自主学习01教材内容第四章中心力场中的粒子

1、自主学习01 教材内容第四章 中心力场中的粒子知识框架 重点难点 第一节 第二节 第三节 第四节第五节 本章习题 本章自测 知识框架重点难点两体问题化为单体问题，无限深球方势阱，氢原子的求解，以及库仑势,汤川势,谐振子势等其他中心力势的薛定谔求解F-H定理解决问题为重点。氢原子，类氢离子，三维各向同性谐振子势为难点。4.1中心力场中粒子运动的一般性质本节要求本节使学生掌握中心力场中运动的一些共同特点，在这里，角动量守恒起了重要作用。本节的重点与难点重点：两体问题化为单体问题；角动量守恒与径向方程。并列出：库仑势,汤川势,谐振子势难点：径向波函数在邻域的渐近行为。本节教学内容4.1.1两体问题化

2、为单体问题中心力场问题通常是两体问题.设两个粒子的坐标分别为和,质量分别为和,而相互作用仅依赖于两粒子之间的相对距离,则两粒子的能量本征方程可表达为(1)式中为系统的总能量.引入质心坐标和相对坐标为,或 (2)（在此要强调质心坐标以及相对坐标在解决多体问题中广泛应用，二体，三体等）可证明(3)式中为总质量,为约化质量, (4)这样,方程(1)化为(5)此方程显然可分离变量,（即与经典力学一样,可把质心运动与相对运动分开）令(6)分离变量后,得(7a)(7b)式(7a)是一个自由粒子的能量本征方程,它描述质心运动,是质心运动能量.（这一部分与我们研究的体系的内部结构无关,不予考虑.）式(7b)描

3、述两粒子的相对运动部分,是相对运动能量.两粒子相对运动相当于一个质量为的粒子在中心力场中的运动.4.1.2角动量守恒与径向方程（中心力场中,粒子运动的能量、动量和角动量守恒,最重要的特征是角动量守恒.）在经典力学中,粒子角动量守恒是非常明显的.这是因为中心力场是保守力场,所受作用力与势场的关系可表示为(8)从而角动量随时间的变化为(9)其物理含义是,粒子所受到的力矩为零.又,中心力场中经典粒子的运动必为平面运动.运动平面的法线方向即守恒量的方向.在选择合适的参考系后,中心力场中经典粒子的运动即可简化为在一个平面上的运动.在量子力学中,角动量也是守恒量.这是因为角动量算符与哈密顿算符(10)对易

4、,即(11)但与经典力学有一个明显的不同,即守恒量的三个分量彼此不对易,中心力场中粒子的角动量的三个分量一般而言不能同时具有确定值（除角动量为0的态外）,因此,中心力场中粒子的运动在量子力学中不能简化为一个平面运动.（比较经典力学力学量和量子力学和力学量算符的含义和不同,算符贯穿量子力学体系）此外,考虑到存在三个不对易的守恒量,中心力场中粒子的能级一般是简并的。因此,仅考虑能量本征值,还不足以把本征态完全确定下来,而需要寻找另一组守恒量完全集,用它们的共同本征态来标记一个定态.尽管的三个分量彼此不对易,但,而且,通常选用作为守恒量完全集,用它们的共同本征态来对定态进行分类.此时,属于同一能级的

5、诸简并态可以完全标记清楚,它们的正交归一性也自动得到保证.考虑的能量本征方程为(12)中心力场是球对称性,采用球坐标系,以便于将径向部分与角度部分分开处理.在球坐标系中,拉普拉斯算符可表示为(13)能量本征方程化为(14)上式左边第二项称为“离心势能”,角动量愈大,则离心势能愈大.第一项可以表为,称为径向动能,其中(15)是径向动量.如取为的共同本征态,即, (16)则得到径向方程(17)不同的中心力场就决定了不同的径向波函数及能量本征值.径向方程中不含磁量子数m,因此,能量本征值与m无关.这是容易理解的,因为中心场的球对称性,粒子的能量显然与z轴的取向无关.但中心力场中运动的粒子的能量与角量

