艺术生高考数学专题讲义：考点20正弦定理、余弦定理及解三角形

1、考点二十正弦定理、余弦定理及解三角形知识梳理1.正弦定理、余弦定理在4ABC中，若角A, B, C所对的边分别是a, b, c, R为4ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容abc =2R sin A sin B sin Ca2 = b2 + c2 2bccos A;b2 = c2 + a2 2cacos B; c2= a2+ b2 2abcos C变形(1)a=2Rsin A, b=2Rsin B, c= 2Rsin C;. a b八 c(2)sin A=2R, sin B=2R，sin C = 2R；(3)a ： b ： c= sin A ： sin B ： sin C;(4)asi

2、n B= bsin A, bsin C= csin B, asin C= csin Ab2+ c2 a2c0s A=2bc；c2+ a2- b2cos Bc；2aca2+ b2- c2cos C=2ab2.三角形面积公式：一1SAabc = 2 ah（h表本边a上的图）;-11.1Sa abc 2absin C=2bcsin A=2acsin B；abcSA abc= 4R；一 1SAABC -2（a+ b+c） r（r是三角形内切圆的半径）,并可由此计算 R、r.3.三角形解的判断在 ABC中，已知a、b和A时，三角形解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形rar昌-A氐关系式a = bsi

3、n Absin A<a<ba> ba>b解的个数一解两解一解一解典例剖析题型一利用正弦定理解三角形 例 1 在 ABC 中，a=3, b=5, sin A=1,贝U sin B=3答案59解析在 ABC中，由正弦定理bsin Bbsin Aa1 5X- 359.变式训练 在ABC中，若A=60° ,B=45° , BC= 372,贝U AC =答案 2 3解析在 ABC中，泰=枭.3.2X AC= BCsinB=-=2-J3sinA 返"2"解题要点如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理.题型二利用余弦定理解题 例

4、2 在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c.若c2= (ab)2+6, C=；,则 ABC的面积是答案3 .32解析 c2= (ab)2+6,，c2 = a2+b22ab + 6.C=3,c? = a?+ b 2abcos 3= a? + b ab.由得一 ab+ 6=0,即ab= 6.-11 c 3 3,3$ abc= 2absin C = £* 6X 亍=十.变式训练在4ABC中，若AB = J5, AC=5,且cos C = g,则BC=.10答案 4或5解析 设 BC = x,则由余弦定理 AB2=AC2+BC2 2AC BCcos C 得 5= 2

5、5+x22 5 x 4，即 x29x + 20= 0,解得 x= 4 或 x= 5.解题要点如果已知两边一角或是已知三边解三角形时，通常用余弦定理.题型三综合利用正余弦定理解题例3 在4ABC中，角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c.已知(b2a)cos C+ccos B=0.求C；(2)若c= 币,b = 3a,求 ABC的面积.解析 (1)由已知及正弦定理得：(sin B2sin A)cos C+sin Ccos B=0, sin Bcos C+cos Bsin C = 2sinAcos C,sin(B + C) = 2sin Acos C,sin A= 2sin Acos C

6、.1又 sin Aw0,得 cos C = 2.一 _ 一一 TT又 CC(0,句，.C = 3.222a2+b2ab=7,(2)由余弦定理得：c = a +b 2abcos C,. ”b= 3a,解得 a= 1, b= 3.故 ABC 的面积 S= 2absin C=2X1X3X=芋.变式训练在4ABC中，内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,且bsin A=，3acos B.(1)求角B的大小；(2)若 b = 3, sin C= 2sin A,求 a, c 的值.解析 (1)由 bsin A= Z3acos B 及正弦定理a = .b ,得 sin B = J3cos B.s

7、in A sin B.一.兀所以tan B=43,所以B =-.(2)由 sin C=2sin A 及.a 八=.cC,得 c=2a. sin A sin C由 b= 3 及余弦定理 b2= a2+c22accos B,得 9= a2+c2ac.所以 a = J3, c= 2-/3.解题要点解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.当堂练习1. 在4ABC中，内角A, B, C所对的边分别是 a, b, c.若c2= (ab)2+6, C = ±则 ABC

8、的面 3积是.答案3解析 由 c2= (ab)2+6,可得 a2+b2c2= 2ab6.由余弦定理及 C =：,可得a2+b2 c2 = ab.所以由得2ab6 = ab,即ab=6.所以 S>aabc= Tjabsin=6 x p-= -.23 2222. 在ABC中，内角 A、B、C所对的边分别是 a、b、c,已知b=2, B= 30°, C=15°,则a等于 .答案 2 2解析 A=180° -30 - 15°= 135° ,由正弦定理-a-；= &，得与=2，即a=2J2.sin A sin B 2 1222兀一 兀 i

9、r .一，、，3. 4ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b, c,已知b=2, B = 6, C=4,则"BC的面积为 答案 ,3+1解析A=兀（B+ C）=兀痘+：尸"由正弦定理得-ra7=-br,sinA sinB. 75bsinA 2sin12贝"a=部百=J=木+也sin提6SBC = 2absinC = 2x2/6+/）当=>/3+ 1.4. （2015 重庆理）在ABC 中，B= 120°, AB = V2, A 的角平分线 AD=V3,则 AC=.答案 ,6解析 由正弦定理得.A，= 镁,即 丹2= . Yle，。解得sin/A

