第十一章11.311.3.3第二课时平面与平面平行的性质2019(秋)数学必修第四册人教B版(新教材)改题型

1、第二课时平面与平面平行的性质课标要求素养要求1 .掌握平闻与平向平行的性质，会应用 性质解决问题.2 .掌握线线平行、线向平行及闻闻平行 之间的相互转化.应用面面平行的性质，进行各种平行关 系的转化，培养学生的直观想象素养， 提升逻辑推理素养.课前顼习知识探究教材知识探究上情境四平整的桌面与地面是平行的，教室的左、右两面墙也是平行的.生活中随处可见互 相平行的平面.问题两个平面平行有怎样的性质?提示 两平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行M新知梳理1 .平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行用符号表示为：如果all & aA y= l, K

2、产m,则m果.2 .两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例一. 教材拓展补遗微判断1 .若 all 机 a? a , b? B ,则 a/ b.(x)提示 两直线a与b 一定没有交点，可能是异面或平行2 .如果 all B, a/ a,则 a/ 0( X)提示 a还可能在平面B内.微训练1 .a/ % b/ & all &则a与b的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行或异面或相交解析按不同位置关系摆放，看是否符合即可.答案 D2 .若平面a/平面&直线a/ %点BC 3且B?a则在0内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a

3、平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线解析过一点有且只有一条直线与已知直线平行.答案 D微思考1 .若两个平面a与B平行，则平面a内的直线与平面B有何关系？提示 平行.因为若a/ B,则两平面没有公共点，则平面a内的任一条直线都与B无交点，故平行.2 .若a/机则在这两个平面内各取一点连得线段长相等吗？提示 不确定，当各线段平行时，才相等.课堂互动题型一平面与平面平行的性质【例1】 已知AB, CD是夹在两个平行平面 & B之间的线段，M, N分别为线 段AB, CD的中点.求证：MN/平面a证明 若AB, CD在同一平面内，则平面 ABDC与a, 0的交

4、线分别为AC, BD. v all & .AC/ BD.又M, N分别为线段 AB, CD的中点，a MN / BD./p又BD?平面a, MN?平面a,. MN/平面a.第若AB, CD异面，如图所示，/bLV/过点A作AE/CD交a于点E,取线段AE的中点P,连接MP, PN, BE, ED. AE/CD,.AE, CD 确定平面 AEDC,且平面AEDC与a, B的交线分别为ED, AC.v all & .AC/ ED.又P, N分别为线段AE, CD的中点，.PN/ED.又 ED?平面 的 PN?平面 % ；PN/ a,同理可证 MP/ BE, MP / a,又 MPA

5、PN = P, .平面 MPN/平面 a.又MN?平面MPN,.MN/平面a规律方法 1利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看 作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两 平行平面都相交.2.面面平行？线线平行，体现了转化思想，与判定定理的交替使用，可实现线线、 线面及面面平行的相互转化.【训练11 如图所示，平面a/平面& AABC, AABC分别在a, B内，线段 AA', BB', CC'共点于 O, O 在 a, B之间，若 AB = 2, AC= 1, /BAC = 60°, OA : OA =

6、3 : 2,求ABC'的面积.解 相交直线AA； BB所在平面和两平行平面 的B相交于AB, AB由面面平行的性质定理可得 AB / A B'同理易得 BC/BC', AC/AC'. / BAC与/ B AC'的两边对应平行且方向相反,./ BAC=/BA'C' .同理/ABC=/ABC', /BCA=/BCA . ABC与 A B C '的三内角对应相等,.ABCs/XABC；AB' OA' 2 =- = AB OA 3.而及ABC = 2ABAC sin/ BAC1c, 33=2X 2X1Xj2- =

7、22",2$ ABC AB'4又 ' S"BC = AB =5,Sa ABC = 4S ABC：4*：23 9929题型二平行关系的相互转化【例2】已知M, N分别是底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD棱AB, PC的中点，平面 CMN与平面PAD交于PE,求证: (1)MN /平面 PAD;(2)MN / PE.证明 （1）如图，取DC中点Q,连接MQ, NQ.,. NQMAPDC 的中位线，.NQ/ PD.v NQ?平面 PAD, PD?平面 PAD,NQ / 平面 PAD.M是AB中点，ABCD是平行四边形， .MQ/AD,又 MQ?平面 PAD,