6、子数有关,在给定下,m有个可能值.因此,一般而言,中心力场中粒子的能级是重简并的.在求解径向方程(17)时,有时作下述替换是方便的.令(18)则(19)求解径向方程(17) 或(19),即可得出粒子能量的本征值E及径向波函数R或约化径向波函数.4.1.3径向方程的解在邻域的行为（中心力场的势的类型多样性:库仑势,汤川势,谐振子势等;注意区别径向方程势能部分）通常遇到的中心力场,如：库仑势,汤川势,线性势,谐振子势,对数势等,都满足条件：(20)当时,径向方程(20) 的渐近形式为(21)显然,是渐近方程(21) 的正则奇点.在点邻域,令,并代入上式,就得所谓指标方程(22)其解为, (23)这

7、样,当时,方程(21) 的两个渐近解为, (24)是物理上不允许的,理应抛弃.按照波函数的统计诠释,在邻域任意体积元中找到粒子的几率应为有限值.令,则当时,必须有<3/2.因此,当时,是不许的.对的渐近解,尽管不违反统计诠释的要求,但解(25)并不满足薛定谔方程.这是因为(26)从而(27)与方程(12) 比较,即知不是薛定谔方程的解.由此得出结论：径向方程(17) 的径向波函数当时只能取的渐近解.由此,求解约化径向方程(19) 时要求(28)考察时的约化径向方程(19) 是很有意思的.此时约化径向方程(19) 化为(29)(30)方程(29) 与一维势场中的薛定谔方程相似,但变量变化不

8、同,前者,而后者.因此,把中心力场中的结果外推到一维势场中的运动时要特别注意这一点.4.2无限深球方势阱本节要求本节使学生掌握经典无限深球方势阱的推导，课余进一步了解和比较有限深球方势阱。本节的重点与难点重点及难点：一维定态波函数的求解，注意特殊函数的运用。 本节教学内容考虑粒子在半径为的球形刚性匣子中运动, 这相当于粒子在一个无限深球方势阱中运动, 势场为(1)径向方程为(2)径向波函数满足的边界条件为(3)引入无量纲变量(4)则式(2) 化为(5)令(6)则(7)此为半奇数阶的贝塞尔(Bessel) 方程.（一般介绍贝塞尔(Bessel) 方程，球纽曼(Neumann) 函数，亦可一带而过

9、。） 它的两个线性独立解为与.定义球贝塞尔和球纽曼(Neumann) 函数(8)它们在时的渐近行为是(9)当时, 解是物理上不能接受的. 因此, 在无限深球方势阱内的解应取(10)其中是归一化常数, 或由束缚态边界条件(3) 确定, 即(11)当取有限值时,只能取一系列分立值. 令的根依次记为,则粒子的能量本征值表为(12)特例: 对s态(),利用式(12), 粒子的能量本征值为(13)利用球贝塞尔函数的积分公式及边条件(3), 可求出径向波函数(10) 的归一化常数(14)此时(15)（特例选讲）思考题1.证明的根可由解出.2.证明的根可由解出.4.3氢原子及类氢离子本节要求本节使学生掌握氢

10、原子的薛定谔方程严格求解，一般了解复杂原子及分子结构的基础。本节的重点与难点重点及难点：氢原子的求解，即，库仑势的中心力场求解；类氢离子。1.有关能级的讨论2.有关波函数的讨论3.电流密度与磁矩本节教学内容(具体解出氢原子和类氢离子的薛定谔方程,可得出氢原子和类氢离子的能级与波函数,从而定量地解释其光谱线规律及其它一些重要特征.同时,对氢原子和类氢离子的定量认识也是理解复杂原子及分子结构的基础.)（重点讲解氢原子，让学生掌握氢原子的求解）氢原子和类氢离子的原子核带正电荷+Ze (对氢原子,而对类氢离子) ,而核外只有一个带负电荷的电子.取无穷远处为势能的零点,则原子核与电子之间的库仑作用能为,

11、 (1)式中Z为原子序数.氢原子和类氢离子的约化径向方程为(2)式中为折合质量,M和m分别是原子核和电子的质量.令, (3)则方程可简化为(4)显然是方程的两个奇点.我们首先考察其在这两个奇点邻域的行为.首先考虑时的渐近行为.当时,方程(4) 的物理上可接收的渐近解为(5)其次考虑时的渐近行为.对束缚态,当时,方程(4) 化为(6)其解为.考虑到束缚态边界条件,即当时,只能取(7)于是,让方程(4) 的解具有如下形式(8)代入方程(4) ,得(9)(对合流超几何方程做一般性的介绍)这个方程属下列合流超几何方程,即(10)参数(正整数) , (11)方程(10) 在邻域有界的解为合流超几何函数(

