第21练-关于平面向量数量积运算的三类经典题型

1、第21练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型题型分析 高考展望平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛,夹角、模等问题，另外还可以解决对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、 平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题、填空题，也在 解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查体验高考1.（2015山东）已知菱形 ABCD的边长为a, ZABC=60° ,则BD CD等于（）3 23 23 23 2A. 2a B. - 4a C.4a D.2a答案 D解析如图所示,由题意，得 BC=a, CD = a, Z BCD = 120&#

2、176;.1BD 一一一一 工= BC2+ CD2 2BC CD cos 120 = a2+ a22a ax - = 3a2, .BD= V3a. BD CD = |BDHCD|cos 30 = V3a2x - cos 0= 2 .又, 0W g 兀，0= 4. = 2a2. ，一2 2 一2.（2015重庆）若非零向量 a,b满足冏=Y|b|,且（ab），（3a+2b）,则a与b的夹角为（）3兀A.4B.2 C.35 D.兀答案2,2解析由(a b)，(3a+ 2b)得(a b) (3a + 2b)= 0,即 3a2- ab-2b2= 0.又|a|=U-|b|,设a,3即 3|a|2|a|

3、|b| cos。一2b2=0,，8|b|2平|b|2cos。 2b|2=0, 333.（2015陕西）对任意向量a, b,下列关系式中不恒成立的是（）A.|a b|< |a|b|B.|a b|w |a|b|C.(a+ b)2= |a+ b|2D.(a+b)(a b)=a2-b2答案 B解析 对于A,由|a b|= |a|b|cosa, b|w |a|b恒成立；对于 B,当a, b均为非零向量且 方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.4.(2016 课标全国乙)设向量 a=(m, 1), b= (1, 2),且 |a+b|2= |a|2+|b|2,则 m =.答案 2解析由

4、|a + b|2= |a|2+|b|2,得 ab,所以 mx 1+ 1 X2=0,得 m = - 2.5.(2016上海)在平面直角坐标系中，已知 A(1 , 0), B(0, 1), P是曲线y = 1-x2上一个 动点，则BPbA的取值范围是 .答案0, 1+72解析由题意知y=(1 x2表示以原点为圆心，半径为1的上半圆.设P(cos a, sin o),0,兀BA= (1, 1), BP = (cos a, sin a+ 1),所以 EBP ba= cos a+ sin a+ 1= 72sin(1 C 0, 1+V2BP BA的范围为0, 1 + m.高考必会题型题型一平面向量数量积的

5、基本运算 例1 （1）（2015四川）设四边形ABCD为平行四边形，岫46, |AD|=4,若点M, N满足bM= 3MC, DN=2lNC,则 AM nM 等于()A.20 B. 15 C.9 D.6、一， ，之1（2）（2015 福建）已知 ABAC, |AB|=|AC|=t,若点P是 ABC所在平面内的一点,且AP =班+ 4AC,则PBpC的最大值等于()|AB| |AC|A.13 B.15 C.19 D.21答案(1)C (2)A解析 (1)疝=崩+3启，Nm = Cm - Cn = - 1AD + ;Ab , - Am nm = 1(4Ab+3Ad)-(4Ab 443412'

6、;3AD)=48(16AB2 9AD2) = 48(16 X 62 9 X 42)= 9,故选 C.(2)建立如图所示坐标系，则B 0 , C(0, t), AB= t, 0 ,AC=(0, t),AB 4AC ,1c 4AP=+ =t p 0 +-(0, |A B| |A C|1t)=(1, 4),P(1 , 4), PB PC= - 1, - 4 (1, t-4)= 17- t+4t <17-2；4t=13,故选 A.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算,具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a, b的数量积a b与代数中a, b

7、的乘积写法不同，不应该漏掉其中的ab=0时得不到a=0或b = 0,根据平面向量数量积(2)向量的数量积运算需要注意的问题: 的性质有 |a|2= a2,但 |a b|< |a| |b|.变式训练1 在 ABC中，ADLAB,Bo = 2V3 BD, |AD|= 1,则 aCad等于()A.2 ,3 B. 3 C.-23 D.-33答案 A解析在4ABC中， BC=273 Bd ,所以 AC Ad = (AB+BC) Ad = (AB+2>/3 BD)AD,又因为BD = AD-AB,所以 AC aD = (1 2V3)AB+ 2V3 AD AD = (12*)AB aD+2v3

8、AD aD =(1 -2V3)AB)AD+2-73 Ad2,因为 AD LAB,所以 ADAB,所以 AD AB=0,所以 AC AD = (1243)X0+243x 1 = 2。3,故选 A.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)设a, b为非零向量，|b|=2|a|,两组向量 X1, X2, X3, X4和y1, y2, y3, y4均由2个a和2个b排列而成.若xi y + x2 y2+x3 y3 + x4 y4的所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()2兀 兀 兀A.5 B.3 C，6 D.0(2)已知向量a, b满足|a|= 2|b|w0,且关于x的函数

