三维人教B版数学必修33.3随机数的含义与应用

1、33.1 & 3.3.2几何概型随机数的含义与应用预习课本P109114，思考并完成以下问题(1)什么是几何概型？(2)几何概型的概率计算公式是什么？(3)随机数的含义是什么？它的主要作用有哪些？ 1几何概型(1)定义：事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关满足以上条件的试验称为几何概型(2)计算公式：P(A)，其中表示区域的几何度量，A表示子区域A的几何度量2随机数(1)含义随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样(2)产生在函数型计算器上，每次按 键都会产生一个01之间的随机

2、数Scilab中用rand()函数来产生01的均匀随机数如果要产生ab之间的随机数，可以使用变换rand()*(ba)a得到1用随机模拟方法得到的频率()A大于概率B小于概率C等于概率 D是概率的近似值答案：D2已知集合Mx|2x6，Nx|02x1，在集合M中任取一个元素x，则xMN的概率是()A. B.C. D.解析：选B因为Nx|02x1x|1x2，又Mx|2x6，所以MNx|1x2，所以所求的概率为.3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是，则小狗图案的面积是()A. B.C. D.解析：选D设小狗图案的面积为S1，圆的面积S×

3、4216，由几何概型的计算公式得，得S1.故选D.4在区间1,1上随机取一个数x，则x0,1的概率为_解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为.答案：与长度有关的几何概型典例(1)在区间1,2上随机取一个数x，则|x|1的概率为_(2)某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率解析(1)区间1,2的长度为3，由|x|1，得x1,1，而区间1,1的长度为2，x取每个值为随机的，在1,2上取一个数x，|x|1的概率P.答案：(2)解：设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，

4、设T是线段T1T2上的点，且T1T5，T2T10，如图所示记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生P(A)，即该乘客等车时间超过10 min的概率是.1解几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；(4)利用概率公式计算2与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A).活学活用一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间

5、为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型(1)P.(2)P.(3)法一：P.法二：P1P(红灯亮)1.与面积和体积有关的几何概型典例(1)(福建高考)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)的图象上若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.B.C. D.(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_解析(1)依题意

6、得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD3×26，阴影部分的面积S阴影×3×1，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P，故选B.(2)先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱×12×22，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球××13.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：，故点P到点O的距离大于1的概率为：1.答案(1)B(2)1与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(

7、A).2与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A). 活学活用1在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A. B.C. D.解析：选D由题意可得正方体的体积为V11.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R.球的体积V2R3.则此点落在正方体内的概率为P.2若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A. B. C. D. 解析：选B设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A).随机模拟法的应用典例利用随机模拟法计

8、算图中阴影部分(曲线y2x与x轴、x±1围成的部分)的面积解设事件A“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”S1用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足1<x<1,0<y<2x(即点落在阴影部分)首先置n0，m0；S2用变换rand()*21产生11之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生02之间均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；S3判断点是否落在阴影部分，即是否满足y<2x，如果是，则计数器m的值加1，即mm1，如果不是，m的值保持不变；S4表示随机试验次数的计数器n的值加1，即nn1，如

9、果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值设阴影部分的面积为S，正方形的面积为4，由几何概型计算公式得P(A).所以.所以S.即为阴影部分面积的近似值利用随机模拟法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示；(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P(A)；(3)设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S，则有，解得SS，则已知图形面积的近似值为S. 活学活用取一根长度为3 cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟法估算剪得两段的长

10、都不小于1 cm的概率有多大？解：设事件A“剪得两段的长都不小于1 cm”S1用记数器n记录做了多少次试验，用记数器m记录其中有多少个数出现在12之间(即得两段的长都不小于1 cm)，首先置n0，m0；S2用变换rand()*3，产生03之间的均匀随机数x；S3判断剪得两段是否长度都大于1 cm，即是否满足1x2，若是，则记数器m的值增加1，即mm1，若不是，m的值不变；S4表示随机试验次数的记数器n的值加1，即nn1；如果还需试验，则返回S2，继续执行，否则程序结束程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值层级一学业水平达标1.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为

11、()A.B.C. D.解析：选C试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为，故选C.2.如图所示，在一个边长为a，b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为()A. B.C. D.解析：选CS矩形ab，S梯形bab.故所投的点在梯形内部的概率为P.3已知函数f(x)log2x，x，在区间上任取一点x0，则使f(x0)0的概率为_解析：欲使f(x)log2x0，则x1，而x，x01,2，从而由几何概型概率公式知所求概率P.答案：4已知正三棱锥S&#

12、173;ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP­ABC<VS­ABC的概率是_解析：由VP­ABC<VS­ABC知，P点在三棱锥S­ABC的中截面A0B0C0的下方，P11.答案：层级二应试能力达标1已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A. B.C. D.解析：选A试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A).2.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的

13、概率等于()A. B.C. D.解析：选CABE的面积是矩形ABCD面积的一半，由几何概型知，点Q取自ABE内部的概率为.3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为()A. B.C. D1解析：选DS扇形××22，S阴影S扇形SOAB×2×22，P1.4在区间1,1上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2y21”，则P(A)为()A. B.C D2解析：选A如图，集合S(x，y)|1x1，1y1，则S中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A所对应的事件(x

14、，y)与圆x2y21内的点一一对应，所以P(A).5方程x2xn0(n(0,1)有实根的概率为_解析：由于方程x2xn0(n(0,1)有实根，0，即14n0，n，又n(0,1)，有实根的概率为P.答案：6在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为_解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)0.005.答案：0.0057在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1内任取一点P

15、，则点P到点A的距离小于等于a的概率为_解析：点P到点A的距离小于等于a可以看做是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率P.答案：8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色金色靶心叫“黄心”奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为××1222 cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为××12.22 cm2的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为P(B)0.01.即“射中黄心”的概率是0.01.9已知圆C：x2y212，直线l：4x3y25.(1)求圆C的