12、12)无穷级数解在时行为.这样的解代入式(8) ,不能满足无穷远处的束缚态边界条件.为了得到物理上允许的解,要求无穷级数(12) 必须在有限项中断.从式(12) 可以看出,只要等于0或负整数即可满足这一要求,于是, (13)令,则.将式(3) 代入,得(14)式中称为玻尔半径,称为玻尔第n轨道速度, 称为精细结构常数,它表征电磁相互作用的强度.相应于的径向波函数为(15a)(15b)式中,为归一化常数,它的形式保证(16)在表5.3中列出了属于较低的几个能级的径向波函数.可以看出,径向波函数,除原点和无穷远点外,有个节点数目.氢原子及类氢离子的定态波函数是守恒量完全集的共同本征态,且属于能级的

13、定态波函数表示为(17)1.有关能级的讨论（关于能级的讨论做一般性的介绍）(a) 能级是简并度的.这是因为给定主量子数n,有n个值,而对每一个角量数的值,又有个磁量子数的值.这样,能级对应的波函数的个数,即简并度为(18)能级对磁量子数m简并,即与m无关,其原因是势场为中心力场,它是球对称的,电子的能量与空间取向无关；能级对角量子数简并,即与无关，这是源于库仑场的作用.碱金属中价电子所处的势场也是中心力场,但原子实中其它电子的屏蔽作用,价电子所受力场不是简单的库仑场,尽管它所受力场仍只与r有关,而与取向无关.这时,碱金属电子能级为(19)与有关,从而能级与有关.例如,在中心力场中,.因此,在一

14、般中心力场中,电子的能级是度简并的,仅对库仑场,电子的能级才是n2度简并的. (b) 从式(14) 可见,能级随n的增大而增大,而相邻能级的间距(20)随n的增大而减小.对氢原子(21)基态能级为.当时,能量为,电子可脱离原子核而电离,电离能为.(c) 利用能级公式(14),可解释氢原子和类氢离子的光谱线的规律.（可以在适当介绍物理学家得到氢原子和类氢离子的光谱线的物理背景，使增添趣味性，加深学生对抽象内容的形象化，助于记忆）2有关光谱的讨论电子从高能级向低能级跃迁时,发射出的光线的波数为, (22a)(Rydberg常数) (22b)与光谱规律的里兹并合原则完全一致.所有的到同一低态的跃迁频

15、率组成一个谱系.对氢原子,到m=1的态的跃迁构成Lyman线系,处于紫外光谱区；到m=2的态的跃迁构成对应Balmer线系,处于可见光区,首先被发现；到m=3的态的跃迁构成Paschen线系；到m=4的态的跃迁构成Brackett线系；到m=5的态的跃迁构成Pfund线系.对类氢离子,应特别提及著名的Pickering线系,该线系是E.C.Pickering于1896年在船舻座星的可见光谱线中发现的,并与氢原子光谱中的Balmer线系很相似,具有相同的极限.后来Fowler在氢和氦混合气体中也观测到了这个线系.若把此线系归入氢原子光谱,则会出现分数量子数.N.Bohr把它解释为He+ 发出的光

16、谱线.按类氢离子能级公式(14) ,He+能级公式为(23)从跃迁到发出的光的波数为(24)对,有(25)这里是He+ 的Redberg常数,它与氢原的略有差异.从式(22b) 可知(26)即略大于.如果忽略这种微小差异,式(25) 与Balmer线系很相似,特别是其极限位置几乎相同.3. 有关波函数的讨论（讲授中结合电子的轨道模型s,p,d,f,g,，强调量子力学中电子运动没有所谓的轨道）氢原子和类氢离子的定态波函数是三个可同时测量的量的本征态.也就是说,彼此对易的力学量的数目与电子的自由度相同,因此的本征值相应的三个好量子数足以确定波函数.按光谱学上的习惯,把的态记为.有时还借用玻尔的量子