9、f(x) = 2x3+3|a|x2+6a bx+5在R上单调递减，则向量a, b的夹角的取值范围是()2222 71A. 0, 6 B. 0, 3 C. 0, 6 D. "3，兀答案(1)B (2)D解析(1)设a与b的夹角为为由于xi, yi(i=1, 2, 3, 4)均由2个a和2个b排列而成，4记S=(xi yi),则S有以下三种情况:i=1S=2a2+2b2;S=4ab;S= |a|2+2a b+|b|2. |b|=2|a|, 中 S=10|a|2,中 S= 81a12cos 为中 S= 5|a|2+4|a|2cos a1易知取小，即 8|a|2cos 0= 4|a|2, -

10、 cos 9=,又 0w 0< 兀，0=,故选 B.3(2)设向量 a, b 的夹角为 0,因为 f(x)=2x3 + 3|a|x2 + 6a bx+5,所以 f' (x) = - 6x2+6|a|x + 6ab,又函数f(x)在R上单调递减，所以f' (x)W0在R上恒成立，所以A= 36|a|24X(, 一11c6)x (6a b)w 0,解得 abw4回2,因为 a b= |a|b| cos。，且 |a|= 2|b|w0,所以 |a|b|cos 0=21a12cos-4|a|2,解得cos -2,因为OC 0,兀所以向量a, b的夹角。的取值范围是 争 兀, 故选D

11、.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律.(2)数量积大于0说明不共线 的两向量的夹角为锐角， 数量积等于0说明两向量的夹角为直角， 数量积小于0且两向量不 能共线时，两向量的夹角为钝角 .变式训练2若非零向量a, b满足|a|=|b|, (2a + b) b=0,则a与b的夹角为()A.30 ° B.60 ° C.120 ° D.150 °答案 C解析设a与b的夹角为0,由题意得 |a|=|b|, (2a + b) b = 0,可得 2a b+b2= 2|a| |b|cos 0+ b2 = 2|a| |a|cos 0+ |a|2=0

12、,解一1得cos 0=-因为0 <陛180 ,所以0= 120 ,故选C.题型三利用数量积求向量的模例3 (1)已知向量a, b的夹角为45°,且|a|=1, |2ab|=50,则|b| =.(2)已知直角梯形 ABCD中，AD / BC, /ADC = 90°, AD = 2, BC = 1,点P是腰DC上的动 点，则|PA+ 3PB|的最小值为.答案(1)3 .'2 (2)5解析 (1)由 |2ab|=#0,贝U |2a-b|2=10,及 4a24a b+b2= 10,又向量 a, b 的夹角为 45°, 且|a|=1,所以 4X 1 4X1 x

13、 |b|cos 4+ |b|2= 10,即 |b|22小|b|6= 0,解得 |b|=3/2.(2)方法一 以点D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴，建立如图所示的平面直角 坐标系，设DC = a, DP = x.D(0, 0), A(2, 0), C(0, a), B(1, a), P(0, x), PA= (2, - x), PB=(1, a-x),PA + 3PB = (5, 3a 4x),|PA+ 3PB|2= 25+ (3a-4x)2>25,|PA+3PB|的最小值为5.方法二 设 DP = xDC(0xv 1), . PC = (1 - x)DC , PA= DA -

14、 DP = DA - xDC ,1L 1±1PB= PC+CB = (1 -x)DC+2DA, .PA + 3PB = |dA+(3-4x)DC,|PA+3PB|2=普法2 + 2X 擀X (3 4x)DA dC + (3 4x)2DC 2 = 25+(3-4x)2DC2>25,1.|PA+3PB|的最小值为5.点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a=(x, y),求向量a的模只需利用公式|a|=x2+ y2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或 应用向量的数量积公式，关键是会把

15、向量a的模进行如下转化：|a|= 相.变式训练3 已知向量a, b, c满足|a|=4, |b|= 2血，a与b的夹角为j, (c- a) (c-a)=- 1, 则|c a|的最大值为()A./+2 B.乎+1 C.j 1 D.V2+1答案 D解析在平面直角坐标系中，取 B(2平,0), A(2yf2, 20,则OA=a, OB=b,设c=OC =(x, V),则(c a) (cb)=(x2山，v 2取)(x 272, y) = (x 272)2+y(y-272) = - 1,即(x 2p)2+ (y U)2= 1 ,所以点 C(x, y)在以D(2#, #)为圆心，1为半径的圆上，|c- a

