解析几何中定值和定点问题

1、解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究【实例探究】题型1：定值问题:例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于（）求椭圆C的标准方程；（）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.椭圆C的方程为 

2、; （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）.将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0).1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a²-b²=c² =1设椭圆方程为x

3、²/（b²+1）+y²/b²=1将（1，3/2）代入整理得4b4-9b²-9=0 解得b²=3 （另一值舍）所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1（2）设AE斜率为k则AE方程为y-(3/2)=k(x-1) x²/4+y²/3=1 ，联立得出两个解一个是A（1,3/2）另一个是E（x1，y1）代入消去y得（1/4+k²/3）x²-（2k²/3-k）x+k²/3-k-1/4=0根据韦达定理 x1·1=（k²/3-k-1/4）/（1/4+k&

4、#178;/3） 将的结果代入式得 y1=（-k²/2-k/2+3/8）/(1/4+k²/3)设AF斜率为-k，F（x2，y2）则AF方程为y-（3/2）=-k（x-1） x²/4+y²/3=1 联立同样解得 x2=（k²/3+k-1/4）/（1/4+k²/3） y2=（-k²/2+k/2+3/8）/（1/4+k²/3）EF斜率为（y2-y1）/(x2-x1)=1/2所以直线EF斜率为定值，这个定值是1/2。例3、已知椭圆的离心率为，且过点.（）求椭圆的方程；（）若过点C（-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的

5、两点，试问在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）椭圆离心率为，. 又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得. 所以. 椭圆方程为，即. （2）在x轴上存在点M，使是与K无关的常数. 证明：假设在x轴上存在点M（m,0）,使是与k无关的常数，直线L过点C（-1，0）且斜率为K,L方程为，由 得. 设，则 = 设常数为t，则. 整理得对任意的k恒成立，解得， 即在x轴上存在点M（）， 使是与K无关的常数. 题型2：定点问题例4.已知椭圆C： (a > b > 0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线

6、y2=4x的一条切线。（1）求椭圆的方程     (2)过点 S（0，-1/3）的动直线L交椭圆C于A,B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。例5. .在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，如图所示，斜率为k（k0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）（）求m2+k2的最小值；（）若|OG|2=|OD|·|OE|，（）求证：直线l过定点；（）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出

7、此时ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由。解：（）由题意：设直线l：y=kx+n(n0)，由，消y得：，设A、B，AB的中点E，则由韦达定理得：=，即，所以中点E的坐标为E，因为O、E、D三点在同一直线上，所以kOE=kOD，即，解得，所以m2+k2=，当且仅当k=1时取等号，即m2+k2的最小值为2。（）（）证明：由题意知：n0，因为直线OD的方程为，所以由得交点G的纵坐标为，又因为，且|OG|2=|OD|·|OE|，所以，又由（）知：，所以解得k=n，所以直线l的方程为l：y=kx+k，即有l：y=k（x+1），令x=-1得，y=0，与实数k无关，所以直线l过定点(-1，0)；

8、（）假设点B，G关于x轴对称，则有ABG的外接圆的圆心在x轴上，又在线段AB的中垂线上，由（）知点G，所以点B，又因为直线l过定点(-1，0)，所以直线l的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为，所以m2=6舍去，即m2=1，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G，圆半径为，圆的方程为；综上所述，点B，G关于x轴对称，此时ABG的外接圆的方程为。【针对练习】椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.()求椭圆的方程; ()点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交 的长轴于点,求的取值范围;()在()的条件下,过点作斜

9、率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值. 2、如图，是抛物线为上的一点，以S为圆心，r为半径（）做圆，分别交x轴于A，B两点，连结并延长SA、SB，分别交抛物线于C、D两点。()求证：直线CD的斜率为定值；()延长DC交x轴负半轴于点E，若EC : ED = 1 : 3，求的值。3、已知椭圆C:( )的离心率为,点(1,)在椭圆C上.()求椭圆C的方程;() 若椭圆C的两条切线交于点M(4,),其中,切点分别是A、B,试利用结论:在椭圆上的点()处的椭圆切线方程是,证明直线AB恒过椭圆的右焦点;()在()的前提下，试探究的值是否恒为常数,

10、若是,求出此常数;若不是,请说明理由.4、椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为(1) 求椭圆的标准方程；F2OxyPABF1A2l(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标 5、如图，已知椭圆是四条直线所围成长方形的两个顶点.（1）设是椭圆上任意一点，若求证：动点在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若是椭圆上的两个动点，且直线的斜率之积等于直线的斜率之积，试探求的面积是否为定值，说明理由.【针对练习参考答案】1、解:()由于,将代入椭圆方程得 由题意知,即 又 所以, 所以椭圆方程为 ()由题意可知:=,=,设其中,将向

11、量坐标代入并化简得:m(,因为, 所以,而,所以 (3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为: ,所以,而,代入中得 为定值. 2、解（1）将点（1，1）代入，得 抛物线方程为设，与抛物线方程 联立得： 由题意有， （2）设 同理 ， 因此： 3、解:()设椭圆C的方程为()点(1,)在椭圆C上,由得:椭圆C的方程为， ()设切点坐标,则切线方程分别为,.又两条切线交于点M(4,),即,即点A、B的坐标都适合方程,显然对任意实数,点(1,0)都适合这个方程，故直线AB恒过椭圆的右焦点. ()将直线的方程，代入椭圆方程,得,即所以,不妨设,同理所以=所以的值恒为常数4

12、、解：（1）由题： 左焦点 (c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：d = = OxyPABF1F2A2l由可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2c 2 = 3 所求椭圆 C 的方程为 （2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 212 = 0x1 + x2 = ，x1x2 = ， 且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + mAB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 = 0 所以 (x12,y1)·(x22,y2) = (x12) (x22) + y1

13、y2 = (x12) (x22) + (kx1 + m) (kx2 + m)= (k 2 + 1) x1x2 + (km2) (x1 + x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·(km2)·+ m 2 + 4 = 0 整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0m = k 或 m = 2k 都满足 > 0 若 m = 2k 时，直线 l 为 y = kx2k = k (x2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去若 m = k 时，直线 l 为 y = kxk = k (x)， 恒过定点 (,0) 5.解析: (1)证明：由题意可知A(2,1)，B(2,1)设P(x0，y0)，则y1.由mn，得 所以(mn)21，即m2n2.故点Q(m，n)在定圆x2y2上(2)设M(x1，y1)，N