17、论观点,习惯上称为轨道,轨道,等等.（知氢原子和类氢离子的定态波函数,就可讨论氢原子和类氢离子在空间各点的几率分布.）当氢原子或类氢离子处于定态时,在点周围体积元内找到电子的几率为(27) (1)径向几率分布式(27)对从0到,而对从0到积分,并注意到的正交归一性,便得到在的球壳内找到电子的几率为(28)表4.3.1 氢原子(Z=1) 和类氢离子(Z>1)径的向波函数.nlnr光谱符号()1001s2012s102p3023s113p203d如图4.3.2所示,电子处于比较低的几条能级时的径向几率分布.从曲线可更清楚地看到,径向波函数除原点和无穷远点外的确有个节点,而且有个极大值,其中一

18、个主极大和一些辅极大.与玻尔的量子论不同,量子力学中电子无轨道概念,只能确定其位置的分布几率.值得注意的一个有趣的事实是,属于各能级的所谓圆轨道,即给定下,的轨道,其径向几率分布的最大值对应的半径,即最概然半径,可由径向波函数(15a) 计算的极值点位置求出为(29)即氢原子和类氢离子的最概然半径与玻尔的量子论给出的半径相同.(2)角向几率分布式(27) 对从0到积分,并注意到的正交归一性,可得在方向附近立体角内的几率为(30)它与无关,这是因为是守恒量的本征态,角分布将保持对z轴的旋转对称性.因此,可用通过z轴的任何一个平面上的曲线来刻画几率密度随的变化曲线,而在全空间的分布曲面,只需用此曲

19、线绕z轴旋转一周即可得到.如图6.3.3所示,给出了在一些态中对的函数关系.值得注意的是,尽管氢原子和类氢离子哈密顿算符是球对称的,但还不能说在一切状态下的电子分布都是球对称的.事实上,仅在s态下,电子的几率分布才是球对称的.4. 电流密度与磁矩在态下,电子的几率流密度为(31)利用球坐标系中梯度算符的表达式(32)由于中径向波函数及部分波函数都是实数,从式(31) 可见,.几率流的唯一非零分量是分量,即(33)如图4.3.4所示,设是垂直于流方向的面元,则通过此面元的电流元为(34)此电流元绕z轴围成的面积为,那么电流元(34) 对磁矩的贡献为(35)这里是横截面积为的环的体积.利用波函数的

20、正交归一性,可得总磁矩为(36)式中称为玻尔磁子.特别注意,式(36) 与波函数的具体形式无关,适用于一切中心力场中的束缚态.与角动量z分量的正负号相反是源于电子带负电之故.量子数表明磁矩是量子化的,是玻尔磁子的整数倍.量子数决定磁矩的大小,所以,称为磁量子数.对的态,没有磁矩,因为电流为零.此外,(37)称为回转磁比率,其中称为朗德因子或就称g因子,而这里g=1是轨道角动量的特征.4.4海尔曼费曼(HF)定理本节要求本节使学生掌握海尔曼费曼(HF)定理，以及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律，从而简便计算。本节的重点与难点如果体系的能量本征值已求出，避免利用波函数进行繁琐计算，利用

21、F-H定理可得关于各种力学量平均值的许多信息。 本节教学内容 (特别推导由海尔曼费曼(HF)定理得到位力定理) 设体系的哈密顿算符含有某参量l,且的本征值为En的归一化本征函数(束缚态) 为Yn (n为表征本征态的一组量子数), 则(1)证: Yn满足能量本征方程(2)视l为参变量, 上式对l求导, 得(3)以Yn* 左乘上式, 并对坐标空间积分, 得(4)利用及的厄米性质(5)代入式(4), 即得HF定理.例1. 己知一维谐振子对应于能级的本征函数为yn,求处于yn 态时动能和势能的平均值.解: 视w为参变量, 对w求导, 有(6)根据HF定理, 可得(7)即(8)再利用(9)可求出(10)

22、例2. 质量为m的粒子在中心力场中运动, 试利用HF定理及维里定理分析能级构造式对的依赖关系.解: 哈密顿算符为(11)令,l和b是独立的参数, 则(12)根据HF定理, 对任何一个束缚态, 有(13)两式相加, 即得(14)由维里定理, 则得(15)代入式(14), 得(16)将式(16) 代入式(14), 可得(17)式(17) 积分, 分别得到E与l和b之间的构造关系(18)c1 和c2 为积分常数, 分别与l和b无关. 比较式(18) 两式, 可得(19)c与l和b无关, 是无量纲纯数(与n及量子数有关. 上式是量纲正确的唯一可能的能量构造式.从式(19) 可见, n>-2时,作

