八年级上册张家港数学期末试卷易错题(Word版含答案)

1、八年级上册张家港数学期末试卷易错题(Word版 含答案)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1 . (1)如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD. ZBAD=I20° , ZB 二 ZADC= 90° E、F 分别是 BC, CD上的点.且ZmF=60° .探究图中线段旺BE, R之间的数量关系.小明同学探究的方法是：延长FD到点G.使DG=BE.连结&G,先证明ABE ADG,再 证明AAE ' AGF,可得出结论，他的结论是(直接写结论，不需证明)：如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD. Z+Z D=180o , E、F分别是B

2、C, CD上的点， 且ZEAF是ZaAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由.(3)如图3,四边形A3CD是边长为5的正方形，ZEBF=45° ,直接写出三角形DEF的周 长【解析】【分析】(1) 如图1,延长FD到G,使得DG=DC,先证AABEADGf得到AE=AGfZBAE=ZDAG,进一步根据题意得ZEAF=ZGAF,再证明 AEFAGF,得到EUFG,最后 运用线段的和差证明即可. 如图2,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,证得 AB駁 4DG,得到AE=AG, 上BAE=Z DAG,再结合题意得到ZEAF=Z GAF,再证明 &曰竺 AGF,得到EQ

3、FG,最后运 用线段的和差证明即可.(3)如图3,延长DC到点G,截取CG=AE.连接BG,先证 AEB旻心CG3,得到BE=BG9 ZABENCBG,结合已知条件得Z CBF+Z CBG=45。,再证明'EBF里世GBF,得到 EF=FG,最后求三角形的周长即可.【详解】解答：(1)解：如图1,延长FD到G,使得DG=DC在厶ABE和ZADG中，DC = DG. < ZB = ZADGAB = AD ABE 厶 ADG (SAS),/. AE=AG9 ZBAF=ZD4G,1 Z EAF=-A BAD,2 Z GAF=乙 DAG+Z DAF=乙 B&E+Z DAF=乙 B

4、AD乙 EAF=Z EAl：.Z EAF=乙 GAF,/EAAEF 和ZkGAF 中，AE = AG < ZEAF = ZGAF ,AF = AF AEF 厶 AGF (SAS), EF=FG9T FG=DGWF=BEWF9：.EF=BEWF;故答案为：EF=BEWF(2 )解：结论EF=BEWF仍然成立：理由：如图2,延长FD到点G.使DG=BE连结AG在ZXABF和厶ADG中,DG =BE< ZB =ZADG ,AB =AD ABE厶 ADG (SAS)/. AE=AG. ZBAE=A DAG.1 Z EAF=-A BAD,2 Z GAF=Z D&G+Z DAF=A B

5、AE DAF=乙 BAD2 EAF=Z EAF、：.Z EAF=Z GAF9±,AEF 和ZkGAF 中，AE = AG < ZEAF = ZGAF tAF = AF AEF 心 AGF (.SAS), EF=FG9 FG=DGWF=BEWF,：.EF=BEWF,(3)解：如图3,延长DC到点G,截取CG=AE,连接3G, 在ZXAEB 与 ACGB 中， AEB 厶 CGB (SAS), BE=BG9 ZABE=A CBG./ Z EBF=45o , ZABC=90c ,/. Z ABE+ Cf=45o , Z CBF+Z CBG=45° 在ZkEBF 与ZkGBF

6、 中，BE = BG. < ZEBF = AGBF ,BF = BF EBF里 GBF (SAS), EF=GF9 DEF 的周长=EF+ED+CF=AE+CF十DE+DF=AD+CD=10【点睛】本题主要考査了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题 的关键但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.2. 如图，在AABC中，ZABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE, ZDAE = 90° , AD=AE.(1) 如果AB = AC, ZBAC=90°.当点D在线段BC上时，如图i

7、,线段CE、BD的位置关系为,数量关系为当点D在线段BC的延长线上时，如图2,中的结论是否仍然成立，请说明理由.（2）如图3,如果ABHAC, ZBACH90。，点D在线段BC上运动.探究：当ZACB多少度 时，CE丄BC?谙说明理由.【答案】（1）垂直，相等.都成立，理由见解析：（2）45%理由见解析【解析】【分析】（1）根据ZBAD=Z CAE , BA=CA , AD=AE,运用 wSASm 证明ZkABg ACE,根据全等 三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系：先根据“SAS”证明AAB於 ACE,再根据全等三角形性质得岀对应边相等，对应角相 等，即可

