AB的斜率为一2,则过点P1的直线方fx =T,程为"3一2代入椭圆方程是8T2-12T-7=0,于是丁丁2二7一 8 O一22 27 35.下网 |加尸 1 (-2)|丁1丁2| = 5|彳| = %. 8 8注：此题若用方程（I）来解，将麻烦得多；运用方 程（n）时，一般取（n）中的常数a=ib为直线的斜率， 这样有利于运算过程的简捷。2 求有关轨迹方程例3 在抛物线y=X2上取两动点Pl和P2,使弦长 RR=

5、2,求动弦P1P2的中点M的轨迹方程。解 设 M（xo,yo）,则 RR所在的直线方程为x =xo T, y =yo bT.（T为参数）-22代入 y =x2 得 T +（2x。七）T +x。" =0一日 T T =b -2x于是12。,2 TiTz-Xo yoo. M是Pi自的中点,.,.Tl+T2 = 0o即b-2xo=0。又Ti、T2互为相反数，且|PiR|=2,2xoToT1T2 =IT1T2l=-l 2_1 b士 :1 - b21 b2(2)22、，由(1)、(2)消去b得(yo-xo。 故M点的轨迹方程为(.收心片。3 求最值例4 在一抛物线y2=4P(x+P) (P&g

6、t;0)中，设有过 原点且互相垂直的二直线分别交抛物线于 A、B、C d 试求|AB| 十|CD|的最小值。分析 显然，由题设条件两直线的斜率均存在,1设CD的斜率为b,则AB的斜率为"bo解设过原点且两直线互相垂直的方程为九=七丁，AB: ly=(T 为参数)X =，CD Ly=bT'.(T，为参数)将（1）代入抛物线方程得T2+ 4PbT 4P2=0O于是 Ti + T2= 4Pb, T1T2=-4P2O |AB |=V1 b2 1Tl -T2 |"1 b2 . (T1T2)2 -灯1丁2=£1 b2 ,16P2b2 16P2 =4P(1 b2)2 _1cD 1Mb )p 同理求得1 b2。_224P(1 b2)1 2，|AB| +|CD|= (1 b)(b b) >16R (等号当且仅当