23、用强度|l|增大,|E|随之增大. 如l与粒子质量无关, 则n>0时,m 增大,|E|也增大. 如l与粒子质量有关, 由式(11) 和(12), 可得出(20)三维各向同性谐振子本节要求本节使学生了解中心力场中的三维各向同性谐振子。本节的重点与难点三维各向同性谐振子势得到广泛运用，处理原子核内的单粒子运动以及进一步剩余相互作用时，它是一个初步的近似。 本节教学内容（纵向比较：一维谐振子，二为谐振子到三维谐振子的比较。横向和其他中心势比较和总结）考虑质量为m的粒子在三维各向同性谐振子势(1)中运动,w 为经典谐振于的自然振动的角频率. 在球坐标系中,径向方程为(2)令(3)则(4)显然,

24、是微分方程的奇点. 按§6.2的分析, 在邻域, 物理上可接受的径向波函数的渐近行为.当时, 方程(4) 化为(5)其解为,但不满足束缚条件, 弃之. 所以,. 这样, 可令方程(4) 的解为(6)代入式(4), 可得(7)再令(8)方程(7) 化为(9)这正是合流超几何方程, 方程中相应的参数为(10)方程(9) 有两个解, 即与.由于,按§6.2分析, 这个解是物理上不能接受的. 因此, 方程(9) 的解只能取(11)在一般情况下, 如确系一个无穷级数, 则不难看出, 级数的相邻的高幂次()项的比值与的无穷级数相同, 因此, 当时, .这样的无穷级数代入式(6), 所得

25、径向波函数在时趋于,不满足束缚态边条件. 这要求无穷级数解在有限级次中断, 即(12)将式(3) 代入上式, 得(13)令(14)则(15)此即三维各向同性谐振子的能量本征值. 与之相应的归一化径向波函为(16)最低的几个径向波函数是(17)从式(14) 和(15) 可见, 对三维各向性谐振子势, 能级只依赖于径向量子数和角量子数的一种特殊的组合, 即只依赖于.对给定能级(n为奇数)(n为偶数)由此可知, 能级的简并度为(18)例如,n为偶数情况n为奇数情况, 可类似地证明.（联系三维各向同性谐振子在球坐标与直角坐标的求解）三维各向同性谐振子也可在直角坐标系中求解. 利用,三维各向同性谐振子可

26、分解为三个独立的一维谐振子, 即(19)其中它们的本征函数可以分离变量, 相当于选为守恒量完全集, 其共同本征态为(20)即三个一维谐振子能量本征态之积. 相应的能量本征值为(21)与式(15) 相同. 可类似地求出能级的简并度. 对于给定能级,有所以可能取值的数目, 即能级的简并度为与式(18) 相同. 实际上, 波函数与是三维各向同性谐振子的态空间的两种不同的基矢. 前者是的共同本征态, 后者是的共同本征态. 属于同一能级的量子态的数目(简并度) 是相同的, 但基矢选择不同, 彼此之间通过一个幺正变换相联系. 例如,n=1的能级有三个态, 可以取为或不难证明本章训练1. 对中心力场的任何一

27、个束缚态, 证明并解释其经典力学含义.提示: 利用答: 等价于证明: 对 态, 无经典对应. 对态, , 它是向心力的周期平均.2. 设粒子在一个球方势阱中运动, (a) 求时的能级,(b) 证明恰好具有一条的能级的条件是答: (a) 时的能级由确定, 其中,.3. 根据氢原子光谱的理论, 讨论下列体系的能谱: (a) 电子偶素(指束缚态),(b) 原子(指氢原子核外电子被粒子取代而形成的原子),(c)子偶数(指束缚态).4. 设碱金属原子中的价电子所受原子实的作用近似表示为,为玻尔半径,求价电子的能级.提示: 令,即答: 能级为.对,可令,.5. 对类氢离子的的共同本征态,试从径向方程证明之