8、AD?平面 PAD,从而MQ /平面PAD. MQnNQ = Q, 平面 MNQ/平面 PAD. MN?平面 MNQ, . MN/平面 PAD.(2)由(1)知平面 MNQ/平面PAD,又平面PECO平面MNQ=MN,平面PECO平面 PAD = PE, .MN / PE.规律方法 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定 定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如下图所示：或蚊与 -.龙境岛划定.平面咛行“社平行飞一定一平西平行 -.解题时，往往通过构造辅助平面将线线平行、线面平行转化为面面平行【训练2】 如图，平面四边形ABCD的四个顶点A, B, C, D均在平

9、行四边形ABCD'所确定的平面a外，且AA', BB； CC ； DD互相平行.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明 在?ABCD'中，A'B7/C'D'. AB?平面 CD DC, CD?平面 C'D'DC, .AB'/ 平面 CD DC.同理A A/平面CD DC.又 AAnA'B'= A',平面 ABBA/平面 CD DC.平面 ABCDA 平面 AB'BA=AB,平面 ABCDA 平面 CDDC = CD, - AB/ CD.同理AD / BC.四边形ABCD是平行四边形.核，匕素

10、养至面我升一、素养落地1 .通过应用面面平行的性质及各种平行关系的转化解决问题，培养直观想象素养,提升逻辑推理素养.2 .常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.3 .空间中各平行关系间可以相互转化，如图.二、素养训练1 .已知平面a/平面 就过平面a内的一条直线a的平面子与平面B相交，交线 为直线b,则a, b的位置关系是()

11、A.平行B.相交C.异面D.不确定解析 用面面平行的性质定理即可判断 答案 A2 .若平面a/平面& a? a ,下列说法正确的是 (填序号).a与B内任一条直线平行；a与B内无数条直线平行；a与B内任一直线不 相交；a与B无公共点.解析 . a? a, a/B,a/B,a与0无公共点，从而a与B内任一直线不相交，正确；如图，在正方体中，令线段BiCi所在的直线为a,平面A1B1C1D1为平面平面ABCD为平面3显然a与B内无数条直线平行，故正确；又BiCi 与AB异面，故错误.答案3 .过正方体 ABCD AiBiCiDi的三顶点Ai, Ci, B的平面与底面 ABCD所在平面 的交

12、线为I,则l与AiCi的位置关系是.解析 因平面 ABCD/平面 AiBiCiDi,平面 ABCDn平面 AiCiB=I,平面AiBiCiDi平面AiCiB=AiCi,所以 A AiCi（面面平行的性质定理）.答案平行/ CAB= / CAB',4 .如图，P是AABC所在平面外一点，平面 a/平面ABC, a 分别交线段 PA, PB, PC 于 A', B', C；若 PA'： AA'= 2 ： 3,解析 由平面 a/平面 ABC,得 AB/AB', BC/BC',AC/AC；由等角定理得 / ABC=/A'BC',

13、/ BCA= /B'C'A,Sa ABC AB'2 PA'24从而ABCs/XAB'C； AFABAFAB； =- =二 =宝.''Sa abcAB PA 25 答案245课后作业巩国提高基础达标一、选择题1 .下列命题中，错误的是()A.若平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一平面解析 由面面平行的判定定理和性质知 A, B, D正确；对于C,位于两个平行平面内的直线也可

14、能异面.答案 C2 .设all机AS & BC B, C是AB的中点，当A, B分别在平面 内0内运动时， 那么所有的动点C()A.不共面B.当且仅当A, B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A, B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.不论A, B如何移动，都共面解析 由面面平行的性质定理知，点C应在过AB中点且平行于 或份的平面内.故选D.答案 DABC,线段 PA, PB, PC 分3 .如图，P是4ABC所在平面外一点，平面 a/平面别父”于点 A, B, C ,若 &ABC =49 则A7'二(A.43BsB.4978D.4解析 由a/平面ABC,得

15、AB7/ AB,BC7/ BC.又由等角定理得/ABC'=/ABC,同理,/BAC'=/BAC,故ABCs/XABC；.A_B_'_3凶 .FA_， 3左=7=丽. AA= 4.答案 D4 .给出下面四个命题：分别在两个平行平面内的两直线平行；若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则这两个平面平行；如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行其中正确的命题是（）A.B.C.D.解析 错，可能异面；对；错，只有这两条直线是相交直线才满足； 对.答案 B5 .已知平面a/平面B, P是%

16、B外一点，过点P的直线m与% B分别交于A,C,过点P的直线n与a, B分别交于B, D且PA=6, AC = 9, PD = 8,则BD的长为（）_,、24_A.16B.24 或石C.14D.20解析 过P点的直线m, n确定一个平面丫; all 3则AB/CD,黑:黑当PAC BD24,，1在a, B的同侧可得：BD = = ；当P在 BN何时得BD = 24.5答案 B二、填空题6 .给出四种说法：若平面 all平面 3平面 "/平面丫则平面a /平面T ；若平面a /平面B ,直线a与a相交，则a与B相交；若平面a/平面3 PC a, PQ/机则PQ? a ；若直线a/平面3

