立体几何中的有关计算

1、数学高考综合能力题选讲14立体几何中的有关计算题型预测立体几何中的计算主要是求角和距离.其中二面角的平面角和点到平面的距离(体积) 常常作为考查的重点.范例选讲例 1 长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB BCAA12, E是侧棱BBi中点.(1)求直线AAi与平面AiDi E所成角的大小；(2)求二面角E ACi B的大小；(3)求三棱锥A CiDiE的体积.讲解：(i)要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作 出面ADJ的一条垂线.不难发现，AE正为所求.由长方体 ABCD AiBiCiDi 知：Di Ai 面 ABBiA ,又 AE 面 ABBiAi ,所以,Di

2、Ai AE .在矩形ABBiA中，E为BBi中点且AAi 2 , AB i ,所以，AE AE J2 ,所以，AiAE为等腰直角三角形，EAi AE .所以，AE面ADJ.所以， AAE就是直线AA与平面a1D1E所成的角，为45 .(2)要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条 垂线，则可利用三垂线定理(或逆定理)将其作出.注意到 AB 面B1BCC1 ，所以，面ABCi 面BiBCCi ,所以，只需在 面BiBCCi内过点E作EFBCi 于 F,则 EF 面 ABCi .过F作FG ACi于G,连面角E ACi B的平面角.在EBC1中,2SEF EBCiEB C1B1

3、EG,则 EGF就是二所以，CiF在ABC1中,BCiBCi,CiE2 EF2FG C1F sin3.55FCiGCiFABAC13010.EF 、. 6在 RtEFG 中，tan EGF 一 FG 36所以，二面角E ACi B的平面角的大小为arctan.3(3)要求三棱锥A CiDiE的体积，注意到(2)中已经求出了点E到平面ACiDi的距离EF.所以,、，、，111Va c d eVe ac d_ S ac dEF - ADiCDiEF .1 11131166另一方面，也可以利用等积转化.因为AB/ D1cl,所以，AB/面C1D1E .所以，点A到平面C1D1E的距离就 等于点B到平

4、面CiDiE的距离.所以,iiiVa c1 d1eVbc1d1eVd1ebc1 S ebc1DCi EBCiBiDiCi366点评：求角的一般方法是：先作出所求角，然后再解三角形.利用三垂线定 理作出二面角的平面角是很常用的方法.例2 如图：三棱台ABC AB1c1中，侧棱CC1Ci，底面 ABC , ACB 120 , AC a,BCBiCi a,直线ABi与CCi所成的角等于60(1)求二面角Bi AC B的大小；(2)求点B到平面BiAC的距离.讲解 无论从已知(直线 AB1与CC1 所成的角等于60。)的角度还是从所求 (二面角Bi AC B)的角度，过Bi作CCi的平行线都是当然之举

5、.在平面B1C1CB中，过B1作B1DC1c交CB于点D ,连接AD ,则 ADB1就是直线AB1与CC1所成的角.所以，ADBi 60 .又因为CCi，底面ABC ,所以，BiD，底面ABC .在平面ABC内过点D作DE AC于E,连B1E ,则B1E AC,所以，B1ED就是二面角B1 AC B的平面角.在 ACD 中，AD Vac2 CD2 2AC CDcos120 73a.在 Rt ABiD 中，BiD AD cot60 a . f- 3 在 Rt CED 中，DE CE sin 60 一 a .2a 23 在 Rt EBiD 中，tan BiED.33-a所以，二面角B1 AC B的

6、平面角的大小为：arctan 2四3(2)由D为BC中点，故点B到平面B1AC的距离等于点D到平面B1AC的距离的2倍，作DHB1E 于 H.由（1）知 AC 面B1ED ,所以，AC DH ,所以，DH 面B1AC ,所以，DH就是点D到平面B1AC的距离.在RtDE DB1 DE DB1EB1D 中，DH 1.1 =EB1DE2 DB12所以,另外,2 21点B到平面BAC的距离等于 一a我们也可以用体积法求出这个距离.设点B到平面B1AC的距离为h .则由VB 1ACBVBACB1VB1 ACB1 c3 S ABC B1D1-AC BC sin 2ACB B1DS ACB11AC 21

7、-B1E -AC222,EDB1 D- 7 2a4可得:3VBh SACBiACBi2 21a .7所以，点B到平面BAC的距离等于 T1a .点评等积变形是求体积和求距离时常用的方法.1. ( 1998年全国高考)已知斜三棱柱 ABG- A'B'C'的侧面A'ACC'与底面ABC垂直，/ABC=90 ,BC= 2,AC= 2<3 且 AAA'C,AA' = A'C.求侧棱AA'与底面ABC所成角的大小；B求侧面A'ABB'与底面ABC所成二面角的大小；求顶点C到侧面A'ABB'的距离.2. ( 1999年全国高考)如图,已知四棱柱 ABCD-A'B'C'D',点E在棱D'D上，截面EAC D'B,且面EACf底面ABC所成的角为45°,AB = a(1)求截面EAC勺面积；(2)求异面直线A'B'与AC之间的距离;(3)求三棱锥B' - EAC勺体积.S3. (2001年全国高考)如图：在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中，/ABC=90