28、间的递推关系(Kramers公式)给出此公式成立的条件, 并用于计算.答: 成立条件:. 上式中令, 可得令,并利用§6.4式(34), 可得6. 设粒子在二维各向同性谐振子势场中运动,求粒子的能量本征函数和相应的能量本征值, 并讨论能级的简并度.答: 在极坐标系中,能级的简并度为第四章 自测练习一、单项选择题（每题5分，共25分）     1、下列势场不是中心力场的（D）     A. 库仑势         B. 各向同性

29、谐振子  C. 氢原子       D.一维谐振子     2、下列离子可以看作类氢原子中心力场（A、B）     A.            B.            C.     &#

30、160;     D.     3、下列是类氢原子光谱线的（D）     A. Lyman线系      B. Balmer线系     C. Paschen线系    D.Pickering线系     4、三维各向同性谐振子的对称性（D）     A.  

31、           B.             C.           D.      5、氢原子束缚态的对称性（C）     A.     &

32、#160;        B.            C.             D.二、判断题（每题3分，共15分）     1、中心力场中，库仑场、各向同性谐振子场能够严格求解的。      &

33、#160;        （对）     2、在中心力场V(r)中,粒子运动的能量、动量和角动量守恒。                （对）     3、中心力场中粒子的运动在量子力学中能简化为一个平面运动。       

34、0;    （错）     4、中心力场中，只要考虑能量本征值就可以把本征态完全确定下来。        （错）     5、中心力场既可以在球坐标系处理，也可以在直角坐标系中处理。           （对）三、回答问题（或计算题）（60分）     1、质量分别为

35、m,m的两个粒子组成的体系，质心座标标为：=                       (1)                        

36、60; (2)试求总动量及总角动量在, 表象中的算符表示。（6分）解 （a）合动量算符。根据假设可以解出，令：                    （3）                       

37、;（4）（1分）设各个矢量的分量是，,和。为了计算动量的变换式先求对，等的偏导数：           (5)                 (6) （1分）关于， 可以写出与（5）（6）类似的式子，因而：           

38、             =  （1分）   (b)总角动量         =利用（3），（4），（5），（6）：                     &

39、#160;（1分）=                          （1分）=         因而。               &#

40、160;               （1分）     2、证明 ，（6分）        证明 第一式        =          （1分） 

41、0;   但  +=                         +即=     （2分）同样写出关于y,z的式子，相加得：+=因是任意函数，因而第一式得证。          

42、;                           （1分）第二式的证明：该式是矢量的恒等式，取等式左方一式的x分量并蒋它运算于任何函数，要注意 标量算符而是矢量算符：             &

43、#160;                                                  

44、                                                  

45、                                                  

46、                                                  

47、                                                  

48、                 =     （1分）     =                      （1分）因此在出写出关于y,z的式子后有

49、。     3、中心力场中的经典粒子的哈密顿量是其中。当过渡到量子力学时，要换为                         问是否厄米算符？是否厄米算符。（5分）解 对第一个算符取厄米共轭算符，加以变换，看其是否与原算符相等，为此利用乘积的厄米算符公式（）=。    

50、60;                       （1分）若,则 ，因为,等自身是厄     米的,因而有要看出,的关系将作用于任意函数：                

51、0;                     =                        =      

52、                  =                       （2分）即，因而不是厄米算符。因为利用以上结果，或者直接对 取厄米共轭式，都证明.因此可认为是厄米的，证明在后面，但

53、是关于这问题学术上有争论，因为它还需要满足另一些条件(Liboff)。CfRLLiboff: American  Journal  of  Physics 976(1973)                                  

54、0;           =              =     CfAMessian:Quantum Mecnanics P346(1961)               &#

55、160;         （2分）     4、经典力学中在量子力学中此式是否成立？在什么条件下此式成立？（5分）     解                  =+         

56、60;         +                            （1分）              &

57、#160;  =                   +                   +        （1分）  

58、60;              =                                    &

59、#160;                                                  

60、（1分）最后一式加上下述这个等于零的式子：                 （1分）得：因此经典角动量平方公式与量子力学的不相同，只有=0才相同。                        

61、60;                   （1分） 5、求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结果，计算。用x表象中的氢原子波函数计算,并验证测不准关系式。（10分）解本题是三维问题，氢原子基态波函数用座标表象时写作：               

62、0;          (1) （1分）但是玻尔半径，将（1）代入三维的座标，动量波函数变换式：                                   &#