8、得到中的结论仍然成立；（2）先过点A作AG丄AC交BC于点G,画出符合要求的图形，再结合图形判泄GA於 CAE,得出对应角相等，即可得出结论.【详解】（1）: （I）CE与BD位置关系是CE丄BD,数量关系是CE=BD .理由:如图 1 / Z BAD=900-Z DAC , Z CAE=90o-Z DAC J Z BAD=Z CAE 又 BA=CA r AD=AE I ABD旻厶 ACE （ SAS ） Z ACE=Z B二45° 且 CE=BD Z ACB=Z B二45° , Z ECB=45o+45o=90° ,即 CE丄BD 故答案为垂直，相等：都成立，理

9、由如下：ZBAC=ZDAE=90° , ZBAC+ ZDAC= ZDAE+ ZDAC,:ZBAD=ZCAE,在恥与谢C中，AD=AEZBAD= ZCAEAB=AC :HDABHEAG： CE=BD ZB=ZACE, ZACBZACE=9Q",即防丄恥(2)当ZMB= 45°时，传丄別(如图)理由：过点刖乍AGLAC交少的延长线于点G则ZGAC=9QQ , ZAGC= 90° -45° =45° , ZACB=ZAGC=45",：.AC=AG.在 ZkQQ 与中，AC=AGZDAG=ZEACAD=AE：.GADCAE,：.ZA

10、CE=ZAGC= 45",ZBCE= ZACB+ ZACE=Ah +45° =90° ,即 CEg3. 如图1,在等边AABC中，E、D两点分别在边43、BC上，BE=CD, ADy CE相交于点(1) 求ZAFE的度数:(2) 过点&作AH丄CE于H,求证：2FH+FD=CE;2PF(3) 如图2,延长CE至点P,连接3P, ZBPC= 30°,且CF=-CP.求的值. 9AF(提示：可以过点力作ZKAF=60ot AK交PC于点K,连接KB)7【答案】(I) ZW60。； (2)见解析：(3)-5【解析】【分析】(1) 通过证明厶BCEm K

11、AD得到对应角相等，等量代换推导出ZAFE = 60°：(2) 由(1)得到ZAFE = 60。，CE = AD则在RlAHF中利用30°所对的直角边等 于斜边的一半，等量代换可得：(3) 通过在PF上取一点K使得KF=AF,作辅助线证明aABK和aACF全等，利用对应边相等，等量代换得到比值(通过将aACF顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】V ABC为等边三角形，：.AC=BC, ZBAC=ZABC=ZACB=60°. 在ABCE和中，BE = CD< ZCBE = ZACD = 60° ,BC = CA： BCE CAD (SA

12、S),：.ZBCE=Z DAC. ZBCE+ZACE=60o9：.ZDACZACE=60：.ZAFQ60。(2) 证明：如图1中，9；AH丄EC, ZAHQ90°, RtAAFH 中，V ZfH=60o, ZfiAH=30%.AF=2FH. EBC 仝 CA,：.EC=AD,9： AD=AFWF2FHWF9：.2FHWFEC.TZAFK二60。，AF=KF9.,.AAFK为等边三角形，ZC4F=60：.ZKAB=ZFACABK 和CF 中，AB = AC< ZKAB = ZACF ,AK = AF ABK ACF (SAS), BK = CF：.ZAKB=ZAFC=I20o9：

13、.ZBKE=I20° - 60o=60 ZBPC=SOQ9：.ZPBK=30。，2 BK = CF = PK = -CP,9 PF = CP-CF = I CP,945AF ICP 5 AF = KF = CP-(CF + PK) = CP-CP = -CP9【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判左通过一定等量代换为本题的关 键.4. 在等边 ABC中，点D是边BC±一点作射线AD.点B关于射线AD的对称点为点E连接CE并延长，交射线AD于点F(1) 如图，连接(I)AE与AC的数量关系是:设ZBAF = a,用Q表示ZBCF的大小；(2) 如图，用等式

