14等差与等比数列综合

1、江苏省江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编届一轮复习数学试题选编 14：等差与等比数列综合：等差与等比数列综合填空题1. 数列na中,12a ,1nnaacn(c是常数,12 3n ，),且123aaa，成公比不为1的等比数列,则na的通项公式是_. 【答案】22nann2. 已知数列满足,则=_. na143a *11226nnanNa11niia【答案】 2 324nn3. 已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若a3=18,S3=26,则an的公比q=_.【答案】34. 设数列an满足:,则a1的值大于 20 的概率为_.*3118220()nnnnaaaaanN，【答案】

2、 145. 已知数列na满足122nnaqaq（q为常数，| 1q ） ，若3456,a a a a 18, 6, 2,6,30，则1a 【答案】2或 1266. 观察下列等式: =1-, +=1-, +31 21212231 21242 312213 2231 21242 3122=1-,由以上等式推测到一个一般的结论:对于nN*,53 412314 23 +=_.31 21242 3122n2nn112n【答案】 nn21117. 已知等比数列na的首项是1,公比为 2,等差数列 nb的首项是1,公差为1,把 nb 中的各项按照如下规则依次插入到na的每相邻两项之间,构成新数列nc:112

3、2334,a b a b b a b 564,b b a,即在na和1na两项之间依次插入 nb中n个项,则2013c_.【答案】1951 8. 若数列是各项均为正数的等比数列,则当时,数列也是等比数列;类比 na12nnnba aa nb上述性质,若数列是等差数列,则当_时,数列也是等差数列. ncnd nd【答案】 ncccn219. 已知等差数列满足:,.若将,都加上同一个数,所得的三个数依次成等 na21a02a1a4a5a比数列,则所加的这个数为_.【答案】 710.过点作曲线:的切线,切点为,设在轴上的投影是点,过点再作曲线的( 1 0)P ，Cexy 1T1Tx1H1HC切线,切

4、点为,设在轴上的投影是点,依次下去,得到第个切点.则点的2T2Tx2H1n ()nN1nT1nT坐标为_.【答案】 enn，11.已知数列an满足 3an+1+an=4(nN*),且a1=9,其前n项之和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|2 的n的取值范围.nnnab2nT nbnT(3)设为非零整数,),试确定的值,使得对任意,都有(2) 1(41nannnc*nN*nN成立.nncc1【答案】解:(1)由已知,(,), 111nnnnSSSS2n*nN即(,),且. 11nnaa2n*nN211aa数列是以为首项,公差为 1 的等差数列. na12a 1nan(2) , 1nannnnb

5、21) 1( 21231111123(1).(1)22221111123(1).(2)22222nnnnnnTnnTnn L 23111111(1)(2)1(1)22222nnnTn L得： nTnn233代入不等式 得: 01232233nnnn，即设 022)() 1(, 123)(1nnnnfnfnnf则在上单调递减, )(nfN, 041)3(, 041)2(, 01) 1 (fff当n=1,n=2 时, ( )0,3( )0f nnf n当时，所以n的取值范围.为 3,nnN且(3),要使恒成立, 1,nanQ114( 1)2nnnnc 1nncc即恒成立, 1211144( 1)2

6、( 1)20nnnnnnnncc 恒成立,恒成立, 113 43( 1)20nnn 11( 1)2nn(i)当为奇数时,即恒成立,当且仅当时,有最小值为 ,. n12n1n 12n11(ii)当为偶数时,即恒成立,当且仅当时,有最大值, .即n12n 2n 12n22 ,又为非零整数,则 21 1 综上所述:存在,使得对任意的,都有 1 nN1nncc22.已知等差数列an的首项a1为a(,0)aR a.设数列的前n项和为Sn ,且对任意正整数n都有24121nnanan. (1) 求数列an的通项公式及Sn ;(2) 是否存在正整数n和k,使得Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列?若

7、存在,求出n和k的值;若不存在,请说明理由.【答案】 23.设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,其中naad)0(dnSncnnSbnn2*Nn为实数.c(1)若,且成等比数列,证明:();0c421bbb，knkSnS2*,Nnk(2)若是等差数列,证明:.nb0c【答案】本题主要考察等差数列等比数列的定义.通项.求和等基础知识,考察分析转化能力及推理论证能力. 证明:是首项为,公差为的等差数列,是其前项和 naad)0(dnSn dnnnaSn2) 1( (1) 0cdnanSbnn21成等比数列 421bbb，4122bbb)23()21(2daada 041212dad0)2