10、DB =零，/ADB = 45。， sin/ADB sin B' sin/ADB sin 120'2'从而/ BAD=15° = Z DAC,所以 C= 180° 120° 30° = 30°, AC= 2ABcos 30 =班.5. （2015 江苏）在 ABC 中，已知 AB=2, AC=3, A=60°.求BC的长；（2）求sin 2C的值.1解析 （1）由余弦定理知，BC2=AB2+AC2 2AB AC cos A= 4+92X 2 X 3X 2= 7,所以BC=亚AB BC（2）由正弦定理知，菽=前,

11、. c AB 2sin 60 恒所以 sin C= BC sin A= 一= 因为ABvBC,所以C为锐角,则 cos C = qi - sin2C= "1 3 = 277.因此 sin 2C=2sin C cos C=2X 恒 X2 = 43 777 .课后作业一、填空题1 . (2015广东文)设 ABC的内角A, B, C的对边分别为 a, b, c.若a=2, c= 2近，cos A =室且 b<c,贝U b等于.答案 2解析由余弦定理 a2=b2+c22bccos A,得 4= b2+12 2X bx 25X当，即 b26b+8= 0,b =4 或 b=2,又 b&l

12、t;c,b=2.2 .已知 ABC, a=乖,b = VT5, A= 30°,贝U c=答案 2邓或亚解析.京=扁'-bsinA 15a 一 .5o 3 sin30 =.b>a, B=60°或 120°.若 B= 60 , C= 90 , 1- c=勺a + b2 = 2>/5.若 B=120°, C=30°, . a=c=m.3 .已知锐角 ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,23cos2A +cos 2A = 0, a= 7, c= 6,则b等于.答案 5解析 由题意知，23cos2A+2cos2A

13、- 1 = 0,即 cos2A= 25又因为 ABC为锐角三角形，所以 cos A=1.5在4ABC 中，由余弦定理知 72= b2+62-2bX6X1,即 b2?b13=0,55'一 ，、13即b= 5或b= "5（舍去）.4 .设 ABC的内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若bcosC+ccosB = asinA,则 ABC的形状 为.答案直角三角形解析 bcosC+ ccosB = asinA,由正弦定理得 sinBcosC+ sinCcosB= sin2A, sin(B+ C)= sin2A,即 sinA= sin2A.一 一 一一一 兀又 sinA

14、>0, . sinA= 1, . A= 5,故那BC为直角三角形.5 .在某次测量中，在 A处测得同一平面方向的B点的仰角是50。，且到A的距离为2, C点的俯角为70°,且到A的距离为3,则B、C间的距离为 .答案 语解析 / BAC=120°, AB=2, AC=3.BC2= AB2+AC22AB ACcos/BAC = 4 + 9 2X2X3XCos120° = 19. BC = g.6 . ABC的内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.若B=2A, a=1, b=*,则c=. 答案 2解析由正弦定理sinA sinB/曰 13得：=,si

15、nA sinB又 B=2A,1.'33sinA sin2 A 2sinAcosA'cosA=走, 2. / A=30°, ./ B=60°,Z C=90°, c=412+（V3 2 =2.7 .在 ABC 中，/ABC = j, AB = <2, BC=3,则 sin/BAC =答案3 .110102解析 在4ABC 中，由余弦定理得 AC2 = AB2+BC22AB BCcos/ ABC= 2+9-2X2X 3X22= 5,即得AC= J5.由正弦定理 一AC-=一BC一，即幸=一, sinZ ABC sin/BAC 仓 sin/BAC所以

16、 sin/BAC =3:10108 . (2014年江西卷)在4ABC中，内角A, B, C所对应的边分别是 a, b, c.若C2= (ab)2+6, C = m,3则ABC的面积是答案3 ,32c2= a2+b22abcos/,即2ab+6=ab,3解析 因为c2=(a-b)2+6, C=M，所以由余弦定理得:31.3 3 ;3因此 ABC的面积为2absinC= 3乂 彳9 . （2015 福建文）在ABC 中，AC=V3, A=45°, C=75°,则 BC=答案 一2解析 A= 45°, C = 75°, . B=60°.由正弦定理黑

17、=黑.BC £ . 金二2-BC = sin Bsin A = 22110 . (2015重庆又)设 ABC的内角A, B, C的对边分别为 a, b, c,且a= 2, cos C=-4, 3sin A=2sinB,则 c=答案解析由 3sin A = 2sin B,得 3a= 2b,b = 3a=3* 2= 3,在 ABC 中，由余弦定理，得 c2 = a2 + b22abcos C = 22 + 32 2 X 2 X 3X4 != 16,解得 c= 4.一，L2 兀 一(2015 北乐又)在 ABC 中，a= 3, b = V6, A=% 则 B =3答案解析由正弦定理得sin

18、 B=竽:,因为A为钝角,所以B二、解答题12. （2015天津文）在ABC中，内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知 ABC的面积为35, b-c= 2, cos A= 1.4求a和sin C的值;7t(2)求 cos 2A+ 6 .I1解析（1）在ABC 中，由 cos A=4,可得sin A=乎.由 &abc= 1bcsin A= 3>f15,得 bc= 24,又由 bc=2,解得 b = 6, c= 4.由 a2= b2+c2 2bccos A,可得 a= 8.由a7 = -cF，得 sin Cn'P.sin A sin C8(2)cos ；2A +cos 2A cos 6 sin 2A s%=坐(2cos2A 1) 1 x 2sin A cos A =1；板.13. (201