14、表示线段AF, CF, EF之间的数呈关系，并证明.【答案I(I)CDAB=AE:ZBCF=a； (2)AF-EF=CF,理由见详解.【解析】【分析】(1) 根据轴对称性，即可得到答案：由轴对称性，得：AE=AB, ZBAF=ZEAF= « ,由厶ABC是等边三角形，得AB=AC, ZBAC=ZACB=60° ,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180。,即可求解：(2) 作ZFCG=60°交AD于点G,连接BF,易证FCG是等边三角形，得GF=FC,再证 ACGBCF(SAS),从而得AG=BF,进而可得到结论.【详解】(1) T点3关于射线Ar)的对称点

15、为点E ,AAB和AE关于射线AD的对称， AB=AE.故答案是：AB=AE:点“关于射线AD的对称点为点E ,AE=AB, ZBAF=ZEAF=a ,V ABC是等边三角形，AB=AC, ZBAC=ZACB=60° , ZEAC=60° -2 a, AE=AC,ZACE= -180 -(60 -2a)J = 600 + a,2 ZBCF=ZACE-ZACB= 60 +a-60o =a .(2) AF-EF=CF.理由如下：作ZFCG=60。交AD于点G,连接BF, VZBAF=ZBCF=<z , ZADB=ZCDF, ZABC=ZAFC=60c ,FCG是等边三角形

16、， GF=FC,V ABC是等边三角形， BC=AC, ZACB=60° ,AZACG=ZBCF=Qr 1ACG 和ABCF 中，CA = CBV ZACG = ABCF ,CG = CFACGBCF(SAS), AG=BF,点3关于射线AD的对称点为点E ,AAG=BF=EF,VAF-AG=GF,AAF-EF=CE【点睛】本题主要考査等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质泄理，添加辅助线，构造全等 三角形，是解题的关键.5. 如图，& (0, 4)是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿X轴正半轴运 动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt&

17、gt;4PB.设P点的 运动时间为r秒.（2）设点A关于X轴的对称点为A,连接AB,在点P运动的过程中，ZOKB的度数是否 会发生变化，若不变，请求出ZOA1B的度数，若改变，请说明理由.（3）如图2,当r=3时，坐标平而内有一点M （不与A重合）使得以M、P、B为顶点的 三角形和AABP全等，请直接写出点M的坐标.【答案】（1）4； （2） ZOA1B的度数不变，ZoAB=45°，理由见解析：（3点M的坐 标为（6, - 4） ,（4, 7） ,（10, - 1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明AAOP为等腰直角三角形，从 而求得答案：（2）根

18、据对称的性质得：PA=PAt=PB,由ZPAB+ZPBA = 90°,结合三角形内角和左理即 可求得 ZOB=45°（3）分类讨论：分别讨论当 ABPMBP. 'ABPmbMPB、ABP93PB时，点M的 坐标的情况：过点M作X轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及 全等三角形的判左和性质求得点M的坐标即可.【详解】（1）tJAB/P3为等腰直角三角形，：,ZPAB=ZPBA = ZAPO=45°,.,.OP为等腰直角三角形，.0A = 0P=4.t=4÷l=4 （秒），故t的值为4.（2）如图2, ZOA1B的度数不变，ZoA

19、3=45。，点q关于X轴的对称点为a,.9.PA = PA,又 AP=PB9：.PA=PAI = PBf：.ZPAAl = ZPAlAt ZPBAt = ZPA1B.又 VZ4+ZP>4 = 90 ZPAAZPA,AZPAtBZPBAl= ISQO-(ZPAB+ ZPBA)= 180°-90°=90% ZA4,8=45o,即 ZOAB=45。；(3) 当r=3时，M、P、3为顶点的三角形和AABP全等,如图3,若"BP9kM8P,则AP=PM,过点M作MD丄OP于点D,V ZAOP= ZPDM9 ZAPO=ZDPm,：.AOPMDP (AAS),0A = D