63、160;   (2) （1分）为使计算简单，可选择z轴与动量的瞬时方向重合，这样将（2）中的用（1）式代入，进行积分，积分的次序是，r：                             =        

64、0;        =                       =                     

65、;  =            =                                 (3) （1分）其次为了验证氢原子的测不准关系，需

66、要计算座标动量的平均值，计算与座标有关的平均值时，用为波函数，反之计算动量平均值时，可用动量波函数：测不准关系的验证，是通过一个指定方向（如x轴）的分量间关系：          （1分）                            

67、60;     =                          =                    

68、0;                       =                          (4) （1分）在计算动量

69、有关平均值时，可采用动量相空间的球面极座标参考系，设动量相空间直角坐标为，则球面极座标用表示，                    =                       

70、0;(5)（1分）                   =                       (6)（1分）与p有关的积分可用替代入(6)式的第一道积分，得：   

71、60;              =                  =                  

72、                      （1分）代入（6）得：                    =        

73、60;           （1分）代入测不准关系式：                                      

74、     （1分） 6、在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。（14分）解（一）建立动量表象的能量本征方程式，势能为此先写下座标表象的薛氏方程式（直角坐标还是球面极座标不分）：                            &

75、#160;    （1分）   遍乘，并对座标积分：                                         (1)

76、（1分）等号左方第一积分用二次分部积分中的加以下述福里哀变换，就得到动量表象的能量本征方程：              (2)得：          (3) （1分）式中：                  &

77、#160;              (4) （二）核的计算：   先作（4）式类似的计算，假设是个座标表象的波函数，它的相应的动量表象函数是，则正逆两种变换是：                        

78、              (5)                                    (6) （1分

79、）将拉普拉斯算符作用于两边得：                (7)根据（7）式写出它的逆变换式，并且与（5）式对比，有：                         =   

80、              (8) （1分）将（4）（5）二式比较知道只需在中作置换，再乘：                   (9)因此我们最后得到动量表象的三维能量本征方程式，专用于库仑场。        

81、;               (10) （1分）                                 （三）动量表象中，角动量分量守恒的

82、证明。有两面种方法，或用直角坐标表示角动量算符，或用球面极座标表示，用前者较为简单，要证明角动量分量（例如）是守恒量，其必要条件是它可以和哈密顿算符对易，即：                                     

83、0;                           (11)这里，用动量表象书写时，可以用直角坐标表标表象的式子加以适宜的置换来得到这种置换是：        因而得到        

84、                             (12) （1分）至于，的动量表象依类似方法。（10）式中的哈氏算符可从（10）看出：              

85、0;                       (13)右方第二项是“积分算符”，当它运算于时，就相当于将填入括号( )。设想对易算符作用在一个任意的动量表象的波函数上面：                 &

86、#160;                                    (14) （1分）假使能证明I=0，则因为任意，我们便证明了（11），将（13）代入（14）      &#

87、160;        =（15）（1分）分别计算动能与势能这两部分的对易算符,先计算动能部分的：       =                          =    &#

88、160;           =                       +                

89、0;                                  (16)（2分）这证明了动能部份，是和角动量分量相能相对易的。其次计算（15）式中与势能有部分的对易式，即（15）式第二个大括号内一式，能够证明，括号内两项相抵消，为此从第二项开始变形： 

90、                   =             =  (17) （1分）前一式的第一二个积分分别为对分动量和进行积分后，分积分限，如果是个三维的平方可积函数，即当时，则在代入分限后被积函数也趋于零，只剩下三个积分：     = &#

91、160;                     =                       =      

92、0;                =    = =                              (18)（2分）(

93、18)式最前一式和最一式的关系相当于（15）式第二部分为零。因为是任意函数，因而说明是守恒量。同理可以证明，在动量表象的有心力问题中也是守恒的。 7、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区(EV=T<0)的几率。（4分）  解 在经典力学中，当总能量一定时，轨道半径受到限制，设玻耳半径a，则总能量粒子的势能则随着到核的距离r而变，表示作，动能是一者的差数：(从理论上讲，距离r可以扩展到无限远处)               

94、        (1)（2分）使T(r)>0,r<2a,在量子力学中，电子可以在离核任何距离r处出现，它在经典力学中不允许范围中出现的几率是： =  =        =                                       （2分） 8、证明，对于库仑场，（是总能量）。（3分）