极限知识点总结

1、极限知识点总结【篇一：极限知识点总结】极限计算方法总结高等数学是理工科院校最重要的基础课之一，极限是高等数学的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到高等数学后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1( 定义 :( 各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述)。说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证,0，当|q|1 时 ,bn,limqlim(3x,1),5lim,

2、0(a,b 为常数且a,0); 等等 明，例如 :,nx,2n, 不存在，当|q|,1 时 an,(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2(极限运算法则定理1已知，都存在，极限值分别为a, b,则下面极限都存在，且有 (1)limf(x)limg(x)limf(x),g(x),a,b(2) limf(x),g(x),a,bf(x)a(3) lim,( 此时需 b,0 成立 )g(x)b说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3(两个重要极限xsinlim,1(1) x,0x11xxlim(1 ，

3、 ),elim(1 ， x),e(2) ; x,0xx说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介:靳一东，男，(1964 )，副教授。1xxsin333,2xlim(1 ， ),elim(1,2x),elim,1 例如 :，;等等。x,x,0xx,0x34(等价无穷小定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。定理 3 当时，下列函数都是无穷小(即极限是0)，且相互等价，即有:x,0xxtanxarctanxln(1 ， x)sinxarcsinxe,1, 。g(x)g(x),0 说明 :当上面每个函数中的自变量x 换成时()，仍有上面的等

4、价23x2,xe,13xln(1,x) 关系成立，例如:当时， , ; , 。x,011/5 页x,xf(x),g(x),f(x),g(x) 定理 4 如果函数都是时的无穷小，且,， ,，则当f(x)g(x)f(x)g(x)01111f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)111limlimlimlimlim 存在时，也存在且等于，即=f(x)x,xx,xx,xx,xx,x00000g(x)g(x)g(x)g(x)g(x)1115( 洛比达法则定理 5 假设当自变量x 趋近于某一定值(或无穷大)时，函数和满足 :(1) 和的 f(x)g(x)f(x)g(x)极限都是0 或都是无穷大;(2)和都

5、可导，且的导数不为0; f(x)g(x)g(x),f(x)lim (3) 存在(或是无穷大); ,g(x),f(x)f(x)f(x)f(x)limlimlimlim 则极限也一定存在，且等于，即= 。,g(x)g(x)g(x)g(x) 说明:定理5 称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达0, 法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为 “” 型或 “” 型 ;0,条件(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6(连续性x 定理 6 一切连续函数在其定义

6、去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有f(x)0limf(x),f(x) 。0x,x07(极限存在准则定理 7(准则 1) 单调有界数列必有极限。x,y,z 为三个数列，且满足: 定理 8(准则 2) 已知 nnny,x,z,(n,1,2,3, ？ )(1) nnnlimy,alimz,a (2) ， nnn,n,limxlimx,a 则极限一定存在，且极限值也是a ，即。nnn,n,二、求极限方法举例1( 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限3x， 1,2lim 例 1 x,1x,122xx(31)2333 ， ,limlim, 解 :原式 = 。x,1x,14xxx

7、x(1)(312)(1)(312),，,，注 : 本题也可以用洛比达法则。limn(n ， 2,n,1) 例 2 n,分子分母同除以nnnn( ， 2),(,1)33lim,lim, 解 :原式= 。n,n,2nn ， 2， ,1211 ， 1,nnnn(,1) ， 3lim 例 3 nn,n2 ， 322/5 页1n(,) ， 1n 上下同除以33,lim,1 解 :原式。n,2n() ， 132( 利用函数的连续性(定理6)求极限12xlimxe 例 4 ,x212xf(x),xex,2 解 :因为是函数的一个连续点，01222e,4e 所以 原式 = 。3( 利用两个重要极限求极限1co

8、sx,lim 例 5 2x,03xxx222sin2sin122limlim, 解 : 原式 = 。200x,x,x63x212(),2注 : 本题也可以用洛比达法则。2xlim(1,3sinx) 例 6 ,x01,6sin1,6sinxx,x,6,3sinxx,3sinxlim(1,3sinx),lim(1,3sinx),e。解 : 原式 =,0,0xxn,2nlim() 例 7 ,nn ， 1,3n， 1,3， 1nnn,3,3n ， 1,3， 1n,3,3lim(1 ， ),lim(1 ， ),e 解 :原式 =,nnn ， 1n， 14( 利用定理2 求极限12xlimsin 例 8

9、x,0x解 : 原式 =0 (定理 2 的结果)。5( 利用等价无穷小代换(定理4)求极限xln(13x) ， lim 例 9 2x,0arctan(x)22arctan(x) ？ x,0 时， ln(1 ， 3x) 解 :, ， ,， x3xxx,3 ？ 原式 = 。lim,32x,0xxsinxe,elim 例 10 ,x0x,sinx,sinxxsinxsinxeeexx(,1)(,sin)lim,lim,1 解 : 原式 = 。,x0x0xxxx,sin,sin 注 :下面的解法是错误的:33/5 页xsinxeexx(,1),(,1),sinlim,lim,1 原式 = 。x,0x,

10、0xxxx,sin,sin正如下面例题解法错误一样:xxxxtan,sin,lim,lim,0 。33x,x,00xx12tan(xsin)xlim 例 11 x,0sinx111222 解 :，？当 x,0 时， xsin 是无穷小，？tan(xsin) 与 xsin 等价xxx12xsin1xxlim,limsin,0 所以， 原式 = 。 (最后一步用到定理2)x,0x,0xx6( 利用洛比达法则求极限说明: 当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。1cosx,lim 例 12 (例 4) 2x,03xsinx1lim

11、, 解 :原式 = 。 (最后一步用到了重要极限) x,06x6,xcos2lim 例 13 x,1x,1,x,sin,22,lim 解 :原式 = 。x,1123x,0x1cosxsinx1,limlim, 解 :原式 = 。 (连续用洛比达法则，最后用重要极限 ) 2x,x,006x63xsinxxcosx,lim 例 15 2x,0xsinx解:sinxxcosxcosx（cosxxsinx）,limlim, 原式 22x,x,00xx3x,xsinx1lim,2x,033x11,lim 例 18 x,0x ， xln（1）11lim,0 解 :错误解法:原式 = 。x,0xx正确解法:

12、44/5 页ln（1 ， x）,xln（1 ， x）,x 原式 ,lim,limx,0xln（1 ， x）x,xx,01 ,1x11 ， x,lim,lim, 。 x,0x,02x2x（1 ， x）2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。x,2sinxlim 例 19 x,3x ， cosx1,2cosx0lim 解 :易见 :该极限是“” 型，但用洛比达法则后得到:，此极限 x,3,sinx0不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:x2sin1,xlim 原式 = （分子、分母同时除以x） x,xcos3 ， x1 = （利用定理1 和定理 2） 37（ 利用极限存在准则求极限limxx,2,x,2 ， x,（n,1,2, ？ ）例20 已知，求n1n ， 1n,nxlimxlimx,ax 解 :易证 :数列单调递增，且有界（0），由准则1 极限存在，设 。对已 nnnn,nnx,2， x 知的递推公式两边求极限，得: n ， 1na,2， aa,2a,1 ，解得 :或 （不合题意，舍去）limx,2 所以 。nn,111lim（ ？ ），例21 222n,n ， 1n ， 2n ， nn111n, ，？，,解 : 易见 : 22222n ， nn ， 1n ， 2n ， nn ， 1nnlim,1lim,1因为