20、M=4, OP=PD=39如图 4,若aABP9AMPB,则 AB = PM，过点M作ME丄X轴于点E ,过点3作BG丄X轴于点G ,过点B作BF丄轴于点F，VAPB为等腰直角三角形，则AMPB也为等腰直角三角形，：.ZBAP=ZMPB=45° , PA = PB Zl + Z3 = 90o = Z2 + Z3,Zl = Z2.,.RIAOP = RIPGB：.BG = OP = 3, PG = AO = 4V BG丄X轴，BF丄V轴四边形BGoF为矩形，OP = BG = 3,则AF = OA-OF = 4-3 = BF = OG = OP+PG = 3+4T在 Ri SBF 和

21、RePME 中Z8M=45° + Z1, ZMPE=45° + Z2,：.ZBAF=ZMPE AB = PM RGABF = R2 PME： ME = BF = I PE = AF = X.M的坐标为：（4, 7）,如图 5,若ABPAMPBt 则 AB = PM，过点M作ME丄X轴于点£>,过点3作BG丄X轴于点E ,过点3作BF丄轴于点F ,VP为等腰直角三角形，则AMPB也为等腰直角三角形，. ZBAP= ZMPB=45° , PA = PBV Zl + Z3 = 90o = Z2 + Z3,Zl = Z2 RGAoP 三 RgPEB： BE

22、 = OP = 3, PE = AO = 4： BE丄X轴，BF丄）'轴.四边形BEoF为矩形，：OP = BG = 3,则AF = OA-OF = 4-3 = BF = OE = OP+PE = 3+4 = 7 RIABF 和 RePMD 中 BF丄，轴Z4 = Z2V Z4+zABF = a+ZPMD ZABF = ZPMDJ AB = PM.,.RZABF R2 PMD MD = AF = L PD = BF = I：.M的坐标为：(10, - 1)【点睛本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判肚和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题 要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构

23、建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出 结论二. 八年级数学轴对称解答题压轴题(难)6. 已知在ZABC中，AB=AC,射线BM、BN在ZABC内部，分别交线段AC于点G、H.(1) 如图1,若ZABC = 60° , ZMBN = 30° ,作AE丄BN于点D,分别交BC、BM于点 E、 F. 求证：Zl=Z2； 如图2,若BF = 2AF,连接CF,求证：BF = CR(2) 如图3,点E为Be上一点，AE交BM于点F,连接CF,若ZBFE = ZBAC=2ZCFE, 求孕竺的值.【答案】(I)见解析：见解析：(2) 2【解析】【分析】(1) 只要证明Z2+ ZBAF =

24、 Z1+ ZBAF = 60oKP可解决问题：只要证明 BFCADB,即可推岀ZBFC=ZADB=90°；(2) 在BF上截取BK=AF,连接AK.只要证明厶ABK8CAF,可得Sabk = SAFC再证明AF = FK = BKt可得SAABK=Saafk,即可解决问题：【详解】(I) 证明：如图1中，VAB = AC, ZABC=60°ABC是等边三角形，ZBAC=60VAD 丄 BN, ZADB=90°,VZMBN = 30%ZBFD = 60°= Zl+ZBAF=Z2+ZBAFtZ1=Z2在 RtBFD 中，VZFBD=30%BF=2DFfVBF

25、=2AF, BF=ADtVZBAE= ZFBC, AB = BC,BFCADB, ZBFC= ZADB = 90o,BF 丄 CF(2) 在BF上截取BK=AF,连接AK.VZBFE=Z2+ZBAF, ZCFE=Z4+Z1, ZCFB = Z 2+ Z4+ Z BAC,VZBFE=ZBAC=2ZEFC,Z1+Z4=Z2+Z4Z1=Z2, VAB=AC,ABK9CAF,Z3=Z4, Saabk = S. .AFCiT Z1+Z3=Z2+Z3= ZCFE= ZAKBt ZBAC=2ZCEF, ZKAF= Zl+Z3 = ZAKF,AAF = FK=BK,*S.ABK = SAAFKt.SABF _

26、 £SSFC【点睛】本题考查全等三角形的判左和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判左和性质、直角 三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决 问题，属于中考压轴题.7. 已知：等边MBC中.A图3AN（1）如图魚点M是Be的中点，点N在A3边上，满足S4MN = 60°,求的BN 值.（2）如图2,点M在AB边上（M为非中点，不与A、重合），点N在CB的延长 线上且ZMN = ZMCB,求证：AM=BN.（3）如图3,点P为/IC边的中点，点E在43的延长线上，点F在Be的延长线上，满BF-BF足ZAEP = ZPFC,求”的值 DC