16、| = x-2 ,12 2 + y-2 2 2,最大值为|AD|+1 = 42+1.故选D.高考题型精练1 .已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线的长都为 1,点E、F分别是AB、AD的中点,则eF dC等于（）A.4答案 D解析 由题四边形ABCD的边和对角线的长都为 1,点E、F分别是AB、AD的中点，则EF平行于 BD,则 EF DC = 2BD Do = 2X 1X1XC0S 120 =-1.2 .(2016课标全国丙)已知向量bA= 2,当，BC= 坐，2，则/ ABC等于()A.30 ° B.45 ° C.60 ° D.120 °答案 A

17、解析 |BA|= 1, |BC|= 1,BA BC 他 cos / ABC =.|BA| |BC|又< 0°<Z ABC<180°, ./ ABC =30°.3 .(2015湖南)已知点A, B, C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2, 0),则|PA+PB+pC|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9答案 B解析由A, B, C在圆x2+y2= 1上，且ABXBC, .AC为圆的直径，故PA+PC=2PO=(-4, 0),设 B(x, v),则 x2 + y2= 1 且 xC 1, 1, PB=(x-2, y),所以

18、法+用+吃=(x 6, y).故|珠+ 通+ 无= y 12X+ 37, - 1<x<1, 当x=- 1时有最大值律=7,故选B.4 .已知三点A(-1 , 1)、B(3, 1)、C(1 , 4),则向量BC在向量BA方向上的投影为()A.也B.5 C. 13D. 一2,1313BC BA|BA|答案 A解析 BC = ( -2, 3), BA= (-4, 2),向量BC在向量BA方向上的投影为,故选A.一 2X - 4+3X - 25(a+ b) a= a2+ a b= 3 + |f3x 2cos < a, b> = 0,cos <a, b> = 又 0V

19、a, b> < %, a和b的夹角为 68 .(2016浙江)已知向量a, b, |a|= 1, |b|=2.若对任意单位向量 e,均有|a e|十|b eg正，则 a b的最大值是.答案|解析由已知可得，乖河a e|+ |b e|> |a e+ b e|= |(a+ b) e|, 由于上式对任意单位向量e都成立.通>忸+13|成立.-6>(a+b)2=a2+b2+2a b=12 + 22+2a b.1即 6>5+2a b,. a b< -9 .如图，在 ABC 中，点。为 BC 的中点，若 AB=1, AC=3, <AB, AC> = 6

20、0 ,则 |OA|答案手解析因为苑，庭=60°,所以苑品=岫| |aS|cos60 =1X 3X 2 =>1 >XAO = -(AB+ AC),所以启2=；(m+A6)2=(AB2+ 2AB AC+AC2),即启2 = ：。+ 3+9)=素，所以 |OA| = .10.已知点O是锐角 ABC的外心，AB=8, AC=12, A =号若危=凝+丫/，则6x+9y o答案 5解析 如图，设点O在AB, AC上的射影分别是点 D, E,它们分别为AB, AC的中点，连接OD , OE.由数里积的几何思义，可得 AB AO= |AB| |AD|= 32, AC AO= |AC|

21、|Al|= 72,依题意有 AB aO = xAB2 + yAC Ab= 64x+ 48y=32,即 4x+ 3y=2, AC aO=xAB aC+ yAo2=48x+ 144y=72,即 2x+6y = 3,将两式相加可得 6x+9y= 5.11.设 a=(-1, 1), b=(x, 3),c=(5, y),d=(8, 6),且 b/d, (4a+d)±c.(1)求b和c;(2)求c在a方向上的投影;求为和江，使c=为a+及b.x=4.解 (1) . b/ d, .1.6x-24=0, ,-4a+d=(4, 10), (4a+d)±c, .5X4+10y=0, y=-2,

22、 .b=(4, 3), c=(5, -2)./c、/、 ac 527 v58(2)cOs ° =丽=巧=-58 'c在a方向上的投影为|c|cosa, c>7,22 .(3) c=为a+ 沦b,5=-九+ 4尬，- 2=4+ 3尬，.1233解得23加=3,>，一，,，一.， 一一，一，一 f 5f12.在4ABC中，AC=10,过顶点 C作AB的垂线，垂足为 D, AD=5,且满足AD = DB.求岫-AC|；(2)存在实数t>1,使得向量x=AB+t/AC, y=tAB + AC,令k= x y,求k的最小值.5解 (1)由AD = &DB,且A, B, D二点共线， 11可知|曲=布面.又AD=5,所以DB = 11.在 RtAADC 中，CD2= AC2-AD2=75,在 RtBDC 中，BC2=DB2+CD2=196,所以BC= 14.所以 |AB AC|= |CB|=14.(2)由，知 |AB|= 16, |AC|=10, |BC|=14.由余弦定理，得cos A=102+ 162 142_2X 1