8、1(21dad0dda21ad2 anannnadnnnaSn222) 1(2) 1(左边= 右边= aknankSnk222)(aknSnk222左边=右边原式成立 (2)是等差数列设公差为,带入得: nb1d11) 1(dnbbncnnSbnn2 对恒成11) 1(dnbcnnSn2)()21()21(11121131bdcncdndadbndd Nn立 0)(0021021111111bdccddadbdd由式得: dd2110d01d由式得: 0c法二:证:(1)若,则,. 0cdnaan) 1( 22) 1(adnnSn22) 1(adnbn当成等比数列, 421bbb，4122bb

9、b 即:,得:,又,故. 2322daadaadd220dad2由此:,. anSn2aknankSnk222)(aknSnk222故:(). knkSnS2*,Nnk(2), cnadnncnnSbnn22222) 1( cnadncadncadnn2222) 1(22) 1(22) 1(. () cnadncadn222) 1(22) 1(若是等差数列,则型. nbBnAnbn观察()式后一项,分子幂低于分母幂, 故有:,即,而0, 022) 1(2cnadnc022) 1(adnc22) 1(adn故. 0c经检验,当时是等差数列. 0cnb24.已知等差数列 na的前n项和为nS,公差

10、,50, 053SSd且1341,aaa成等比数列.()求数列 na的通项公式;()设nnab是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 nb的前n项和nT.【答案】解:()依题意得 )12()3(5025452233112111daadadada 解得231da, 1212) 1(23) 1(1nanndnaann即， ()13nnnab,113) 12(3nnnnnab 123) 12(37353nnnT nnnnnT3) 12(3) 12(3735333132 nnnnT3) 12(3232323212 nnnnn323) 12(31)31 (3231 nnnT3 25.已知数列na的

11、前n项和为nS.()若数列na是等比数列,满足23132aaa, 23a是2a,4a的等差中项,求数列 na的通项公式;()是否存在等差数列na,使对任意*nN都有22(1)nnaSnn?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.【答案】解:()设等比数列 na的首项为1a,公比为q, 依题意,有).2(2,32342231aaaaaa即)2(. 42)() 1 (,3)2(2131121qaqqaqaqa 由 ) 1 (得 0232 qq,解得1q或2q. 当1q时,不合题意舍; 当2q时,代入(2)得21a,所以,nnna2221 ()假设存在满足条件的数列na,设此数列

12、的公差为d,则 方法 1: 211(1)(1) 2(1)2n nand a ndnn,得 222222111331()()222222dna ddnaa ddnn对*nN恒成立, 则22122112,232,2310,22da ddaa dd 解得12,2,da或12,2.da 此时2nan,或2nan . 故存在等差数列na,使对任意*nN都有22(1)nnaSnn.其中2nan, 或2nan 方法 2:令1n ,214a ,得12a , 令2n ,得2212240aaa, 当12a 时,得24a 或26a , 若24a ,则2d ,2nan,(1)nSn n,对任意*nN都有22(1)nn

13、aSnn; 若26a ,则8d ,314a ,318S ,不满足23323(31)aS. 当12a 时,得24a 或26a , 若24a ,则2d ,2nan ,(1)nSn n ,对任意*nN都有22(1)nnaSnn; 若26a ,则8d ,314a ,318S ,不满足23323(31)aS. 综上所述,存在等差数列na,使对任意*nN都有22(1)nnaSnn.其中2nan,或2nan 26.设数列 na的前n项和为nS,满足21nnaSAnBn(0A ).(1)若132a ,294a ,求证数列nan是等比数列,并求数列 na的通项公式;(2)已知数列 na是等差数列,求1BA的值.【答案】 27.已知各项均为正数的两个数列na和 nb满足:221nnnnnbabaa,*Nn,(1)设nnnabb11,*Nn,求证:数列2nnba是等差数列;(2)设nnnabb21,*Nn,且na是等比数列,求1a和1b的值.【答案】解:(1)nnnabb11,11222=1nnnnnnnnabbaabba. 2111nnnnbbaa. 222221111*nnnnnnnnbbbbnNaaaa .数列2nnba是以 1 为公差的等差数列.(2)00nna b ，,22222nnnnnnabab ab.12212nnnnnab知0q,