27、3【答案】（1） 3；（2）见解析；（3）2【解析】【分析】（1）先证明AB, BN与M4N均为直角三角形，再根据直角三角形中30。所对的 直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN, AB=2BM,最后转化结论可得出BN与AN之间的 数量关系即得：（2）过点M作ME BC交AC于E,先证明AM=ME,再证明 MEC与VBM全等，最后 转化边即得；（3）过点P作PMBC交AB于M,先证明M是AB的中点，再证明AEMP与AFCP全 等，最后转化边即得.【详解】（1）.ABC为等边三角形，点M是BC的中点.AM 平分ZBAC, AM 丄 BC , ZB = ABAC = （. ZBAM =30。，ZA

28、MB = 90°J ZAMN = 60° ZBAM+ ZAMV = 90。，ZBMN = 30。 ZANM = 90° ZBNM =180o-ZANM = 90°在 RtABNM 中，BM = WN在皿AABM 中，AB = IBM： AB = AN+BN = 2BM = 4BNAN：.AN = 3BN- = 3.BN（2）如下图:过点M作ME/7BC交AC于E ZCME=ZMCb, ZAEM=ZACB ABC是等边三角形 ZA=ZABC=ZACB= 60° ZAEM = ZACB = 60o, ZMBN = 120°：.ZCEM =

29、 ZMBN = 2F, ZAEM = ZA = 60°AAM=ME AMNB = ZMCB ZCME=ZMNb, MN=MC在 WEC 与 EM 中ZGWE =乙 MNB< ZCfM =乙MENMC = MN. AMECdVBM(AAS)ME = BNAM = BN(3) 如下图：过点P作PM BC交AB于M ZAMP = ZABCJ AABC是等边三角形 ZA=ZABC=ZACB= 60o , AB = AC = BC ZAMP = ZA = 60。 AP = MP AEMP = 180° - ZAMP = 120o, ZFCP = 180° - ZACB

30、 = 120°. AAMP是等边三角形，ZEMP = ZFCP = UOo AP = MP = AMP点是AC的中点 AP = PC = MP = AM=-AC = -AB = -BC2 2 2 AM=MB = -AB2住AEMP与AFCP中ZEMP = ZFCP< ZAEP = ZPFCMP = PC MPCP(AAS)： ME = FC1 3 BF-BE = FC+ BC BE = ME +BC BE = MB +BC =-BC+ BC = BC2 2.BF-BE 2BC_?> .BC2【点睛】本题考查全等三角形的判圧，等边三角形的性质及判左，通过作等边三角形第三边的

31、平行 线构造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方 法.8. 数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，ZA = IIO >求ZB的度数.（答案：35）例2等腰三角形ABC中，ZA = 40，求ZB的度数.（答案：40或70>或IOO ）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：变式2:等腰三角形ABC中，ZgLo0。，求ZB的度数.变式2:等腰三角形ABC中，ZA= 45°,求ZB的度数.（1）请你解答以上两道变式题.（2）解（1）后，小敏发现，ZA的度数不同，得到上B的度数的个数也可能不同.如果在 等腰三角形ABC中，

32、设ZA = x当ZB只有一个度数时，请你探索X的取值范围.【答案】（1）变式 1: 40°；变式 2: 90。或 67.5。或 45。：（2） 90o2T<180o或 x=60°【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和左理，分类讨论，即可得到答案：（2）在等腰三角形ABC中，当只有一个度数时，ZA只能作为顶角时，或ZA=60o , 进而可得到答案.【详解】变式±.等腰三角形ABC中，ZA=IOOo,ZA为顶角，ZB为底角,变式2:T等腰三角形ABC中，Z=450,当 AB=BC 时,ZB =90° ,当 AB=AC 时，ZB =67

33、.5° ,当 BC=AC 时 ZB =45° ；（2）等腰三角形ABC中，设Z = Z,当90ox<180o, ZA为顶角，此时，ZB只有一个度数，当x=60。时，三角形ABC是等边三角形，此时，只有一个度数， 综上所述：90o×<180o或 x=60°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想的应用，是解题的关键.9. （阅读理解）截长补短法，是初中数学儿何题中一种输助线的添加方法，截长就是在长边上载取一条线 段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问 题（1）如图1，MBC是等边三角形，点D是边