17、直线b/平面%且all &则a/ b.其中正确说法的序号是解析 正确，因平面a与丫没有公共点；正确.若直线a 与平面B平行或a? B,则由平面a/平面B知a?域a与a无 公共点，这与直线a与a相交矛盾，所以a与B相交；正确.如图，过直线 PQ作平面 下 /a= a,/B= b,由all B得a/b.因为PQ/ &PQ? Y,所以PQ/b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合.因为a? a,所以PQ? a；错误.若直线a/平面B,直线 b/平面%且all 3则a与b平行、相交和异面都有可能答案7 .如图，在长方体 ABCD AiBiCiDi中，

18、过BBi的中点E作个与平面ACBi平行的平面交AB与M,交BC与N,则MNAC解析 因为an平面GAC = AC, Bn平面GBD=BD,且all机 所以AC/BD,同理可证AE/ BF.又因为/ EAC与/FBD的两边同向，所以/ EAC=/FBD.又因为 GA= 9, AB= 12, AC/BD,所以=.BD GB 9+12 73答案3 三、解答题9 .如图，在四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，底面 ABCD为等腰i梯形，AB/CD, AB = 2CD, E, Ei 分别是棱 AD, AAi 上的 T一： T 点.设F是棱AB的中点，证明：直线EEi/平面FCCi.证明 因为F为AB的

19、中点，所以AB=2AF,又因为AB = 2CD,所以CD = AF,因为 AB/ CD,所以 CD /AF,所以四边形AFCD为平行四边形，所以 FC/AD,又 FC?平面 ADDiAi,AD?平面 ADDiAi,所以 FC/平面 ADDiAi, 因为 CCi / DDi, CCi?平面 ADDiAi,DDi?平面 ADDiAi,所以 CCi/平面 ADDiAi,又 FCACCi = C, 所以平面 ADDiAi /平面FCCi.又 EEi?平面 ADDiAi,所以EEi /平面FCCi.10 .如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，点N在BD上，点M在BiC上，且CM = DN.求证

20、：MN/平面 AAiBiB.证明 如图，作MP/ BBi交BC于点P,连接NP,. MP / BBi,.CM CP. MBi = PB.BD = BiC,DN = CM, a MBi = NB,CM DNCP DNMBi NB'PB NB' .NP/ CD /AB. NP?平面 AAiBiB, AB?平面 AAiBiB, .NP/ 平面 AAiBiB. MP/ BBi, MP?平面 AAiBiB, BBi?平面 AAiBiB, . MP/平面 AAiBiB.又MP?平面 MNP, NP?平面 MNP, MPANP=P, 平面 MNP / 平面 AAiBiB. MN?平面 MNP

21、, . MN/平面 AAiBiB.能力提升11 .（多选题）已知平面a/平面B,直线a? a ,直线b? B ,则a与b的位置关系可 能为（）B.a±bA.a / bC.a与b异面D.a与b相交解析 因为平面all平面就直线a? %直线b? B,所以直线a与直线b无公共点.当直线a与直线b共面时，a/b;当直线a与直线b异面时，a与b所成的角 大小可以是90°.综上知，A, B, C都有可能出现.答案 ABC12 .已知底面是平行四边形的四棱锥 P ABCD中，点E在PD上，且PE ： ED =2 ： 1,在棱PC上是否存在一点F,使BF /平面AEC?若存在证明你的结论，

22、并 说出点F的位置；若不存在，请说明理由.解 当点F是PC的中点时，BF/平面AEC.证明如下：如图，连接BD交AC于。点，连接OE,过B点作OE的平行线交PD于点G, 过点G作GF / CE,交PC于点F,连接BF. BG/OE, BG?平面 AEC, OE?平面 AEC,BG / 平面 AEC.同理，GF/平面 AEC,又 BGAGF = G.平面BGF /平面AEC,又BF?平面BGF,BF / 平面 AEC.BG/OE,。是BD的中点，；E是GD的中点.又 v PE : ED= 2 ： 1, . G 是 PE 的中点.而GF/ CE, . .F为PC的中点.综上，当点F是PC的中点时，BF/平面AEC.创新猜想13 .（开放题）如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E, F, G,H分别为CCi, C1D1, DiD, CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH 及其内部运动，则M满足时，有MN/平面BDDiBi（填上一个你认为正确的条件即可）.解析如图，取BiCi的中点P,连接 NP, NH, MN, HF, PF,则可证明平面NPFH