34、BC下方一点，ZBDC=I20。，探索线段 DA. DB、DC之间的数疑关系.解题思路：延长DC到点Q使CE=BD 连接根据ZBAC+ZBDC= 180可证ZABD =ZACEl易证得'ABD逊ACE,得出是等边三角形，所以AD=DE,从而探寻线段 DAy DB、DC之间的数疑关系.根据上述解题思路，请直接写出、DB、DC之间的数量关系是（拓展延伸）（2）如图 2,在 RtAABC 中，ZBqC=90°, AB=AC 若点 D 是边 BC 下方一点，ZBDC=90。，探索线段、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；（知识应用）（3）如图3,副三角尺斜边长都为14cm,把斜边重

35、叠摆放在一起，则两块三角尺的直角项点之间的距离PQ的长为cm.图1【答案】（1） DA = DB+ DCt （2）迥DA = DB+ DC，理由见详解；（3）72+762【解析】【分析】（1）由等边三角形知AB = AC,ZBAC = 60°,结合ZBDC = V16知ZABD ÷ ZACD = 180°.则 ZABD = ZACE 证得 ABD =ACE 得AD = AE,ZBAD = ZCAE,Mffi明三角形ADE是等边三角形，等量代换可得结论;（2）同理可证ABD =ACE得AD = AE,ZB4D = ZC4E,由勾股圧理得 DA2+AE2 =DE2 等

36、量代换即得结论；（3）由直角三角形的性质可得QN的长，由勾股泄理可得MQ的长，由（2）知2P（2 = QN + QM ,由此可求得PQ长.【详解】解：（1）延长DC到点F,使CE=BD.连接处，.ABC是等边三角形/. AB = AC,ZBAC = 60°. ZBDC = I 20°. ZABD+ ZACD = 180°又. ZACE +ZACD = I 80°. ZABD = ZACE.ABD ACE（SAS）. AD = AE,乙 BAD = ZCAE. ABAC = 60°：.ZBAD +ZDAC = 60a：.ZDAE = ZDAC +

37、 ZCAE = 60°ADE是等边三角形. DA = DE = DC+CE = DC+DB近DA = DB+ DC延长DC到点&使CF=BD连接处， ZB4C = 90°，ZBDC = 90°：.ZABD +ZACD = 180a又 ZACE+ ZACD = 180° ZABD = ZACE. AB = AUCE = BD.ABD =ACE(SAS). AD = AE. ZBAD = ZCAE ZDAE = ZBAC = 90°. DA2 + AE2 = DEI.2DA2 =(DB + DC)2:.y2DA = DB +DC(3) 连接

38、PQ,MN = 14,ZQMN = 30°QN = LMNT2根据勾股定理得 MQ =-QN2 = 142-72 = 147 = 73由(2)知迈PQ = QN+ QMPQ =QN+ QM -7 + 7J-7+7A2 一 近一 2【点睛】 此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判左和性质、直角三角形和等边三角形 的性质，熟练掌握全等三角形的判建和性质是解题的关键10. 如图，在等边MBC中，线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时，以 CD为一边在CD的下方作等边ACDE,连结施.（1）求ZCAM的度数：（2）若点D在线段AM上时，求证：MDC = ABECi（3）当动点

39、D在直线AM上时，设直线与直线AM的交点为O ,试判断ZAOB是否 为定值？并说明理由.【解析】【分析】(1) 根据等边三角形的性质可以直接得出结论：(2) 根据等边三角形的性质就可以得出AC = AC, DC = EC,ZACB = ZDCE = 60°,由等式的性质就可以ZBCE = ZACD,根据SqS就可以得岀 ADC ABEC:(3) 分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1,由(2)可知ACD = SBCE,就可 以求岀结论：当点D在线段AM的延长线上时，如图2,可以得出ACD = ABCE而有 ACBE = CAD = 3OQ而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如

40、图3,通过得出 ACD = BCE同样可以得出结论.【详解】(1) VSABC是等边三角形，. ZBAC = 60°.T线段AA/为BC边上的中线，. ZCAM =丄 ABACt2,ZC4M=30o.(2) .SABC与QEC都是等边三角形，aAC = BC, CD = CE, ZACB = ZDCE = 60。，. ZACD + ADCB = ADCB + ABCE,.ZACD = ZBCE.在ADC和NBEC中AC = BC< ZACD = ZBCE ,CD = CE. SACD ABCE(SAS):(3) ZAOB是左值，ZAOB = 60。，理由如下： 当点D在线段AM

41、上时，如图1,由(2)可知 ACD = 5CE,则 ZCBE = ZCAD = 30° ,又 ZABC = 60。，A ZCBE+ ZABC = 60°+ 30° = 90°,.ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线平分 ZBAC,即 BAM = - ZBAC = 1× 60° = 30°" 2 2. ZBcM = 90°-30° = 60°. 当点D在线段AM的延长线上时，如图2,. ABC与 UEC都是等边三角形，:.AC = BC CD = CE, ZACB = ZDCE

42、= 3。,：.ZACB +ZDCB = DCB+ZDCE ,NACD = ZBCE，在MCD和ABCE中AC = BC< ZACD = ZBCE ,CD = CE. ACD = ABCE(SAS),AZCBE = ZCW = 30°,同理可得：ZBAM= 30。，A ZBCM = 90°-30° = 60°. 当点D在线段MA的延长线上时，： SABC与 UEC都是等边三角形， AC = BC, CD = CE, ZACB = ZDCE = 3。,：.ZACD + ZACE = ZBCE+ZACE = 60° ,.ZACD = ZBCE在

43、MCD和ABCE中ACBC< ZACD = ZBCE ,CD = CE：.ACD ABCE(SAS) 9乙CBE = ZCAD,同理可得：ZCAM= 30。 ZCBE = ZCAD = 150° ZCBO = 30° ,V ZBAM = 30°, ZBaI = 90o-30o = 60o.综上，当动点Z)在直线AM上时，ZAoB是泄值 ZAOB = 60°.CE3>【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判左及性质，等边三角形三线合一的性质，解 题中注意分类讨论的思想解题.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11因式分解

44、是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的恒等变形，它是学习数 学和科学技术不可缺少的基础知识.在初中阶段，它是分式中研究约分、通分、分式的化 简和计算的基础；利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算简便因式分解的方法很 多，请根据提示完成下而的因式分解并利用这个因式分解解决提岀的问题.（1）填空：F+討（b+宀扌-宀【答案】（I）X2+| ,Ojt+x+ , Jr2)62,治+丄+ 6,62+-62丿I 2丿【解析】42.5,30.5 :(2)145TF【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式计算可得;（2）利用前面所得规律变形即可.【详解】(I) X4+卜(，+疋+扌-X1x + -

45、2+ - -64= 42.5×30.5故答案为：F+* 6?, 62，6 弓+ 6),(/+* -6), 42.530.5 :62 + 6 + £)(62 - 6 + *)(f + 8 + £(82 8 + *)52÷5÷052-5÷lI72÷7÷072-7 + l)42.5×30.3×72,5×56,5_ 30.5 × 20.5 × 56.5 × 42.5145-IT【点睛】本题考查了因式分解的应用；熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键.12(1

46、)你能求出(-l) ( 99÷9÷97÷.÷2÷÷l)的值吗？遇到这样的问题,我们可 以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值.(O-I) ( +l ) =；( 1 ) ( 2+l ) =；( 1 ) ( 3+2+l ) =；由此我们可以得到：(O-I) ( 99+9+.+l )二.(2)利用(1)的结论，完成下面的计算：2199+219+2197+.+22+2+l .【答案】(1) /_1 , -i f, RoO 一1 (2) 22-l【解析】【分析】根据简单的多项式运算推岀同类复杂多项式运算结果的一般规律，然后根据找岀的规律进

47、行解决较难的运算问题.【详解】解：宀1宀1 a4-严-1(2 ) 2,99+2,98+2197+22+2+l= (2-1) × ( 2,99 + 2,98÷2197+22+2 + 1 )= 2200 -l 【点睛】考查了学生的基础运算能力和对同一类运算问题汁算结果的一般规律性洞察力13. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的而积，可以 得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的而积.例如，由图 1,可得等式：(a+2b) (a+b) =a>3ab+2b3(1)如图2,将几个而积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试 用不

48、同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来.图1图？图3(2) 利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c=ll, ab+bc+ac二38,求 ac+b0÷c"<jg.(3) 如图3,将两个边长分別为a和b的正方形拼在一起，B, C, G三点在同一直线上， 连接BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b=10, ab=20,请求出阴影部分的面积.【答案】(I) (a+b+c) +b3+c=÷2ab+2bc+2ac;(2) 45：(3) 20.【解析】【分析】(1) 此题根据而积的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一种

49、可以是3个正方形的面 积和6个矩形的而积，种是大正方形的而积，可得等式(a+b+c )2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；(2) 利用(1)中的等式直接代入求得答案即可：(3) 利用S羽影二正方形ABCD的而积+正方形ECGF的而积-三角形BGF的而积-三角形ABD 的而积求解.【详解】(1)( a+b+c ) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；(2 ) Va+b+c=ll f ab+bc+ac=38 .a2+b2+c2= ( a+b+c ) 2 - 2 ( ab+ac+bc ) =121 - 76=45 ；(3 ) Va+b=10 i ab=2O fS MF=a2+

50、b2 - ( a+b ) b - a22 2IIl=a2+ b2 - ab2 2 21 3=(a+b )2. ab2 21 23=-×102 - -×202 2=50 - 30=20【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方 法表示同一图形的而积.14. 先阅读下列材料，然后解后面的问题.材料：一个三位自然数赢(百位数字为a,十位数字为b,个位数字为C),若满足 a+c=b,则称这个三位数为"欢喜数”，并规泄F(赢)=ac.如374 ,因为它的百位上数字 3与个位数字4之和等于十位上的数字7,所以374是“欢喜数&quo

51、t;f F ( 374 ) =3×4=12 .(1) 对于"欢喜数赢"，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数赢"能被99整除：(2) 已知有两个十位数字相同的“欢喜数"m,n(m>n),若F ( m ) - F ( n ) =3,求m - n的值【答案】(1)详见解析；(2)99或297.【解析】【分析】(1)首先由题意可得a+c=b,将欢喜数展开，因为要证明"欢喜数赢"能被99整除，所 以将展开式中IOOa拆成99+ ,这样展开式中出现了 +c,将+c用b替代，整理出最终 结果即可：(2 )首先设岀两个欢喜数m、n ,

52、表示出F ( m )、F (门)代入F(m) - F ( n ) =3中，将 式子变形分析得出最终结果即可.【详解】(I)证明：赢为欢喜数，/. a+c=b . 7c=100+10b+c=99+10b+c=99+llb , b 能被 9 整除，Mb能被99整除,99能被99整除,"欢喜数赢"能被99整除：(2)设 m二albcl J = a2bc2 (且 a>a2) r F ( m ) - F ( n ) =a1c1 - a2c2=a ( b - cr1 ) - 2 ( b )=(。丄。2 ) ( h 2 ) =3,6、02、b均为整数， - 2=l Jc i - 。

53、2=3 VAn - n=100 ( - ) - (Ql G ) =99 ( Qi Q2 ),:.m - n=99 或 m - n=297 若 F(m -F(n) =3,则 m - n 的值为 99 或 297 【点睛】做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形15. 观察下列等式：12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32t34x473=374x43,62×286=682×26t 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之

54、间具 有相同规律，我们称这类等式为"数字对称等式”.(!)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为"数字对称等式”： 52=×25; ×396=693×.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2a+b9,写出表示“数字 对称等式”一般规律的式子(含a、b),并证明.【答案】解：(1)275： 572.63： 36.(2)"数字对称等式”一般规律的式子为：(10a+b) ×100b+10 (a+b) +a=100a+10 (a+b) +b× (10b+a),证明见解析.【解析】【分析】根据题意可得三位数中间的数等于两数的和，根据这一规律然后进行填空，从而得岀答 案：根据题意得出一般性的规律，然后根据多项式的计算法则进行说明理由【详解】(1) 275,572;63,36：(2) 数字对称等式一般规律的式子为：(10a+b) ×( 100b+10 (a+b) +a=100a+10 (a+b) +b× (10b+a)证明如下：左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10 (a+b) +at右边的两位数